兌紅炎, 陳栓栓, 馬 婧, 陳立偉, 劉玉敏

(1.鄭州大學(xué) 管理工程學(xué)院,河南 鄭州 450001; 2.鄭州大學(xué) 教育學(xué)院,河南 鄭州 450001; 3.鄭州大學(xué) 電氣工程學(xué)院,河南 鄭州 450001; 4.鄭州大學(xué) 商學(xué)院,河南 鄭州 450001)

0 引言

隨著復(fù)雜系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中廣泛的應(yīng)用，對于復(fù)雜系統(tǒng)可靠性的研究也不斷深入。針對系統(tǒng)可靠性，張權(quán)和崔利榮等[1,2]提出了可修系統(tǒng)的可靠性分析，并將其應(yīng)用于電網(wǎng)系統(tǒng)中，提出了可修系統(tǒng)可靠性的馬爾科夫求解方法?；谙到y(tǒng)可靠性，兌紅炎等[3]分析了部件狀態(tài)轉(zhuǎn)移對系統(tǒng)失效的影響關(guān)系。劉寶亮和崔利榮等[4]將系統(tǒng)運(yùn)行水平相同的狀態(tài)歸為一類，整個狀態(tài)空間被劃分為多個運(yùn)行水平，建立了對應(yīng)的可修模型并進(jìn)行可靠性分析。兌紅炎等[5]針對系統(tǒng)多態(tài)性，基于系統(tǒng)可靠性進(jìn)行部件失效及維修成本分析。

而作為影響系統(tǒng)可靠性的一種重要的恢復(fù)能力，對彈性度量的研究和探索從未間斷過。潘星等[6]提出了一種基于彈性的體系結(jié)構(gòu)評價方法，對體系的組件或系統(tǒng)進(jìn)行重要度分析。劉健等[7]針對城市供水系統(tǒng)受外界威脅導(dǎo)致供應(yīng)能力波動的問題，建立了以優(yōu)化供水系統(tǒng)彈性為目標(biāo)的兩階段應(yīng)對策略模型。歐陽敏等[8]從彈性視角出發(fā)，從四個方面進(jìn)行了研究：地震災(zāi)害情形模擬、電網(wǎng)元件脆弱性建模、電網(wǎng)功能變化過程仿真、電網(wǎng)抗震性能評估與改進(jìn)。兌紅炎等[9]分析了組件綜合重要度對系統(tǒng)可靠性的影響機(jī)理,識別對系統(tǒng)可靠性變化影響最大的組件,綜合重要度評估了單位時間內(nèi)系統(tǒng)可靠性的變化。賈旭杰等[10]利用系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型,對該系統(tǒng)的危險失效和安全失效進(jìn)行定義和算法求解,探索兩種失效模式下的系統(tǒng)性能。同時定義了危險、安全失效概率指數(shù),精確計算系統(tǒng)失效時每種失效發(fā)生的可能性。

在交通網(wǎng)絡(luò)的彈性研究方面，王昕等[11]針對存在異質(zhì)用戶的彈性需求交通系統(tǒng),當(dāng)用戶時間價值呈離散分布時,給出了系統(tǒng)時間最優(yōu)和系統(tǒng)費(fèi)用最優(yōu)的雙準(zhǔn)則優(yōu)化模型及其帕累托的有效前沿。證明了存在正的匿名路段收費(fèi)方案。張敖木翰[12]等研究了突發(fā)事故下交通擁堵的控制策略，研究了突發(fā)事故下臨時性的車輛禁行設(shè)計與可變信息板選址組合優(yōu)化問題。馬壽峰[13]等從風(fēng)險角度提出了一種交通系統(tǒng)可靠性分析方法, 通過高斯核估計，給出了基于歷史數(shù)據(jù)的路段出行時間分布函數(shù)的估計與計算方法,從而得到該路段的基于風(fēng)險的交通可靠性。李兆隆等[14]提出一種基于彈復(fù)性的交通系統(tǒng)應(yīng)急恢復(fù)階段策略優(yōu)化模型，結(jié)合并行機(jī)調(diào)度問題算法和用戶均衡配流問題算法，設(shè)計了一種特殊的交互式雙層算法。

從以上的文獻(xiàn)綜述可以看出，對系統(tǒng)彈性的研究本質(zhì)上是在系統(tǒng)失效后對系統(tǒng)恢復(fù)能力和穩(wěn)定性的研究。一般來說，級聯(lián)失效是指網(wǎng)絡(luò)中一個或少數(shù)幾個節(jié)點(diǎn)或邊的失效會通過節(jié)點(diǎn)之間的耦合關(guān)系引發(fā)其他節(jié)點(diǎn)也發(fā)生失效，進(jìn)而產(chǎn)生級聯(lián)效應(yīng)，最終導(dǎo)致相當(dāng)一部分節(jié)點(diǎn)甚至整個網(wǎng)絡(luò)的崩潰。在分析彈性問題時，考慮了網(wǎng)絡(luò)中不同節(jié)點(diǎn)失效時，剩余節(jié)點(diǎn)的彈性以及邊的彈性，發(fā)生級聯(lián)失效后整體網(wǎng)絡(luò)的彈性也會受到影響。本文通過找到系統(tǒng)中的節(jié)點(diǎn)和邊內(nèi)在的關(guān)聯(lián)進(jìn)而找到影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素，并較為準(zhǔn)確地評估某一種特定系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，進(jìn)而對現(xiàn)有的系統(tǒng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和改進(jìn)，以使其具有更加穩(wěn)定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和性能表現(xiàn)。此外，在構(gòu)建新的系統(tǒng)時預(yù)先做出較為合理的節(jié)點(diǎn)和邊布局，使得其在最初狀態(tài)下便具備了良好的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，進(jìn)而減少日后系統(tǒng)維護(hù)成本和次數(shù)。

1 可靠性節(jié)點(diǎn)彈性指標(biāo)

節(jié)點(diǎn)的彈性是節(jié)點(diǎn)在發(fā)生故障后的恢復(fù)能力。本節(jié)將從節(jié)點(diǎn)之間的相對性與絕對性出發(fā)，分別給出節(jié)點(diǎn)相對實(shí)時負(fù)荷量和相對實(shí)時負(fù)荷轉(zhuǎn)移速率、絕對實(shí)時負(fù)荷量與絕對實(shí)時負(fù)荷轉(zhuǎn)移速率等指標(biāo)，通過這幾個指標(biāo)的結(jié)合最終給出整體系統(tǒng)彈性度量。一般系統(tǒng)中任一節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷流動狀態(tài)由三個方面決定，分別是節(jié)點(diǎn)自身原有負(fù)荷隨時間的變化特征、上游節(jié)點(diǎn)的外來負(fù)荷隨時間的變化特征以及下游節(jié)點(diǎn)的外來負(fù)荷隨時間的變化特征。而節(jié)點(diǎn)的絕對實(shí)時負(fù)荷量指不考慮節(jié)點(diǎn)所處的上下游拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，僅考慮自身的負(fù)荷量隨時間的變化特征的情形，而絕對負(fù)荷轉(zhuǎn)移速率可以通過絕對實(shí)時負(fù)荷量求導(dǎo)得出，其含義是指節(jié)點(diǎn)在單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)移的負(fù)荷量。節(jié)點(diǎn)的絕對實(shí)時負(fù)荷量Qi(t)表示為

(1)

(2)

節(jié)點(diǎn)的相對實(shí)時負(fù)荷量是指不考慮該節(jié)點(diǎn)自身原有負(fù)荷的轉(zhuǎn)移特征，單位時間內(nèi)上游節(jié)點(diǎn)每轉(zhuǎn)移單位負(fù)荷量，下游節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移的負(fù)荷量大小。以任一節(jié)點(diǎn)i為研究對象，其上游節(jié)點(diǎn)為pq，下游節(jié)點(diǎn)為rq，則節(jié)點(diǎn)i的相對實(shí)時負(fù)荷量表示為。

(3)

(4)

對于節(jié)點(diǎn)的相對實(shí)時負(fù)荷轉(zhuǎn)移速率的變化率，它反映了節(jié)點(diǎn)的相對實(shí)時負(fù)荷轉(zhuǎn)移速率的變化程度的快慢，對相對實(shí)時負(fù)荷轉(zhuǎn)移速率求導(dǎo)后得到。在某一節(jié)點(diǎn)失效引發(fā)的級聯(lián)失效過程中，不同節(jié)點(diǎn)的相對負(fù)荷轉(zhuǎn)移速率隨時間而不斷變化，若轉(zhuǎn)移速率變化地較慢，則表明在一定的時間內(nèi)，該節(jié)點(diǎn)內(nèi)相對實(shí)時負(fù)荷轉(zhuǎn)移速率的變化量較小，進(jìn)而反映該節(jié)點(diǎn)在保持自身穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上可承受的傳遞速率的范圍較小；反之，若轉(zhuǎn)移速率變化地較快，則表明該節(jié)點(diǎn)可承受的傳遞速率的范圍較大。因此，當(dāng)某一節(jié)點(diǎn)q失效時，節(jié)點(diǎn)i的相對實(shí)時負(fù)荷轉(zhuǎn)移速率變化率可以用RQi″(Ti)表示。

(5)

由式(5)可以看出，相對負(fù)荷轉(zhuǎn)移速率的變化率是隨時間變化不斷變化的，且當(dāng)某一節(jié)點(diǎn)對確定時，轉(zhuǎn)移速率的變化率僅和初始失效的節(jié)點(diǎn)以及級聯(lián)失效耗用的總時間相關(guān)。

(6)

2 可靠性邊彈性指標(biāo)

每一條邊總是被多個路徑所經(jīng)過，不同的路徑由不同的邊數(shù)目構(gòu)成，而在不同的路徑中，同一段邊在每條路徑中所處的序列數(shù)不盡相同，我們將該段邊所處的某一條路徑的序列數(shù)稱為邊在該條路徑上的層級值。層級值越高，說明該邊位于該條路徑中的下游，反之則更加靠近上游。以此類推，系統(tǒng)也可看作是由不同層級的邊構(gòu)成的節(jié)點(diǎn)組合。若要計算某條邊在系統(tǒng)中所處的位置和層級值，需要對同一條邊在不同條路徑中的層級值取均值處理，并將該均值等效為該條邊在系統(tǒng)中的值，將這種邊分層的特征稱為邊的層級性。

(7)

式(7)中ERj表示邊j在系統(tǒng)中的層級值大小，nj表示該條邊一共被經(jīng)過的路徑總數(shù)。Hλ表示第λ條路徑中所有的邊數(shù)目，而hλ表示在第λ條路徑中該條邊j所處的序列數(shù)。

(8)

3 基于可靠性彈性指標(biāo)的系統(tǒng)彈性

本節(jié)將從節(jié)點(diǎn)彈性與邊彈性入手，綜合節(jié)點(diǎn)的彈性和邊的彈性給出系統(tǒng)彈性度量。節(jié)點(diǎn)的彈性和邊的彈性共同影響著系統(tǒng)的彈性，利用加權(quán)思想綜合衡量節(jié)點(diǎn)和邊的共同影響。

(9)

4 算例分析

本節(jié)給定一個具有15個節(jié)點(diǎn)，22條邊的分層交通系統(tǒng)算例圖，基于該交通系統(tǒng)驗(yàn)證上述所提系統(tǒng)彈性度量方法，如圖1所示。

圖1 交通系統(tǒng)圖

在圖1中，節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)表示層級值，是對系統(tǒng)負(fù)荷傳播的梯度性質(zhì)的形象描述。層級值的范圍是(0,1]，層級值越接近0，則說明該節(jié)點(diǎn)處于系統(tǒng)上游，層級值越接近1，則說明該節(jié)點(diǎn)處于系統(tǒng)下游的位置。以圖1中節(jié)點(diǎn)1為例，一共有12條線路經(jīng)過節(jié)點(diǎn)1，以其中任意一條線路1-4-7-12-15為例，該條線路一共由5個節(jié)點(diǎn)組成，而節(jié)點(diǎn)1所處的序號是第1個。因此在該條線路上，節(jié)點(diǎn)1的層級數(shù)為1/5，以此類推可以得出其他11條剩余線路中節(jié)點(diǎn)1的各自層級數(shù)，這12個數(shù)求層級值得出對于節(jié)點(diǎn)1的層級值為

從圖1可以看出，處于同一層級的節(jié)點(diǎn)成員的層級值相近，這說明該類節(jié)點(diǎn)成員在遍歷所有系統(tǒng)鏈路的情形下處于同一層級范圍內(nèi)，且同一類節(jié)點(diǎn)成員的初始負(fù)荷量和負(fù)荷承載能力是相近的。

考慮不同初始的失效節(jié)點(diǎn)為不同的級聯(lián)失效情形，某個節(jié)點(diǎn)失效時會引起與其相連的邊失效，最終可以得出每一種節(jié)點(diǎn)作為初始失效點(diǎn)情形下的交通網(wǎng)失效過程圖，如圖2所示。

a.初始失效節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)1

b.初始失效節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)2

c.初始失效節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)3

d.初始失效節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)4

f.初始失效節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)6

g.初始失效節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)7

h.初始失效節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)8

i.初始失效節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)9

j.初始失效節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)10

k.初始失效節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)11

l.初始失效節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)12

m.初始失效節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)13

n.初始失效節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)14

o.初始失效節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)15

在圖2中，虛線部分表示由于節(jié)點(diǎn)失效導(dǎo)致的邊失效，組圖忽略所有失效節(jié)點(diǎn)以及虛線的邊，即為各自情形的級聯(lián)失效發(fā)生后新的系統(tǒng)拓?fù)鋱D。從圖2可知，若從節(jié)點(diǎn)失效和邊失效的數(shù)目衡量級聯(lián)失效規(guī)模的大小，則節(jié)點(diǎn)5失效帶來的影響最大，節(jié)點(diǎn)11和節(jié)點(diǎn)13作為初始失效點(diǎn)的影響次之，而靠近系統(tǒng)兩側(cè)的節(jié)點(diǎn)作為初始失效點(diǎn)的影響較小，僅表現(xiàn)為其自身的失效，如節(jié)點(diǎn)1，節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3。

針對交通網(wǎng)，邊數(shù)量和節(jié)點(diǎn)數(shù)量對彈性都會產(chǎn)生影響，邊彈性和點(diǎn)彈性的趨勢變化如圖3所示。

a.邊彈性變化

b.點(diǎn)彈性變化

從圖3可知，邊在系統(tǒng)中的彈性分布呈現(xiàn)出“雙峰”狀，即依次從上游到下游看，會出現(xiàn)兩次邊彈性值“先上升后下降”的趨勢變化過程；而節(jié)點(diǎn)在系統(tǒng)中的彈性分布呈現(xiàn)出“單峰”狀，即依次從上游到下游看，僅出現(xiàn)一次點(diǎn)彈性值“先上升后下降”的趨勢變化過程，表明失效節(jié)點(diǎn)僅對其附近的連邊產(chǎn)生較大程度的影響，其影響程度在節(jié)點(diǎn)4的位置達(dá)到最大，然后影響程度逐漸下降，直到趨于平緩。節(jié)點(diǎn)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響要大于邊對系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響，因此，對整個系統(tǒng)中較為重要的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行重點(diǎn)維護(hù)可以提高系統(tǒng)的可靠性與彈性，通常來說，節(jié)點(diǎn)承載負(fù)荷能力越大，說明該節(jié)點(diǎn)在整個系統(tǒng)的位置越重要，但是當(dāng)承載負(fù)荷的節(jié)點(diǎn)受到外部攻擊或其他事故導(dǎo)致該節(jié)點(diǎn)失效時，對整個系統(tǒng)會產(chǎn)生很大的影響，越重要的節(jié)點(diǎn)應(yīng)該更要加強(qiáng)對它的不定期維護(hù)與檢查。

針對算例系統(tǒng)的15個節(jié)點(diǎn)，22條邊，結(jié)合公式(9)的系統(tǒng)彈性計算方法，最后經(jīng)過計算得出系統(tǒng)的整體彈性程度為62.24%。當(dāng)彈性程度是 100%時，認(rèn)為該系統(tǒng)是具有完全彈性的，可以抵抗任何規(guī)模和任何類型的干擾。當(dāng)彈性程度為0%時，認(rèn)為該系統(tǒng)是完全不具備彈性的，任何小的干擾都有可能造成系統(tǒng)的大規(guī)模級聯(lián)失效。由此可見，彈性程度為62.24%的系統(tǒng)是缺乏彈性的，彈性程度屬于中等，這可能與單源頭節(jié)點(diǎn)和單匯聚節(jié)點(diǎn)相關(guān)，由于最上游節(jié)點(diǎn)和最下游節(jié)點(diǎn)的唯一性，系統(tǒng)在對抗外來干擾時的能力會被局限。

5 結(jié)論

本文從節(jié)點(diǎn)和邊的角度分析了系統(tǒng)彈性的度量，節(jié)點(diǎn)和邊之間存在著必然的聯(lián)系，節(jié)點(diǎn)的彈性是在不考慮自身的負(fù)荷流動情況下對外來負(fù)荷進(jìn)行的描述，單個節(jié)點(diǎn)的發(fā)生故障會導(dǎo)致至少一條邊發(fā)生故障，而單個邊的故障不一定會導(dǎo)致其連接的節(jié)點(diǎn)的故障，因此相較于邊的彈性，節(jié)點(diǎn)的彈性對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響更大。另外，邊發(fā)生故障對系統(tǒng)的破壞程度要小于節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障，且一般而言邊故障一般伴隨著節(jié)點(diǎn)的故障，因此邊彈性對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響較小。對于分層交通系統(tǒng)，若出發(fā)點(diǎn)較多，分層較多，出發(fā)點(diǎn)與目的地之間的各條路線多。當(dāng)路況復(fù)雜時，交通系統(tǒng)的整體彈性就會很低，此時，若在某條街道上發(fā)生交通事故，可能會造成整個交通系統(tǒng)的癱瘓。