楊懷義

（中國建筑材料工業(yè)地質(zhì)勘查中心山西總隊，山西 太原 030031）

1 概述

變形監(jiān)測在建筑物的施工以及運營、滑坡等地質(zhì)災(zāi)害防治、隧道圍巖變形等安全監(jiān)測中廣泛應(yīng)用，是安全監(jiān)測的實用手段［1］。而在獲取變形數(shù)據(jù)后的變形預(yù)測，則是變形數(shù)據(jù)分析的重要內(nèi)容。其是根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)對未發(fā)生變形進(jìn)行預(yù)測，能夠?qū)磳l(fā)生的變形有一個初步判斷，以對安全措施的制定提供指導(dǎo)，預(yù)警和降低可能的損失。目前變形預(yù)測方法有多種。而由華中科技大學(xué)鄧聚龍教授于1982 年提出的灰色GM（1，1） 模型具有小數(shù)據(jù)樣本、貧信息建模的特征［2－4］。而其自提出以來，針對模型方法的改進(jìn)及應(yīng)用研究已經(jīng)取得諸多成果。其中卜璞等［5］針對GM（1，1） 存在的三方面問題，對其進(jìn)行改進(jìn)并應(yīng)用于建筑物變形預(yù)測中，取得較好的效果；邱利軍等［6］則采用平面坐標(biāo)變換的方式對建模序列的一次累加值的預(yù)測值進(jìn)行變換，以變換后的折線上的點作為其預(yù)測值并還原，從而改進(jìn)模型并以大壩變形數(shù)據(jù)以及基坑變形數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗證；王艷艷等［7］則針對均值GM（1，1） 模型對小浪底大壩實測變形數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測分析，從而進(jìn)行了模型實踐應(yīng)用研究；姚穎康等［8］、王新勝等［9］則分別針對滑坡變形和隧道圍巖變形采用改進(jìn)GM（1，1） 模型和非齊次灰色預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測，取得比傳統(tǒng)模型好的效果。本文以晉中市某小區(qū)18 層樓的沉降實測數(shù)據(jù)為依據(jù)，建立多種GM（1，1） 模型進(jìn)行擬合預(yù)測，并對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了對比分析，對工程實際應(yīng)用及模型選取具有一定意義。

2 幾種GM（1，1）模型原理

2．1 原始GM（1，1） 模型和均值GM（1，1） 模型

設(shè)序列X（0）=（x（0）（1） ，x（0）（2） ，…，x（0）（n） ） ，其中x（0）（k） ≥0，k=1，2，…，n；X（1）= （x（1）（1） ，x（1）（2） ，…，x（1）（n） ） ，X（1）為X（0）的1 －AGO 序列，計算公式為：

其中，k=1，2，…，n。

式（2） 為GM（1，1） 模型的原始形式。其中，參數(shù)向量^a=［a，b］T，運用最小二乘估計求解：

其中：

基于原始形式的GM（1，1） 模型和式（3） 估計參數(shù)，直接以式（2） 的解作為時間響應(yīng)函數(shù)，所得到的模型為原始差分GM（1，1） 模型（ODGM） 。

設(shè)X（0）與X（1）如 上 所 示，設(shè)Z（1）= （z（1）（2） ，z（1）（3） ，…，z（1）（n） ） ，其中：

式（6） 為均值GM（1，1） 模型。矩陣B變?yōu)椋?/p>

進(jìn)而采用式（3） 進(jìn)行式（6） 中參數(shù)向量^a=［a，b］T的估算。

式（8） 為均值GM（1，1） 模型的白化微分方程，也稱

收稿日期：2021－08－12

★基金項目：張家口科技計劃項目（2021028D）；河北省高等學(xué)校青年拔尖人才計劃（BJ2020010）

作者簡介：楊懷義（1988 － ），男，工程師，注冊測繪師，從事工程測量方法研究影子方程。

均值GM（1，1） 模型的時間響應(yīng)函數(shù)為：

若k≤n為模擬，若k＞n為預(yù)測。累減還原式為：

而對應(yīng)的X（0）的時間響應(yīng)函數(shù)是：

2．2以x（1）（n） 為初始條件的GM（1，1） 模型

設(shè)B，Y，^a為均值GM（1，1） 模型所述，^a=［a，b］T=（BTB）－1BTY，則：

2） 灰色微分方程x（0）（k） +az（1）（k） =b時間響應(yīng)函數(shù)為：

3） 還原值：

證明過程參見文獻(xiàn)［3］。同上：

a．當(dāng)k≤n時，稱^x（0）（k） 為模型模擬值；

b．當(dāng)k＞n時，稱^x（0）（k） 為模型預(yù)測值。

2．3 基于Newton-Cotes 公式的GM（1，1） 模型

該方法分析了GM（1，1） 模型的背景值，認(rèn)為其求法實際上就是數(shù)值積分中的梯形法，而梯形法的誤差較大，精度也比較低；因此，該方法提出用Newton-Cotes 法代替梯形法重新構(gòu)建背景值。

在用Newton-Cotes 公式時需要用到如下的數(shù)值：

其中，k=1，2，…，n－1?？梢岳脭?shù)值分析中的插值法求出這些值。

依據(jù)數(shù)值分析相關(guān)知識可知，函數(shù)f（x） 關(guān)于點x0，xk的一階均差定義為：

函數(shù)f（x） 關(guān)于點x0，x1，xk的二階均差定義為：

函數(shù)f（x） 關(guān)于點x0，x1，…，xk－2，xk的k－1 階均差定義為：

函數(shù)f（x） 關(guān)于點x0，x1，…，xk的k階均差定義為：

牛頓插值公式：

假設(shè)x是［a，b］上一點，可得：

只要把后一式代入到前一式子，就可以得到：

其中：

牛頓均差插值多項式為：

Newton-Cotes 公式：

設(shè)將積分區(qū)間［a，b］劃分為n等分，步長h=，選取等距節(jié)點xk=a+kh構(gòu)造出的差值型積分式：

稱作Newton-Cotes 公式，式中C（n）稱為Cotes 系數(shù)。

設(shè)x=a+th，則有：

由于是多項式的積分，Cotes 系數(shù)的計算不會遇到實質(zhì)性的困難。

當(dāng)n=1 時：

這時的求積公式是我們熟悉的梯形公式。

當(dāng)n=2 時，這時的Cotes 系數(shù)為：

相應(yīng)的求積公式是Simpson 公式：

而n=4 的Newton-Cotes 公式則特別稱作Cotes 公式，其形式為：

此即改進(jìn)所用Newton-Cotes 公式。

基于Newton-Cotes 公式背景值改進(jìn)：

取一次累加序列x（1）= {x（1）（1） ，x（1）（2） ，…，x（1）（n） }，令Y（k） =k，k=1，2，…，n，把［Y（k） ，x（1）（k） ］，k=1，2，…，n作為對應(yīng)曲線上的等間距點的坐標(biāo)，用牛頓插

其中，k=1，2，…，n－1。

3 工程實例應(yīng)用及比較分析

該項目位于晉中市，樓主體為地上18 層，結(jié)構(gòu)形式為鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)。監(jiān)測目的是掌握該建筑在施工建設(shè)和使用過程中的沉降情況，保證建筑施工階段和使用過程中的安全，并為消除隱患提供科學(xué)依據(jù)。選用1號沉降觀測點實測9 期（第6 期～第14 期） 數(shù)據(jù)，采用前7 期數(shù)據(jù)建模，以后2 期數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證。分別建立原始GM（1，1） 模型、均值GM（1，1） 模型、以x（1）（n） 為初始值的GM（1，1） 模型以及基于Newton-Cotes 公式的GM（1，1） 模型，且模型依次記為模型一、模型二、模型三和模型四。其實測數(shù)據(jù)如表1 所示。

表1 實測變形數(shù)據(jù)序列

采用C#語言編程對四種模型進(jìn)行模型實現(xiàn)，并建模預(yù)測；預(yù)測結(jié)果如表2 所示，預(yù)測結(jié)果的相對誤差如表3所示。

表2 不同模型預(yù)測結(jié)果

表3 不同模型預(yù)測值的相對誤差

通過分析表2，表3 可知，模型一、模型二、模型三的預(yù)測精度相近，而模型四的預(yù)測精度最高。雖然從相對誤差表3 分析，模型一、模型二以及模型三的相對誤差最大為8．10%，可以接受； 但是考慮到三種模型相對誤差最小時（6．49%） ，其殘差值為1．84 mm，是針對累計沉降量的絕對誤差；而已知數(shù)據(jù)序列單次沉降量的最大值為4．01 mm。因此，考慮到單次沉降量的量級，前三類預(yù)測模型結(jié)果是不能接受的。而模型四的殘差值分別為0．23 mm 和－0．31 mm，認(rèn)為達(dá)到了較好的預(yù)測效果。不同模型與已知數(shù)據(jù)建模預(yù)測結(jié)果如圖1 所示。從圖1 可以看出，模型四曲線在后期預(yù)測期中更接近實測數(shù)據(jù)曲線，但也可以明顯看出，四種模型均以單調(diào)指數(shù)函數(shù)形式進(jìn)行預(yù)測，針對波動數(shù)據(jù)預(yù)測存在不足，且適用于短期預(yù)測。

圖1 多種模型預(yù)測結(jié)果比較

4 結(jié)語

在工程施工階段變形發(fā)生并持續(xù)至運營階段，而由于外部因素影響也可能引發(fā)變形，而變形監(jiān)測是保障安全的重要手段。本文以變形監(jiān)測實測沉降數(shù)據(jù)序列為基礎(chǔ)，選取9 期實測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測實踐應(yīng)用分析，采用7 期建模2 期驗證，分別建立的原始GM（1，1） 模型、均值GM（1，1） 模型、以x（1）（n） 為初始值的GM（1，1） 模型以及基于Newton-Cotes 公式的GM（1，1） 模型，在程序?qū)崿F(xiàn)相關(guān)模型的基礎(chǔ)上對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比分析，認(rèn)為基于Newton-Cotes 公式的GM（1，1） 模型預(yù)測結(jié)果達(dá)到了較好的效果，其可以作為相似工程的參考方法。但通過分析可知，本文選用模型均是以指數(shù)函數(shù)進(jìn)行預(yù)測，應(yīng)用上存在限制，且一般適用于短期預(yù)測。針對長期預(yù)測及復(fù)雜數(shù)據(jù)預(yù)測問題，需要進(jìn)一步進(jìn)行研究。