開關磁阻電機的分數(shù)階終端滑?？刂?/h1>

2022-03-15 02:58:30高潔王華宇徐萌

電機與控制學報訂閱 2022年2期 收藏

關鍵詞：模面滑模轉矩

高潔， 王華宇， 徐萌

(中國民航大學 電子信息與自動化學院，天津 300300)

0 引 言

開關磁阻電機(switched reluctance motor， SRM)具有結構簡單，能適應惡劣環(huán)境，容錯率強等顯著優(yōu)勢。但是由于SRM自身的強非線性，很難建立精確的數(shù)學模型，當電機的內部參數(shù)變化時，傳統(tǒng)的PID算法難以滿足系統(tǒng)對高性能指標的要求。隨著控制理論的發(fā)展，迭代學習控制、內?？刂?、滑?？刂频戎T多算法相繼應用于SRM調速系統(tǒng)，其中滑?？刂凭哂休^強的魯棒性、對模型精確度要求不高，能夠很好地適應SRM轉速控制系統(tǒng)，然而常規(guī)滑?？刂浦邢到y(tǒng)的快速性和抖振程度是相互矛盾的，并且只能得到系統(tǒng)狀態(tài)的漸近收斂特性。

針對滑模控制的抖振問題，許多學者給出了解決方案，例如將模糊控制[1-2]、神經網絡算法[3-4]、邊界層[5-6]與滑模控制結合。文獻[7]針對一類非線性欠驅動系統(tǒng)設計了一種改進的二階滑模控制方法，該方法可以保證控制輸入及其導數(shù)的平滑性，進而成功避免了抖振問題，將該方法應用于橋式起重機系統(tǒng)，得到了很好的控制效果。文獻[8]首次提出了分數(shù)階魯棒控制的概念并將其應用在汽車工業(yè)中，可以看成分數(shù)階微積分里程碑式的應用成果。文獻[9]采用分數(shù)階積分滑模面和自適應趨近律，即使系統(tǒng)存在不確定項，也能獲得較高的收斂精確度，仿真結果表明分數(shù)階滑模面的抖振情況確實優(yōu)于整數(shù)階滑模面，該控制方法具有較高的跟蹤精確度和魯棒性。文獻[10]針對高速直線運動球型機器人的模型設計了一種分數(shù)階積分遞階滑模控制器，仿真結果說明該控制方法的收斂速度、穩(wěn)定性、魯棒性和抖振情況均優(yōu)于普通的滑?？刂破?。文獻[11]將自適應分數(shù)階微積分滑模面應用于永磁同步電機調速系統(tǒng)，利用李雅普諾夫定理證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對比了整數(shù)階控制器與分數(shù)階控制器的控制性能，證明了分數(shù)階控制器具有更優(yōu)越的動態(tài)特性和抗干擾能力。

在收斂時間方面，傳統(tǒng)的線性滑模面只能得到系統(tǒng)狀態(tài)的漸近收斂特性，終端滑?？刂茖⒎蔷€性函數(shù)引入滑模面，來實現(xiàn)系統(tǒng)的有限時間收斂。文獻[12]認為傳統(tǒng)的滑?？刂浦魂P注系統(tǒng)的最終狀態(tài)，并沒有對系統(tǒng)的瞬態(tài)做約束，針對該問題提出了一種有限時間有界性的滑?？刂?，引入系統(tǒng)分段策略，對到達階段和滑模階段的有限時間有界性分別進行了分析，通過對制導系統(tǒng)仿真，驗證了所提方法的有效性。文獻[13]針對不確定非線性系統(tǒng)的有限時間控制問題，提出了一種自適應滑模擾動觀測器與連續(xù)非奇異終端滑模控制率結合的控制方案，并且證明了觀測器誤差和系統(tǒng)狀態(tài)都是有限時間收斂的，仿真實驗說明該方法提高了系統(tǒng)的綜合控制性能。文獻[14]探討了終端滑?？刂圃赟RM調速系統(tǒng)中的應用，該控制器可以使系統(tǒng)保持線性滑模面的收斂速度和在有限時間內收斂到平衡點，通過與PID控制器對比說明其具有更快的收斂速度。

針對目前SRM滑模控制中的抖振問題和漸近收斂問題，基于上述文獻的思想，本文提出一種改進分數(shù)階終端滑模面，保證系統(tǒng)的狀態(tài)到達滑模面后，始終具有較快的收斂速度并可以有效改善系統(tǒng)的抖振。然后說明該分數(shù)階滑模面是Mittag-Leffler穩(wěn)定的，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有限時間收斂特性。將該改進分數(shù)階終端滑模控制器應用于SRM轉速控制中，通過與常規(guī)滑模控制器進行對比，證明該方法的有效性。

1 分數(shù)階微積分與有限時間收斂特性分析的預備知識

定義1：函數(shù)f(t)的Riemann-Liouville型分數(shù)階積分的定義為[15]

(1)

式中：i>0是分數(shù)階積分階次；Γ(i)是Gamma函數(shù)。

給定函數(shù)的RL分數(shù)階微分定義為

(2)

定理1：若存在連續(xù)正定V(x):Rn→R滿足[16]

(3)

(4)

式中參數(shù)η>0，0

(5)

引理1：冪函數(shù)f(t)=tμ，且μ>-1，則[15]

(6)

引理2：設Xeq=0是系統(tǒng)的平衡點，D?Rn是包括原點有界的閉域。如果函數(shù)V(t,X(t))∶[0,∞)→R關于t是連續(xù)可微的，X滿足局部Lipschitz條件，并且[17]

a1‖X(t)‖a≤V(t,X(t))≤a2‖X(t)‖ab，

(7)

(8)

式中t>0，X∈Ω，ξ∈(0,1)，a1、a2、a3、a和b是給定的任意常數(shù)。那么Xeq=0是Mittag-Leffler穩(wěn)定的，如果假設條件在Rn上全局成立，則Xeq=0是全局Mittag-Leffler穩(wěn)定的。

2 改進分數(shù)階終端滑?？刂破鞯脑O計

2.1 分數(shù)階終端滑?？刂破髟O計

由SRM的轉子機械運動方程

(10)

進一步轉化為狀態(tài)空間表達形式

(12)

根據文獻[19]，得到如下的終端滑模面

(12)

式中0<α<1。此時系統(tǒng)的收斂情況如圖1所示，可以看出當系統(tǒng)狀態(tài)遠離平衡點時，收斂速度很慢。

圖1 0<α<1時的相平面圖Fig.1 Phase plan of 0<α<1

提出如下改進終端滑模面

(13)

式中β>1>α>0，由圖2可知該滑模面保證了x1在整個相平面都有較快的收斂速度。

圖2 β>1>α>0時的相平面圖Fig.2 Phase plan of β>1>α>0

文獻[20]說明了分數(shù)階滑模面減弱系統(tǒng)抖振的基本原理，本文將分數(shù)階微分項引入改進終端滑模面，最后選取改進分數(shù)階終端滑模面為

s=c1|x1|αsign(x1)+c2|x1|βsign(x1)+Dγx1。

(14)

式中c1>0，c2>0，β>1>α>0，1>γ>0。

對式(14)求一階導數(shù)可得

(15)

則可由式(15)得到等效控制率為

(16)

取切換控制率為

usw=-D1-γ[ksign(s)]。

(17)

分數(shù)階微積分形式的符號函數(shù)的性質與符號函數(shù)的性質類似[21]，分數(shù)階微分型符號函數(shù)和普通符號函數(shù)的對比如圖3所示，其中分數(shù)階微分的階次為0.1，輸入為正負周期變化的函數(shù)，輸出為該函數(shù)的符號函數(shù)。

由圖3可以看出，分數(shù)階微分型符號函數(shù)可以降低系統(tǒng)狀態(tài)變量在開關面附近的切換幅值，使得系統(tǒng)的狀態(tài)更加貼近滑模面，削弱系統(tǒng)抖振。

圖3 兩種符號函數(shù)的對比Fig.3 Comparison of two sign function

改進分數(shù)階終端滑模控制率為

u=ueq+usw。

(18)

2.2 滑模面穩(wěn)定性分析

由于在滑模面中引入了非線性項和分數(shù)階微分項，常規(guī)李雅普諾夫函數(shù)無法分析本文提出的滑模面穩(wěn)定性。下面將系統(tǒng)在狀態(tài)空間中分為|x1|<1和|x1|≥1兩部分討論，然后先根據引理2證明所提出的改進分數(shù)階終端滑模面的穩(wěn)定性，再證明其有限時間收斂特性。

取a1=a2=1，ab=2，p為偶數(shù)，q為奇數(shù)且p、q互質，再取常數(shù)λ與p、q滿足以下關系

(19)

當|x1|<1時，首先討論引理2的第1個條件，取函數(shù)

(20)

取a、b和λ滿足以下條件

(21)

從而有

a1|x1|a≤V(x1)≤a2|x1|ab。

(22)

即可證明式(7)成立。

再討論引理2的第2個條件，當系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面時，有s=0，則由式(14)可得

Dγx1=-c1|x1|αsign(x1)-c2|x1|βsign(x1)。

(23)

對式(20)求γ階導數(shù)，由引理1可得

(24)

由式(21)中的參數(shù)取值和Γ函數(shù)的性質可得

(25)

將式(23)代入式(24)可得

(26)

DγV(x1)≤0。

(27)

再由式(26)得

DγV(x1)=A(-c1|x1|α+2λ-c2|x1|β+2λ)≤

-2minA(c1,c2)|x1|α+2λ。

(28)

只需α+2λ≤2且a3為滿足a3≤2min(c1,c2)的任意正常數(shù)即可滿足式(8)；當|x1|≥1時，再取a、b、λ和β滿足以下條件

(29)

利用上述方法，可證明在|x1|≥1時滿足引理2，即改進終端滑模面是Mittag-Leffler穩(wěn)定的。

假設系統(tǒng)的可達性成立，系統(tǒng)的狀態(tài)在切換控制率的作用下可以收斂在|s|≤Δ中。

取c3=2max(x1,x2)，

||x1|δsign(x1)|=max(||x1|αsign(x1)|,

||x1|βsign(x1)|)

當D1-γ|x1|sign(x1)≠0時，式(15)可寫為

(30)

只有下式成立，式(14)才能保持分數(shù)階終端滑模面的形式，即

(31)

由式(31)可得

c3-D1-γs[D1-γ|x1|δsign(x1)]-1>0。

(32)

由引理3和式(32)，令p=∞可以得到

(33)

由引理3，令p=∞可以得到

(34)

引入一個時變參數(shù)σ≥1，式(33)可寫成

(35)

由式(33)和式(35)可得

(36)

從而得到

(37)

將式(37)代入式(14)得到

c2D1-γ|x1|βsign(x1)|≤

|D1-γs|+|c1D1-γ|x1|αsign(x1)|+

|c2D1-γ|x1|βsign(x1)|≤

K1Δ+|c3|x1|δsign(x1)|≤(K1+1)Δ。

(38)

當D1-γ[|x1|sign(x1)]=0，有

(39)

根據以上分析可以得到，若系統(tǒng)的狀態(tài)s可在有限時間內收斂到|s|≤Δ，就能說明x1可在有限時間內收斂到式(37)。

2.3 滑模面可達性分析

為了確保系統(tǒng)的狀態(tài)能夠達到并維持在滑模面，設李雅普諾夫函數(shù)為

(40)

將式(40)求一階導數(shù)，可得

(41)

將式(15)與式(18)代入式(41)可得

(42)

由李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知所設計的控制率可使系統(tǒng)從狀態(tài)空間中的任意初始位置抵達滑模面。

(43)

3 仿真研究與實驗分析

在Ansys中建立SRM的模型，其具體參數(shù)值如表1所示?；贛axwell 2D對SRM的電磁特性進行求解，得到T-i-θ和ψ-i-θ數(shù)據，然后在Simulink中利用查表模塊和SRM各變量間的關系，建立SRM的非線性數(shù)學模型[22]。本文以四相8/6開關磁阻電機為研究對象，以減小調節(jié)時間和轉矩脈動為目標，采用改進分數(shù)階終端滑?？刂坪娃D矩分配控制建立轉速轉矩雙閉環(huán)控制系統(tǒng)。

表1 電機參數(shù)

SRM控制系統(tǒng)的總體框圖如圖4所示，外環(huán)是轉速控制環(huán)，內環(huán)是轉矩控制環(huán)?？刂葡到y(tǒng)的轉速信號通過分數(shù)階終端滑模控制器產生轉速外環(huán)的輸出信號，該輸出信號再作為轉矩內環(huán)的預期轉矩。轉矩分配策略以合成輸出轉矩等于預期轉矩為目標，分配每相轉子在不同位置的期望轉矩，使合成瞬時轉矩跟蹤上轉速外環(huán)輸出的期望轉矩。由式(10)可以看出，系統(tǒng)的控制變量是電磁轉矩Te。轉矩分配函數(shù)為余弦轉矩分配函數(shù)[23]，即

圖4 系統(tǒng)框圖Fig.4 Structure of system

Tref(k)=Tref×fk(θ)。

(44)

式中：θon為導通角；θoff為關斷角；θov為重疊角；τr為周期；Tref(k)為第k相參考轉矩；Tref為總參考轉矩。

為了驗證所提分數(shù)階終端控制器的有效性，本文將比較常規(guī)滑模的控制效果與改進分數(shù)階終端滑模的控制效果，從加速和加載兩個方面對系統(tǒng)進行動態(tài)仿真，并分析穩(wěn)定運行時的電流與轉矩。取常規(guī)滑模面為

s=cnx1+x2。

(45)

趨近率為

(46)

其中常規(guī)滑模控制器的參數(shù)為cn=18、kn=800，改進分數(shù)階終端滑?？刂破鞯膮?shù)為c1=8、c2=15、α=0.4、β=1.5、γ=0.8、k=1 200。

在加速情況下，SRM轉矩為8 N·m，轉速從1 000 r/min突增到1 500 r/min，兩種控制器的仿真波形如圖5所示。其中黑色為常規(guī)的滑?？刂破?，灰色為改進分數(shù)階終端滑模控制器。

兩種控制器在加速時的具體數(shù)據如表2。

表2 加速情況下不同控制方式性能對比

圖5(a)、表2可以說明改進分數(shù)階終端滑模控制系統(tǒng)可以更快地跟蹤上給定的轉速，并且系統(tǒng)穩(wěn)定后轉速的波動更小，改進的分數(shù)階終端滑模面提高了系統(tǒng)的動態(tài)特性。圖5(b)為轉矩的變化情況，在穩(wěn)態(tài)情況下，轉矩脈動減小了30%左右；當系統(tǒng)的給定轉速發(fā)生改變時，轉矩也會相應的變化，因為設置轉速升高，由系統(tǒng)框圖可知給定的轉矩也會增加，轉速穩(wěn)定后，轉矩重新回到原始值，故轉矩會出現(xiàn)先升高后降低的趨勢。當時間間隔足夠小時，SRM轉矩的變化量與轉速的變化量可以看作成正比。改進分數(shù)階滑?？刂破鲀?yōu)秀的動態(tài)特性可以迅速使系統(tǒng)達到給定的轉速，從而減小調速過程中轉矩抖動的時長和幅值。圖5(c)是系統(tǒng)運行過程中滑模面的響應曲線，無論是升速還是穩(wěn)態(tài)階段，改進分數(shù)階滑模面的抖動幅值都遠遠小于常規(guī)滑模面，說明分數(shù)階的切換趨近率改善了系統(tǒng)在到達階段的抖振情況，分數(shù)階的滑模面改善了系統(tǒng)在滑動階段的抖振。

圖5 加速情況下的波形對比Fig.5 Waveform comparison under acceleration

在加載情況下，SRM轉速為1 500 r/min，轉矩從開始設定8 N·m，突增到10 N·m，兩種控制器的仿真波形如圖6所示。

圖6 加載情況下的波形對比Fig.6 Waveform comparison under loading

兩種控制器在加載時的具體數(shù)據如表3。

從圖6(a)可以看出在轉矩突增后，兩種控制器均有一定的轉速降落，由于滑?？刂频聂敯粜詮?，對負載擾動不敏感，因此轉速波動十分有限。通過表3可以發(fā)現(xiàn)分數(shù)階終端滑?？刂破骷虞d時引起的轉速脈動更小，可以抑制轉速波動的影響。從圖6(b)和表3可以說明改進分數(shù)階終端滑?？刂婆c常規(guī)滑模控制相比，轉矩有較大的瞬時波動，這是由于改進滑模面動態(tài)特性更好，使系統(tǒng)迅速做出反應，導致系統(tǒng)有較大的調節(jié)幅度。在短時間的波動后，改進分數(shù)階終端滑?？刂蒲杆倩氐匠跏嫁D速，普通滑?？刂频霓D矩雖然沒有發(fā)生劇烈的抖動，但是其轉速的調節(jié)時間明顯落后。在滑模面的抖動方面，轉矩增加后，從圖6(c)可看出改進分數(shù)階終端滑?？刂破鞯幕Ｃ婧退俣榷秳忧闆r基本無變化，常規(guī)滑模控制器的抖動情況明顯變得更加嚴重。

表3 加載情況下不同控制方式性能對比

電機轉速為1 500 r/min、負載轉矩為15 N·m的相電流和轉矩的情況如圖7所示，其中圖7(a)為常規(guī)滑模控制器的仿真情況，圖7(b)為改進分數(shù)階終端滑模控制器的仿真情況。

圖7 電流和轉矩的波形對比Fig.7 Waveform comparison of current and torque

通過觀察圖7可以看出，在單相導通區(qū)兩種控制器的轉矩都能達到給定值，且轉矩比較平穩(wěn)，但二者在換相區(qū)域相電流波形與轉矩脈動波形有明顯差異，常規(guī)滑?？刂撇呗韵孪嚯娏鞯纳舷拊?8.83 A，轉矩波動范圍在13.27 N·m到18.31 N·m，轉矩脈動率為33.63%；改進分數(shù)階終端滑?？刂撇呗韵碌南嚯娏鞯纳舷拊?5.14 A，轉矩波動范圍在13.76 N·m到17.19 N·m，轉矩脈動率為22.8%。在換相過程中，常規(guī)滑?？刂葡嚯娏鞯姆逯岛娃D矩脈動均大于改進分數(shù)階終端滑模控制，可見，改進分數(shù)階終端滑?？刂破髟趽Q相過程中也有著更好的控制效果。

圖8為實驗電流波形，圖8(a)為常規(guī)滑模控制的相電流波形，圖8(b)為改進分數(shù)階終端滑模控制的相電流波形。由圖中可以看出，常規(guī)滑模條件下，由于換相過程中電流出現(xiàn)較大的波動。經過滑模優(yōu)化后，電流在換相過程中較為穩(wěn)定。

4 結 論

本文針對具有強非線性和模型不確定性的SRM控制系統(tǒng)研究了一種改進分數(shù)階終端滑模控制方法：

1)設計了一種在整個狀態(tài)空間中都有著較快收斂速度的分數(shù)階終端滑模面，給出了SRM控制系統(tǒng)的改進分數(shù)階終端滑模控制器的形式；

2)針對本文設計的控制器，對其穩(wěn)定性、可達性以及有限時間收斂性給出了證明，從理論上說明控制器的合理性；

3)本文提出控制器使SRM系統(tǒng)有較好的動態(tài)特性和較小的穩(wěn)態(tài)抖振，將系統(tǒng)的調節(jié)時間減小了68.4%，穩(wěn)態(tài)轉矩脈動降低了37.1%，在加速和加載的情況下，使SRM系統(tǒng)保持較好的運行狀態(tài)，且在換相過程中改善了轉矩和電流的波動情況。

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