王 微

數(shù)感是數(shù)學(xué)課程標準中十大重要概念之一,也是義務(wù)教育階段,尤其是小學(xué)階段需要重點培養(yǎng)的一種學(xué)科素養(yǎng)。小學(xué)數(shù)學(xué)教師對此要充分理解,重點落實,從而有效培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

一、數(shù)感的含義

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。舉個例子,在孩子面前放了一堆筷子,孩子注意到了。當孩子關(guān)注其他事物時,拿走幾只筷子。當孩子再次注意這堆筷子時,能夠感覺到這堆筷子少了一些。這種感覺就叫作數(shù)感。小明距離學(xué)校3 公里,小剛距離學(xué)校2 公里。兩人一個在學(xué)校正南方向,一個在學(xué)校正北方向。當有人說小明小剛兩家的直線距離是5 公里,學(xué)生馬上提出不對,雖然不能說出理由,但這也是數(shù)感。嚴格意義上講,數(shù)感不屬于技能范疇,也不屬于和知識范疇,它屬于人類的一種意識,一種來自學(xué)生自身心靈的感受。但是這種感受卻十分重要,在我們認識世界中發(fā)揮了重要的作用。

二、數(shù)感培養(yǎng)的意義

數(shù)感的建立對于學(xué)生十分重要。數(shù)感能幫助學(xué)生感知數(shù)量的多少。比如,給出5 這個數(shù)字,學(xué)生馬上會聯(lián)想到比他小的有1、2、3、4,比它大的有6、7、8、9 等。數(shù)感能幫助學(xué)生理解數(shù)量在現(xiàn)實中的實際意義。依然是5,學(xué)生會追問5 后面是什么?5 米,則是指長度;5 千克,則是指質(zhì)量;5 攝氏度則是指溫度;等等。數(shù)感能夠幫助學(xué)生理解數(shù)量的大小,能用適合的詞語表達彼此的數(shù)量關(guān)系。比如多少、大小、寬窄、高低、長短等。數(shù)感能夠幫助學(xué)生運用恰當?shù)姆椒▉肀磉_數(shù)量,比如7 條,8 個等。數(shù)感能夠幫助學(xué)生用數(shù)來表達和交流信息,如A 同學(xué)有幾支筆,B 同學(xué)比他多幾支。數(shù)感也能幫助學(xué)生在問題出現(xiàn)時,選擇適當?shù)乃惴?并對運算的結(jié)果有個大概的估計。當結(jié)果出現(xiàn)時,會初步判斷是對還是不對。比如A 有26 支筆,B 同學(xué)比他多12 支。當計算中出現(xiàn)答案14 時,能夠判斷是錯的。因為它比26 少。當答案是36 支時,能判斷可能是正確的。因為它比26 要多。數(shù)感能夠幫助學(xué)生對數(shù)字有較為準確的認知和判斷,在解決數(shù)學(xué)問題中減少回答的錯誤率。優(yōu)秀的孩子在問題解決時,會對可能的結(jié)果有個初步判斷,對解決問題后得到的結(jié)果做出較為準確的判斷,判斷它是否符合題意要求。

數(shù)學(xué)教育的價值對于多數(shù)學(xué)生來說,恐怕更在于數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。[1]數(shù)感培養(yǎng)對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力十分重要。數(shù)學(xué)教師要在課堂教學(xué)中采取多種教學(xué)手段,結(jié)合學(xué)習(xí)生活、課堂生活和實際應(yīng)用,不斷培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)感。

三、數(shù)感培養(yǎng)的策略

(一) 喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗,幫助學(xué)生獲得數(shù)感

數(shù)學(xué)來源于生活,數(shù)感來自常識。豐富多彩的生活為數(shù)學(xué)提供了源源不斷的靈感,教師可以在教學(xué)中利用學(xué)生生活中的素材,幫助學(xué)生建立初步的數(shù)感。

例如,在數(shù)學(xué)課堂上,教師詢問學(xué)生:“你家有多少碗筷? 你家的電視有多少個頻道? 爸爸媽媽的手機號碼最后兩位數(shù)是什么?”有的學(xué)生表示不知道,而有的學(xué)生則能夠快速地回答出來。能快速回答的學(xué)生往往對于數(shù)字比較敏感,觀察力也比較強。教師對這些能夠快速回答的學(xué)生的表揚,也是在鼓勵和引導(dǎo)其他學(xué)生更多地注意生活中的數(shù)字,從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

在類似的生活問答之中,學(xué)生展開思維的翅膀,回憶起生活中的許多細節(jié)。這個過程幫助學(xué)生把數(shù)字和生活快速地結(jié)合起來,讓學(xué)生初步體會到數(shù)的意義、數(shù)的表現(xiàn)形式,以及兩者之間的關(guān)系。教師還可以讓學(xué)生回想自己的生活實踐,思考還有哪些地方看到過哪些數(shù)字。學(xué)生通過回憶身邊的事物,說出了各種各樣的數(shù)學(xué),了解了更多的數(shù)字表現(xiàn)方式,對于復(fù)雜數(shù)字也更加容易理解和接受了。學(xué)生數(shù)感的獲得來源于教師有目的的教學(xué)引導(dǎo),教師一定要在課堂上多做這樣的指導(dǎo)和問答?？此撇唤?jīng)意的小聊天,但卻喚醒了學(xué)生沉睡的感悟,提升學(xué)生了解數(shù)字的興趣,啟蒙學(xué)生的數(shù)感意識。

(二) 訓(xùn)練學(xué)生的思維,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

數(shù)學(xué)課堂上,我們會經(jīng)常發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象:教師設(shè)計出相同的數(shù)學(xué)情境,有的學(xué)生反應(yīng)非?？焖?思路流暢;有的學(xué)生則反應(yīng)遲緩,苦思冥想。這都是思維方式、思維能力差異所造成的,當然也和學(xué)生的數(shù)感靈敏度有關(guān)。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識會表現(xiàn)出各自獨特的思維方式,或敏銳,或遲滯,或直接,或間接。教師要充分尊重這些差異,并在教學(xué)中鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生表達自己的想法,理解對方的思路,互相啟發(fā)、借鑒,拓展各自的思維,提升學(xué)生對于數(shù)的認識,強化學(xué)生的數(shù)感。

例如,在學(xué)習(xí)“升和毫升”時,教師用量杯裝上水給學(xué)生展示,其中一個裝了1000 毫升,另一個則裝了800 毫升,詢問學(xué)生兩個量杯加在一起一共多少毫升。有的學(xué)生說是1800 毫升;有的學(xué)生說是1 升零800 毫升;有的學(xué)生說比兩個800 毫升多了200 毫升;有的學(xué)生說比2000 毫升少了200 毫升;有的學(xué)生只知道比原來的多了,但不知道多了多少。教師首先肯定大家的答案都是對的,告訴大家,數(shù)字的表達方式不是唯一的,既可以用整數(shù)表達,也可以用小數(shù)表達,還可以用分數(shù)表達。比如1800 毫升就是一個整數(shù),1.8 升就是個小數(shù),一又十分之八升就是一個分數(shù)。通過對一個數(shù)字多種表達形式的認識,引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度來理解數(shù),豐富學(xué)生對于數(shù)的認識。多維的數(shù)字認識,培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感,拓寬了學(xué)生的思維。

(三) 鼓勵學(xué)生大膽猜想,延展學(xué)生的數(shù)感

沒有大膽的猜想,就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)。[2]在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生在原有數(shù)字認知基礎(chǔ)上大膽猜想,合理估算,幫助學(xué)生有效地發(fā)展數(shù)感。

例如,在學(xué)習(xí)“100 以內(nèi)的數(shù)的大小”時,教師隨機詢問學(xué)生:“有誰記得媽媽今年多少歲? 自己又是多少歲?”有的學(xué)生回答:“我今年7 歲,我的媽媽35 歲?！苯處煱? 和35 寫在黑板上。接著再詢問更多的學(xué)生,寫出更多的數(shù)字。然后教師讓學(xué)生說出這些數(shù)字之間的關(guān)系,比如,35 比7 大、7比35 小,35 比7 大28、7 比35 小28。學(xué)生通過對母子或母女年齡關(guān)系的認識也能感知到數(shù)字的大小關(guān)系。

教師還可以讓學(xué)生猜一猜老師們的年齡。學(xué)生給出的答案會很多,甚至有一些不著邊際。教師可以組織學(xué)生討論:哪些答案不可能? 那些答案接近?為了讓學(xué)生的數(shù)感更真切,教師可以給出其他條件,比如:“我叫英語老師張姐。英語老師叫語文老師李姨。語文老師稱呼我為小趙?！弊寣W(xué)生再通過這些條件繼續(xù)猜測。學(xué)生的猜測五花八門,千奇百怪。但是如果不合理時,總會有同學(xué)站起來反對,并給出一些理由。通過不斷地猜測,學(xué)生對于數(shù)字的判斷和表達能力逐漸提升,數(shù)感也愈加成熟。

再如,在學(xué)習(xí)“圓的周長”時,教師為學(xué)生準備了圓規(guī)、尺子和軟線。先讓學(xué)生在紙上畫出以5厘米、8 厘米等為半徑的圓,然后判斷這些圓的周長大致是多少。因為學(xué)生還不知道如何測量,答案都是猜測出來的,很不準確。教師提醒學(xué)生,可否應(yīng)用教師提供的軟線,來測量圓的周長? 這時學(xué)生開始按照圓的邊線放置軟線,最后量得軟線的長度,得出圓周長。但是因為軟線的放置不是很容易,所以得出的數(shù)據(jù)并不精準。這時候教師進一步引導(dǎo)學(xué)生思考:得到的數(shù)據(jù)和圓的直徑有什么樣的關(guān)系?有學(xué)生猜想:直徑和圓的周長之間必然有某種聯(lián)系。也有同學(xué)說:直徑越長,圓的周長越長。教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生猜想:一個直徑的長度能否圍成這個圓?兩個直徑的長度能否圍成這個圓? 三個直徑的長度如何? 四個直徑的長度又怎么樣? 此時學(xué)生會有多種猜測:圓的周長是兩個半徑;圓的周長是三個半徑;圓的周長是四個半徑等。在這個學(xué)生大膽猜測的過程中,幫助學(xué)生形成了數(shù)據(jù)間的關(guān)系式,提升了學(xué)生的數(shù)感體驗。

(四) 開展教學(xué)實踐活動,強化學(xué)生的數(shù)感

小學(xué)生是通過親身參與來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和思考數(shù)學(xué)的,可以說數(shù)學(xué)教學(xué)實踐活動是小學(xué)生創(chuàng)新意識的搖籃。為此,在小學(xué)課堂上,教師要多為學(xué)生設(shè)計出各種趣味性較強的實踐活動,并通過這些實踐活動培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感,發(fā)展學(xué)生思維。

例如,數(shù)學(xué)教師可以帶領(lǐng)學(xué)生來到操場上開展數(shù)學(xué)活動。首先讓學(xué)生觀察學(xué)校的旗桿,猜測它的高度。這時候?qū)W生會嘰嘰喳喳地給出很多答案。但是很少會有人敢于確定自己的猜測結(jié)果。這時教師提出:我們?nèi)绾螠y量出操場旗桿的高度? 因為旗桿很細又沒有其他工具,很難爬上去測量。在學(xué)生茫然無措中,教師拿來一根標桿,插在操場上。在日光下,地上出現(xiàn)了標桿的影子。教師組織學(xué)生分別測量出標桿和影子的長度,讓學(xué)生思考標桿和影子之間的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生此時恍然大悟,表示可以反向思考,利用標桿和影子的關(guān)系來推算出旗桿跟旗桿影子的關(guān)系,自然也就能得出旗桿的高度。這個時候也不要簡單地結(jié)束活動,還可以繼續(xù)追問? 我們學(xué)校的教學(xué)樓高度是多少? 圖書館高度是多少?學(xué)校大門高度是多少? 學(xué)生一邊猜,一邊量,對不同高度有了感性的體驗,也培養(yǎng)了學(xué)生的思維,發(fā)展了動手操作能力。

在教學(xué)實踐活動中培養(yǎng)數(shù)感,學(xué)生對于數(shù)有更加深刻的印象,在遇到相同的數(shù)學(xué)情境時,也能夠把這個作為參照來進行思考,從而快速地解決問題。

(五) 借助信息技術(shù)手段,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感

學(xué)習(xí)是一個學(xué)生獲得理智自由的過程,如果教師不能使學(xué)生參與對事物所進行的對話和解釋之中,不能使學(xué)生對事物本身的片面認識得到修正、調(diào)整與深化,那么學(xué)習(xí)就是停滯的、無效的。[3]教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的喜好選擇適合的教學(xué)方式。算數(shù)算理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中十分抽象,“數(shù)一數(shù)”和“撥一撥”往往很難解決復(fù)雜的問題。教師如果能針對小學(xué)生的年齡特點,結(jié)合信息技術(shù)的應(yīng)用,創(chuàng)設(shè)出有趣的教學(xué)情境,為學(xué)生制作出生動形象的多媒體課件,把抽象的算理直觀地呈現(xiàn)出來,能夠讓學(xué)生充分了解算理的含義,在腦海中構(gòu)建出良好的數(shù)學(xué)知識框架。

例如,在學(xué)習(xí)“兩位數(shù)乘一位數(shù)估算”的時候,教師利用提前制作的課件,在課堂上為學(xué)生呈現(xiàn)出一個小朋友在商店購買西瓜的場景。問題如下:商店中一箱西瓜48 元,小朋友想買4 箱,小朋友的媽媽給了他200 元錢。請問小朋友帶的錢夠嗎? 不經(jīng)過精確計算,誰能最快地回答出來? 教師讓學(xué)生說出自己的思考過程。首先學(xué)生把48 看成為50,然后用50 來乘以4 箱,就可以得到需要支付200 元的結(jié)果。因為48 比50 小,因此小朋友帶來的200元是足夠的。對于學(xué)生的答案,教師先不表態(tài),而是要求學(xué)生利用計算器或者利用兩位數(shù)乘以一位數(shù)去計算,得出48 乘以4,等于184。184 小于200,所以說明小朋友帶的錢是夠的,也證明這個同學(xué)的答案是正確的。

在這里,快速得出結(jié)論的學(xué)生使用的是估算。估算是數(shù)感體驗中的一項重要內(nèi)容,很多的數(shù)感體驗并不一定十分精確,因為它們都是估算的結(jié)果。

(六) 通過回顧和復(fù)習(xí)知識,幫助學(xué)生形成數(shù)感

通過復(fù)習(xí)能夠帶領(lǐng)學(xué)生回顧自己之前學(xué)習(xí)的知識點,并重點了解自己曾經(jīng)出現(xiàn)錯誤、掌握不牢固的內(nèi)容,實現(xiàn)查漏補缺的目的,有效完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò),讓學(xué)生對于數(shù)的概念理解得更加全面,也有助于學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)。例如,“數(shù)的認識”一課可以這樣復(fù)習(xí):讓學(xué)生每人搜集一條關(guān)于數(shù)的信息,呈現(xiàn)在黑板上。比如整數(shù)2,分數(shù)小數(shù)3.535,自然數(shù)7,數(shù)字0,循環(huán)小數(shù)1.333……無限不循環(huán)小數(shù)π 等。教師組織學(xué)生把它們填寫到數(shù)的結(jié)構(gòu)圖上,進而讓學(xué)生系統(tǒng)了解數(shù)的分類及各其特征。

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要學(xué)會華羅庚的方法:書從薄讀到厚,還要從厚讀到薄。教師可以讓小學(xué)生計算一下自己已經(jīng)讀了多少冊數(shù)學(xué)課本了。學(xué)生回答已經(jīng)有12 冊了。教師帶領(lǐng)學(xué)生思考,想要把這12 冊課本內(nèi)容牢牢記住是不可能的,因此需要把學(xué)習(xí)的知識點進行提煉和整合,讓學(xué)生認識到復(fù)習(xí)和回顧的重要性,具備良好的復(fù)習(xí)方法,才能夠把書讀薄,把知識學(xué)活。

結(jié)語

數(shù)感并不是一朝一夕就能夠培養(yǎng)起來的,需要教師在課堂教學(xué)中潛移默化地進行滲透,有意識地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感,讓學(xué)生通過更多的接觸、觀察、實踐和交流,把數(shù)感的培養(yǎng)落實到每一節(jié)課的教學(xué)中,落實到教學(xué)的每一環(huán)節(jié)中,落實到學(xué)生的生活實踐中。