●駱建新

最值問題是一類綜合性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問題，包含代數(shù)計(jì)算、方程（含參數(shù)的方程組）、不等式（組）、函數(shù)的單調(diào)性、幾何計(jì)算與證明、對(duì)稱等數(shù)學(xué)知識(shí)。 其往往以難題形式出現(xiàn)，學(xué)生感到解題十分困難。而教材對(duì)這一知識(shí)沒有專門章節(jié)進(jìn)行系統(tǒng)闡述， 更加大了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。 本文從代數(shù)和幾何兩方面尋找解決這一問題的突破口，將教材中分散的內(nèi)容整體化，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)該問題的認(rèn)知形成系統(tǒng)，提高學(xué)生分析和解決問題的能力。

代數(shù)最值集中體現(xiàn)一個(gè)代數(shù)式的值在變化過程中出現(xiàn)最大值或最小值， 而初中數(shù)學(xué)刻畫變化過程的知識(shí)就是函數(shù)，體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化思想，產(chǎn)生最值。 利用函數(shù)的增減性和函數(shù)本身的最值是解決這一問題的常用方法。 具體思路是：1.把要求最值的代數(shù)式化為只含一個(gè)變量的代數(shù)式。 2.若代數(shù)式是一次式就利用一次函數(shù)的增減性，確定自變量取值范圍，在端點(diǎn)處取得最大值和最小值。 3.若代數(shù)式是二次式就利用二次函數(shù)的最值問題， 通常包括兩種情形：（1）頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在自變量取值范圍內(nèi)，函數(shù)最值為函數(shù)本身的最值和兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值；(2)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在自變量取值范圍內(nèi)， 函數(shù)最值為端點(diǎn)處的函數(shù)值。 4.運(yùn)用絕對(duì)值、算術(shù)平方根、偶次方運(yùn)算特征求最值。 5.當(dāng)一個(gè)代數(shù)式含有多個(gè)字母時(shí)，可用配方法解決代數(shù)最值問題。6.數(shù)形結(jié)合求最值，利用構(gòu)造法求最值。 7.分類討論求最值，涉及多個(gè)絕對(duì)值的運(yùn)算需用零點(diǎn)分段法分類討論求最值。8.最優(yōu)方案設(shè)計(jì)問題，這也是最值問題的常見運(yùn)用。

例如：①當(dāng)x=時(shí)，|x-3|+5 取最小值______。可用運(yùn)算特征直接獲取最值。 ②代數(shù)式x2+y2-4x+6y+12的最小值是 _______。 可利用配方法解決問題，x2+y2-4x+6y+12=(x-2)2+(y-3)2-1，故代數(shù)式x2+y2-4x+6y+12的最小值是-1。 ③已知x、y、z 是三個(gè)非負(fù)數(shù)，且3x+2y+z=5，2x+y+3z=1，若s=3x+y-7z，求s 的最大值與最小值。這是一個(gè)典型的函數(shù)型最值問題，需把s 用一個(gè)變量的函數(shù)表示。條件“3x+2y+z=5，2x+y-3z=1”可以實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，得到x=7z-3，y=7-11z,這樣S 可以表示為一個(gè)變量z 的一次函數(shù)s=3z-2。 這時(shí)S 的最值由一次函數(shù)的增減性確定， 必須求這個(gè)變量z的取值范圍，接下來“x、y、z 是三個(gè)非負(fù)數(shù)”可以得出一個(gè)不等式組:7z-3≥0，7-11z≥0，z≥0，求出z 的取值范圍問題得以解決。 ④y=-2x2-8x+5的最大值為 ______。本題中自變量可以取一切實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，y 取最大值為13。 ⑤y=-2x2-8x+5 (3≤x≤5)的最大值為______，最小值為 _____。當(dāng)3≤x≤5 時(shí)，對(duì)稱軸x=-2 不在這一取值范圍（當(dāng)x-2 時(shí)，y隨x 增大而減?。划?dāng)x=3 時(shí)，y取最大值為-2×32-8×3+5=-37； 當(dāng)x=5 時(shí)，y 取最小值-2×52-8×5+5=為-85，求的最小值。 由平方和聯(lián)想勾股定理，構(gòu)造兩個(gè)直角邊分別為x、1 與(3-x)、3 的直角三角形，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)定點(diǎn)A,B 到直線l 的距離AC=1和BD=3，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P 在CD 上運(yùn)動(dòng)，CD=3，求AP+BP和的最小問題，使問題轉(zhuǎn)化為作點(diǎn)A 關(guān)于CD 的對(duì)稱點(diǎn)A1，連接A1B，則A1B 的長(zhǎng)度是最小值為5。 ⑦求y=x-5+x+1 的最值。 由零點(diǎn)分段法：x≤-1；-1＜x＜5；x≥5。 (1)當(dāng)x≤-1 時(shí)，y=-2x+4，當(dāng)x=-1 時(shí)，y 的最小值為6；（2）當(dāng)-1＜x＜5 時(shí)，y=6；（3）當(dāng)x≥5 時(shí)，y=2x-4，當(dāng)x=5時(shí)，y 的最小值為6。綜上所述，y=x-5+x+1 有最小值為6（-1≤x≤5）。

幾何最值常用兩個(gè)公理：（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）點(diǎn)到直線之間垂線段最短。 再結(jié)合對(duì)稱知識(shí)使問題得以解決。 其包括以下幾種類型：

1.立體圖形中的最值模型。 當(dāng)我們沿立體圖形的表面尋找最小值時(shí)，通常會(huì)展開為平面圖形，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求最值。 例如： ①矩形ABCD為圓柱體的橫截面，BC 是上底的直徑，其中AB 為4cm，底面圓周長(zhǎng)為16cm，一只螞蟻從點(diǎn)A 出發(fā)，沿著圓柱側(cè)面爬行到點(diǎn)C，則爬行最短路程是多少？②圓柱形玻璃杯高為12cm，底面周長(zhǎng)為18cm。在杯內(nèi)離杯底4cm 的點(diǎn)C 處有一只蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁， 離杯上沿4cm 與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A 處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜處的最短距離為______cm。 這兩個(gè)問題均需展開為平面圖形。第一題直接將圓柱展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答。 底面周長(zhǎng)為16cm，半圓弧長(zhǎng)為8cm，畫展開圖形由題意得：BC＝8cm，AB＝4cm， 根據(jù)勾股定理得第二個(gè)問題需用對(duì)稱的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即將圓柱沿過A 的母線剪開，由題意可知，需在杯口所在直線上找一點(diǎn)F，使AF+CF 最小，則先作出A 關(guān)于杯口所在直線的對(duì)稱點(diǎn)A′， 連接A′C 與杯口的交點(diǎn)即為F，此時(shí)AF+CF＝A′F+CF＝A′C，再利用勾股定理求A′C 的長(zhǎng)即可。

2.一定一動(dòng)取最小值模型。 題目出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)A，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)B 在直線上運(yùn)動(dòng)，求AB 的最小值。 利用點(diǎn)到直線之間垂線段最短可以解決。 例如：Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=3，AC=4， 點(diǎn)D 是BC 上動(dòng)點(diǎn)，求AD 的最小值。 A 到BC 的垂線段AD 的長(zhǎng)度可以用面積法求得，AB×AC=BC×AD，得

3.兩定一動(dòng)和最短模型。 題目中出現(xiàn)兩個(gè)定點(diǎn)A、B 和一個(gè)在直線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)C，求AC+BC 的最小值。 可分兩種情況：兩定一動(dòng)（定點(diǎn)在直線異側(cè)），可直接用兩點(diǎn)之間線段最短，獲取AC+BC=AB 為和的最小值；兩定一動(dòng)（定點(diǎn)在直線的同側(cè)），則要用對(duì)稱的知識(shí)作A 關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A′，把定點(diǎn)由同側(cè)變異側(cè)，轉(zhuǎn)化為第一種情形，AC+BC 的最小值為A′B 的長(zhǎng)度。

4.兩定一動(dòng)差最大模型。 題目出現(xiàn)有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C 在一條直線上運(yùn)動(dòng)，求AC-BC的最大值。 分兩種情況：兩定一動(dòng)（定點(diǎn)在直線同側(cè)），根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的推論（三角形兩邊之差小于第三邊），當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，AC-BC 取最大值等于AB。 兩定一動(dòng)（定點(diǎn)在直線異側(cè)），則需要用對(duì)稱的知識(shí)作A 關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A′， 使異側(cè)變同側(cè)，轉(zhuǎn)化為第一種情形，AC-BC 取最大值等于A′B 的長(zhǎng)度。例如：①在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于第一、三象限內(nèi)的A（3，5），B（a，-3）兩點(diǎn)，與x 軸交于點(diǎn)C。在y 軸上找一點(diǎn)P 使PB-PC 最大， 求PB-PC 的最大值及點(diǎn)P 的坐標(biāo)。 其屬于兩定一動(dòng)差最大（同側(cè)）問題，PB-PC 的最大值為BC 的長(zhǎng)度。 故P 為BC 與y 軸交點(diǎn)。把A（3，5）代入可得m＝3×5＝15，反比例函數(shù)的解析式為；把點(diǎn)B（a，-3）代入y2=，可得a＝-5，得B（-5，-3）。 把A（3，5），B（-5，-3）代入y1＝x+b， 所以一次函數(shù)的解析式為y1＝x+2；一次函數(shù)與y 軸的交點(diǎn)為P （0，2）， 此時(shí)，PB-PC＝BC最大，P 即為所求，令y＝0，則x＝-2，所以C（-2，0），所 以②一次函數(shù)y＝mx+n（m≠0）的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第二、四象限的點(diǎn)A（-2，a）和點(diǎn)B（b，-1），過A 點(diǎn)作x 軸的垂線， 垂足為點(diǎn)C，△AOC 的面積為4。 在y 軸上取點(diǎn)P，使PB-PA 取得最大值時(shí)，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)。 這屬于兩定一動(dòng)差最大 （異側(cè)）問題，作點(diǎn)A 關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)P 為A′B 與y軸的交點(diǎn)。 由△AOC 的面積為4，得解得k＝-8，或k＝8（不符合題意舍去），反比例函數(shù)的關(guān)系式為，把點(diǎn)A（-2，a）和點(diǎn)B（b，-1）代入y＝-，得a＝4，b＝8；由于點(diǎn)A（-2，4）關(guān)于y 軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（2，4），又B（8，-1），則直線A′B 與y 軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，則有直線A′B的關(guān)系式為與y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為即點(diǎn)P 的坐標(biāo)為

5.一定兩動(dòng)和最短模型。 題目中出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)A 和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B,C，點(diǎn)B 在l1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C 在l2上運(yùn)動(dòng)，求AB+BC 的最小值，分兩種情況：點(diǎn)A 與l2在l1異側(cè)時(shí)，當(dāng)A，B，C 共線時(shí)和最小，且垂線段最短，A到l2的垂線段的長(zhǎng)度是AB+BC，為最小值；當(dāng)點(diǎn)A與l2在l1同側(cè)時(shí)，則要利用對(duì)稱的知識(shí)，作點(diǎn)A 關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)A′，轉(zhuǎn)化為第一種情形解決。例如：在Rt△ABC 中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC＝4，若E 是BC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn) 是AC 上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF 的最小值為多少？ 這屬于一定兩動(dòng)在直線的外部情形。 本題中一個(gè)定點(diǎn)為A，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E 是BC 上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AC 上的動(dòng)點(diǎn)。 要使AE+EF 最短，屬于第二種情形，無法利用兩點(diǎn)之間線段最短求解，故作A 關(guān)于BC 的對(duì)稱點(diǎn)D，交BC 于H，過D 作DF⊥AC 于F，交BC 于E， 根據(jù)點(diǎn)到直線之間垂線段最短， 此時(shí)AE+EF 的值最小，且AE+EF 的最小值為DF。 由∠A＝90°，∠B＝60°， 得∠C＝30°， 作A 關(guān)于BC 的對(duì)稱點(diǎn)D，交BC 于H，過D 作DF⊥AC 于F，交BC 于E，則此時(shí)AE+EF 的值最小， 且AE+EF 的最小值為DF，連接CD， 可證△ADC 為等邊三角形。 又BC＝4，得,故

6.一定兩動(dòng)周長(zhǎng)最短模型。 題目中出現(xiàn)兩條直線l1與l2交于一點(diǎn)，點(diǎn)A 在l1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B 在l2上運(yùn)動(dòng)，P 為角內(nèi)部一定點(diǎn)， 求三角形ABP 周長(zhǎng)的最小值。 要想取得PA+PB+AB 的最小值，如何使這三條線段共線是關(guān)鍵。 利用兩次對(duì)稱，作P 關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)P1，作P 關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)P2，連接P1P2，則P1P2的長(zhǎng)度是三角形ABP 周長(zhǎng)的最小值。 例如：平面直角坐標(biāo)系中，已知M(1,3)，A 為x 軸上一動(dòng)點(diǎn)，B為y 軸上一動(dòng)點(diǎn)，求三角形MAB 的周長(zhǎng)的最小值。可以通過兩次對(duì)稱，三角形MAB 的周長(zhǎng)最小值為M 關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)（1，-3）M 關(guān) 于y 軸(-1,3)之間的距離

總之， 初中代數(shù)最值問題可通過含最值的運(yùn)算和函數(shù)思想解決。幾何最值往往轉(zhuǎn)化為：一定一動(dòng)利用垂線段最短解決；兩定一動(dòng)和最?。ó悅?cè)，同側(cè)），利用兩點(diǎn)之間線段最短解決； 兩定一動(dòng)差最大（同側(cè)，異側(cè)），利用三角形兩邊之差小于第三邊，共線時(shí)等于第三邊取最大值解決； 一定兩動(dòng)和最小利用兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短綜合應(yīng)用解決；一定兩動(dòng)周長(zhǎng)最小，利用兩次對(duì)稱兩點(diǎn)之間線段最短解決。