孫萬兵
(甘肅環(huán)縣第五中學(xué))
在閉合電路中,電源提供的功率等于內(nèi)外電路消耗的功率之和,對(duì)于含有可變電阻的純電阻電路,可變電阻的阻值變化直接影響著電源的總功率,也影響著閉合電路中各部分的功率分配.電源的最大輸出功率是電源性能的重要標(biāo)志之一,求電源輸出功率最大值的問題也是電功率這部分內(nèi)容的難點(diǎn),學(xué)生雖經(jīng)反復(fù)練習(xí),但仍不得其法.筆者經(jīng)過調(diào)查得知,學(xué)生出錯(cuò)的根本原因在于不理解功率取最大值的條件.本文就電源輸出功率最大的條件論證及應(yīng)用,結(jié)合筆者自己的經(jīng)驗(yàn)談一些粗淺的認(rèn)識(shí),供參考.
1)當(dāng)電源電動(dòng)勢(shì)E和內(nèi)阻r一定,外電路的電阻R可變時(shí),電源的輸出功率在滿足條件R=r的情況下,可取得最大值.下面用多種方法對(duì)此結(jié)論加以證明,希望讀者從中選擇適合自己認(rèn)識(shí)的證法,以加深對(duì)電源輸出功率最大條件的理解.
證明1公式法
電源的輸出功率,即消耗在外電路電阻上的功率P=I2R,據(jù)閉合電路的歐姆定律有,所以
根據(jù)公式“若a、b均為正數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),a+b取最小值,為,可得式②分母中,當(dāng)(即R=r)時(shí),取最小值,為,因而,當(dāng)R=r時(shí)電源的輸出功率有最大值,為.
證明2解析法
將式①變形為
當(dāng)式③分母中(R-r)2=0(即R=r)時(shí),分母取最小值4r,此時(shí)電源有最大輸出功率
證明3利用二次函數(shù)的極值
若路端電壓為U,電路中電流為I,則外電路中消耗的功率應(yīng)為P=UI,而據(jù)閉合電路的歐姆定律有
所以電源輸出功率可以表示為
由式⑤可以看出,輸出功率P是電流I的二次函數(shù),且二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù),因而當(dāng)電流(此時(shí)R=r)時(shí),電源輸出功率有最大值,即
證明4圖像法
根據(jù)式④作出路端電壓隨電路中電流變化的圖像(如圖1),圖像上任意一點(diǎn)N所對(duì)應(yīng)的路端電壓為U,電流為I,則這時(shí)消耗在外電路上的功率P=UI可以用圖中矩形(畫斜線部分)的面積來表示.
圖1
從圖中可以看出,當(dāng)電路中電流很小或者很大時(shí),圖中矩形的面積均較小,而只有當(dāng)時(shí),即時(shí),矩形面積最大,即電源的輸出功率最大值.
證明5利用導(dǎo)數(shù)求極值
式①中P對(duì)R求導(dǎo)數(shù)可得
令P′(R)=0可得,R=r(R=-r無意義,舍去)時(shí),輸出功率有極值.
2)當(dāng)電源電動(dòng)勢(shì)E和外電路電阻R一定,而電源內(nèi)阻r可變時(shí),由式①可得,r取值越小,輸出功率P越大.
在實(shí)際應(yīng)用中,有些問題是求電源向整個(gè)外電路輸出的最大功率,這類問題可以直接應(yīng)用上述規(guī)律1)求解;有些問題是求外電路某一電阻或某一部分電路的最大功率,這類問題處理的常用方法是把求解對(duì)象等效看作外電路,而把其余電阻均等效看作電源內(nèi)阻的一部分,當(dāng)可變電阻包含在等效外電路中時(shí),應(yīng)用規(guī)律1)求解,當(dāng)可變電阻包含在等效內(nèi)電路中時(shí),應(yīng)用規(guī)律2)求解.
例1如圖2所示,定值電阻R1=2Ω,R2為最大阻值為6Ω 的滑動(dòng)變阻器,電源電動(dòng)勢(shì)E=12V,電源內(nèi)阻r=3Ω.求:
圖2
(1)R1和R2消耗的總功率的最大值.
(2)R1消耗功率的最大值.
(3)R2消耗功率的最大值.
(1)R1和R2消耗的總功率就是電源的輸出功率,若R1和R2的總電阻為R,則當(dāng)R=r=3Ω(此時(shí)R2=1Ω)時(shí),R1和R2消耗的功率有最大值,最大值為
(2)把R1單獨(dú)看作外電路,而把R2等效看作電源內(nèi)阻的一部分,此時(shí)等效電源內(nèi)阻r1是可變的,且r1=r+R2,當(dāng)R2=0時(shí),r1取值最小為r,此時(shí)R1的功率最大,為
(3)把R2單獨(dú)看作外電路,而把R1等效看作電源內(nèi)阻的一部分,此時(shí)的等效電源內(nèi)阻r2=r+R1=5Ω,因而當(dāng)R2=r2=5Ω 時(shí),R2的功率有最大值,為
當(dāng)求解最大功率的對(duì)象是可變電阻(或包含可變電阻)時(shí),如果求解對(duì)象的總電阻變化到極限值還未能達(dá)到電源內(nèi)阻(或等效電源內(nèi)阻),則求解對(duì)象的總電阻取最接近電源內(nèi)阻(或等效電源內(nèi)阻)的值時(shí),其功率取得最大值.
例2如圖3所示,電源電動(dòng)勢(shì)恒為12V,電源內(nèi)阻r=3Ω,定值電阻R1=6Ω,R3=15Ω,R2為一滑動(dòng)變阻器,最大阻值為6Ω.求:
圖3
(1)R1和R2消耗功率的最大值.
(2)R2和R3消耗功率的最大值.
(1)把R1和R2看作外電路,則等效外電阻R外1=R1+R2.把R3等效看作電源內(nèi)阻的一部分,這時(shí)等效電源內(nèi)阻r1=r+R3=18Ω,R外1阻值的變化范圍是6Ω≤R外1≤12Ω,當(dāng)R2=6Ω 時(shí),R外1=12Ω,R外1最接近r1,此時(shí),R1和R2消耗功率有最大值,即
(2)同理,R外2=R2+R3,其變化范圍是15Ω≤R外2≤21 Ω,r2=r+R1=9 Ω,因而當(dāng)R2=0時(shí),R外2=15Ω,R外2最接近r2,所以R2和R3消耗功率最大值
(完)