高亞洲， 毛虎平， 孫 權(quán)

(中北大學(xué) 能源動力工程學(xué)院， 山西 太原 030051)

0 引 言

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域廣泛使用的單一代理模型構(gòu)造方法主要有響應(yīng)面模型(RSM)、 徑向基函數(shù)模型(RBF)、 Kriging模型、 MARS模型、 支持向量回歸模型(SVR)等[1-3]. Simpson等[4]最早通過噴管的形狀優(yōu)化設(shè)計問題對響應(yīng)面模型與Kriging模型的性能進(jìn)行了比較研究， 結(jié)果表明Kriging模型對該問題的擬合能力及預(yù)測能力等性能均優(yōu)于二階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型. Jin等[5]人通過14個具有代表性的標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)， 從擬合能力、 預(yù)測精度、 建模速度、 魯棒性等方面分析了除支持向量回歸模型外的4種代理模型在不同樣本規(guī)模下對不同特征問題的性能表現(xiàn). 韓鼎等[6]對上述 5種代理模型也進(jìn)行了相關(guān)研究. 文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]給出了 5種代理模型的大致適用范圍. 然而在代理模型的實(shí)際應(yīng)用中， 由于某些優(yōu)化問題的非線性程度等特征很難判斷， 模型類型的選擇還是基于現(xiàn)有文獻(xiàn)或工程經(jīng)驗(yàn)， 無法特別準(zhǔn)確地選擇出較適合當(dāng)下優(yōu)化問題的代理模型類型. 在代理模型的發(fā)展過程中， 為了進(jìn)一步提高代理模型的性能， Zerpa等[7]將Kriging等 3種單一代理模型按照一定的權(quán)重系數(shù)進(jìn)行疊加， 首次提出組合代理模型這一概念， 其中權(quán)重系數(shù)根據(jù) 3種單一代理模型的預(yù)測誤差計算得到. 葉鵬程[1]提出一種以最小化交叉驗(yàn)證誤差為依據(jù)的計算權(quán)重系數(shù)的組合代理模型， 并將其應(yīng)用于水下滑翔機(jī)的外形優(yōu)化設(shè)計中. 仇佳佳[8]提出了一種新型組合代理模型USE， 權(quán)重系數(shù)同時考慮到了各模型的整體誤差與局部誤差. 由以上研究可以看出， 組合代理模型的研究重點(diǎn)一直在權(quán)重因子計算方法上， 而忽略了各單一代理模型類型的選擇. Viana等[9-10]通過研究發(fā)現(xiàn)， 性能較好的單一代理模型構(gòu)建的組合代理模型的性能確實(shí)要優(yōu)于引入性能表現(xiàn)較差的單一代理模型的組合. 這表明單一代理模型類型的選擇也非常重要. 基于代理模型的優(yōu)化設(shè)計的最終環(huán)節(jié)是對基于構(gòu)造的代理模型進(jìn)行求解， 目前求解所采用的策略主要是序列迭代優(yōu)化. Sharif等[11]提出了一種將徑向基函數(shù)迭代過程中的疑似最優(yōu)解及鄰近稀疏區(qū)域樣本點(diǎn)作為新增樣本點(diǎn)的MPS算法， 并通過測試函數(shù)與工程案例對該方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證. Duan等[12]比較了MPS算法與遺傳算法在工程優(yōu)化問題中的表現(xiàn)， 兩種算法都能準(zhǔn)確捕捉到全局最優(yōu)解， 但MPS算法的迭代次數(shù)及調(diào)用仿真模型的次數(shù)都明顯少于遺傳算法. 不難發(fā)現(xiàn)， 現(xiàn)有對代理模型序列迭代優(yōu)化進(jìn)行研究的文獻(xiàn)的關(guān)注點(diǎn)基本都在新增樣本的選取準(zhǔn)則. 然而， 隨著樣本規(guī)模的增大， 對于優(yōu)化問題而言， 性能最優(yōu)的代理模型類型也會隨之發(fā)生改變.

綜上所述， 目前基于代理模型的優(yōu)化設(shè)計想要在工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域得到進(jìn)一步發(fā)展與應(yīng)用， 還存在一些尚需解決的問題， 如： 對于某一優(yōu)化問題， 只能靠工程經(jīng)驗(yàn)或以往研究文獻(xiàn)來選擇代理模型類型， 有一定的隨機(jī)性； 在序列迭代優(yōu)化過程中， 隨著樣本規(guī)模的增大， 最適合優(yōu)化問題的代理模型類型可能會發(fā)生改變. 為了解決上述問題， 本文提出了基于自適應(yīng)代理模型的序列迭代優(yōu)化方法， 其核心思想是在更新樣本空間的同時選擇出當(dāng)下最優(yōu)代理模型. 隨著迭代過程進(jìn)行， 模型性能會越來越優(yōu).

1 前期工作

1.1 相關(guān)概念

在結(jié)構(gòu)設(shè)計與優(yōu)化這一領(lǐng)域， 代理模型技術(shù)是以數(shù)學(xué)近似思想為理論基礎(chǔ)， 基于試驗(yàn)設(shè)計所獲取的有限規(guī)模的樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造復(fù)雜仿真模型的近似數(shù)學(xué)模型， 并以此代替仿真模型開展優(yōu)化， 從而達(dá)到降低優(yōu)化進(jìn)程中計算成本與時間的目的.

(1)

式中：ε為代理模型對系統(tǒng)響應(yīng)的預(yù)測值相對于真實(shí)響應(yīng)值的誤差.

一般建模流程為：試驗(yàn)設(shè)計， 數(shù)值仿真， 模型選擇與構(gòu)造， 模型驗(yàn)證評估. 在進(jìn)行模型驗(yàn)證和評估時， 常見的可用于代理模型性能評價的指標(biāo)有：

決定系數(shù)(Coefficient of Determination，R2)， 也稱復(fù)相關(guān)系數(shù)(擬合精度)， 計算公式為

(2)

均方誤差(Mean Square Error， MSE)

(3)

均方根誤差(Root Mean Square Error， RMSE)

(4)

1.2 活塞仿真建模

本文建立的活塞模型如圖 1(a) 所示. 因?yàn)楹笃谥饕菍鋮s油腔區(qū)域進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化， 所以對活塞體上油腔外部區(qū)域進(jìn)行參數(shù)化處理， 如圖 1(b), 圖 1(c) 所示.

圖 1 活塞-連桿組合結(jié)構(gòu)相關(guān)模型

1.3 活塞代理模型的建立

根據(jù)活塞實(shí)際工作需要及給定模型的實(shí)際條件， 選擇活塞冷卻油腔作為優(yōu)化的研究對象， 構(gòu)建優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型如下：

min Weight(Xi),

s. t.σmax≤200,

umax≤0.365,

(5)

1.4 樣本空間的構(gòu)建

活塞優(yōu)化問題的設(shè)計變量示意圖如圖 2 所示， 設(shè)計變量的截面尺寸變化范圍如表1 所示.

圖 2 設(shè)計變量示意圖

表1 設(shè)計變量變化范圍

1.5 模型性能測試

基于上一步所獲取的初始樣本數(shù)據(jù)， 通過本文提出的自適應(yīng)代理模型方法分別構(gòu)造活塞優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)Weight、 約束函數(shù)σmax,umax的初始代理模型， 用于 SO-ASM方法的首次迭代計算. 表2 為初始代理模型的性能測試結(jié)果， 最終生成的初始代理模型的擬合精度R2均大于0. 9， 滿足實(shí)際使用要求.

表2 初始代理模型性能測試結(jié)果

2 代理模型

2.1 自適應(yīng)代理模型(ASM)

圖 3 為本文所提出的自適應(yīng)代理模型方法的基本原理圖， 其實(shí)際運(yùn)行的具體步驟如下：

Step 1: 初始化參數(shù)；

Step 2: 構(gòu)造初始樣本空間；

Step 3: 基于訓(xùn)練樣本使用RSM， RBF， Kriging， MARS， SVR等單一代理模型構(gòu)造方法分別構(gòu)造代理模型；

Step 4: 對 Step3中建立的所有代理模型進(jìn)行性能測試；

Step 5: 若 3個以上模型的測試結(jié)果符合模型性能要求下限則進(jìn)行下一步， 否則， 返回Step2；

然而，在不斷取得成效的同時，國內(nèi)出現(xiàn)的地溝油事件、疫苗事件、三鹿奶粉中毒事件等凸顯了我國當(dāng)前的行政問責(zé)制存在著一些不足之處。從表層分析，這類事件的出現(xiàn)主要是由于我國行政人員失職以及濫用職權(quán)等不當(dāng)行為導(dǎo)致的；從深層次分析，主要是當(dāng)前我國還未形成規(guī)范化和法制化的行政問責(zé)制。若行政問責(zé)制得不到有效地完善，公民的訴求得不到及時傳達(dá)，行政問責(zé)制僅停留在形式主義上，政府的公信力和形象會受到嚴(yán)重影響。因此，分析現(xiàn)階段我國行政問責(zé)制存在的不足之處并且提出相應(yīng)的完善政策具有重要意義。當(dāng)前我國行政問責(zé)制存在的不足之處如下：

Step 6: 若存在單一代理模型的測試結(jié)果達(dá)到預(yù)先設(shè)定的模型性能要求上限， 則選擇終止并將該模型作為最優(yōu)代理模型輸出； 反之， 則進(jìn)行下一步；

Step 7: 以Step3中滿足要求的若干單一代理模型作為構(gòu)造組合代理模型的模型庫；

Step 8: 構(gòu)造組合代理模型；

Step 9: 測試后選擇最優(yōu)代理模型.

圖 3 自適應(yīng)代理模型原理示意圖

2.2 基于自適應(yīng)代理模型的序列迭代優(yōu)化(SO-ASM)

基于自適應(yīng)代理模型的序列迭代優(yōu)化的大致流程如圖 4 所示， 具體運(yùn)行步驟如下：

Step 1: 建立仿真模型， 初始化參數(shù).

Step 2: 構(gòu)造初始代理模型.

Step 3: 對代理模型進(jìn)行優(yōu)化求解， 獲得當(dāng)前迭代循環(huán)的潛在最優(yōu)解.

Step 4: 若當(dāng)前迭代次數(shù)達(dá)到上限， 則終止程序， 將當(dāng)前解作為全局最優(yōu)解輸出； 反之， 則進(jìn)行下一步.

Step 5: 判斷當(dāng)前潛在最優(yōu)解是否滿足收斂條件(見式5)， 判定準(zhǔn)則為

(6)

式中：f(xk)為當(dāng)前迭代過程得到的潛在最優(yōu)解；f(xk-1) 為上一輪迭代過程中的潛在最優(yōu)解；ε為收斂系數(shù). 若當(dāng)前最優(yōu)解滿足收斂條件， 將此解作為最優(yōu)解輸出； 反之， 則進(jìn)行下一步.

圖 4 基于自適應(yīng)代理模型的序列迭代優(yōu)化流程圖

Step 6: 更新樣本空間：將上一步得到的潛在最優(yōu)解篩選過后加入樣本空間. 篩選原理為

d(x，xp)≤η,

(7)

式中：d為候選樣本點(diǎn)x與現(xiàn)有樣本點(diǎn)xp之間的最大距離；η為判斷系數(shù)， 任意維度上最大距離小于該系數(shù)的候選樣本點(diǎn)將被剔除.簡單來說， 要添加的樣本點(diǎn)與原來所有樣本點(diǎn)之間的距離只要有大于η的， 便將此點(diǎn)剔除， 而η的選擇與樣本空間大小有關(guān). 若滿足式(7)， 直接執(zhí)行Step7， 否則， 需調(diào)用有限元模型， 獲得真實(shí)響應(yīng)值后添加到樣本空間.

Step 7：令迭代次數(shù)k=k+1， 之后轉(zhuǎn)入Step 2.

3 數(shù)值試驗(yàn)

選擇8個在代理模型優(yōu)化方法研究中被廣泛采用的標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)， 對提出的自適應(yīng)代理模型及基于自適應(yīng)代理模型的序列迭代優(yōu)化進(jìn)行驗(yàn)證與分析. 測試函數(shù)分別為： Six-hump Camelback函數(shù)(SC)、 Branin函數(shù)(BR)、 Generalized Polynomial函數(shù)(GF)、 Goldstein and Price函數(shù)(GP)、 Hartman函數(shù)(HN)、 HD1函數(shù)、 Rosenbrock函數(shù)(R10)、 F16 函數(shù)[13-18]. 前4個都是二維函數(shù)， 而后4個則屬于高維函數(shù)， 維度分別是6, 10, 10, 16.

通過比較下列3種情況下各函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果來驗(yàn)證基于自適應(yīng)代理模型序列迭代優(yōu)化方法的有效性與可靠性：(1) 直接對測試函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化， 簡稱Direct， 用以模擬工程優(yōu)化中直接對仿真模型進(jìn)行優(yōu)化的情況； (2) 基于自適應(yīng)代理模型方法選擇的最優(yōu)模型采用傳統(tǒng)序列迭代優(yōu)化， 即在優(yōu)化過程中不更新代理模型的類型， 簡稱SO-SM； (3) 基于自適應(yīng)代理模型的序列迭代優(yōu)化， 簡稱SO-ASM.

表3 給出了所有測試函數(shù)在上述3種情況下的優(yōu)化結(jié)果， 包括NFE(原函數(shù)計算次數(shù))和fopt(收斂最優(yōu)解)的最小值、 最大值、 平均值， 表中最小值、 最大值以區(qū)間的形式表示. 其中， Direct方法不存在系統(tǒng)誤差， 多次優(yōu)化的結(jié)果都相同， 因此該組測試結(jié)果只給出NFE和fopt的均值.

由表3 可知， Direct精度最高但是計算次數(shù)最多， 尤其在高維函數(shù)中， 時間消耗太大； SO-SM在低維函數(shù)中表現(xiàn)良好， 但是在高維函數(shù)中其不僅計算精度明顯下降， 計算次數(shù)也顯著上升； SO-ASM在所有測試函數(shù)中均表現(xiàn)良好， 計算次數(shù)最低， 而且能保證計算精度. 綜上所述， 本文提出的基于自適應(yīng)代理模型的序列迭代優(yōu)化方法能夠降低優(yōu)化過程中調(diào)用仿真模型進(jìn)行計算的次數(shù)， 能在保證優(yōu)化精度的前提下提高優(yōu)化效率， 且其優(yōu)化精度、 效率、 穩(wěn)定性等各項(xiàng)性能表現(xiàn)均優(yōu)于傳統(tǒng)的SO-SM方法.

表3 測試函數(shù)優(yōu)化結(jié)果

4 活塞優(yōu)化實(shí)例

4.1 活塞有限元分析

在實(shí)際工作中， 活塞承受著熱負(fù)荷與機(jī)械載荷的雙重作用[19]， 因此， 為了獲得比較真實(shí)的活塞系統(tǒng)響應(yīng)值， 需對其進(jìn)行熱-機(jī)耦合靜力學(xué)分析. 活塞熱-機(jī)耦合仿真分析結(jié)果見圖 5. 圖 5(a) 為活塞在氣體最大爆發(fā)壓力時刻的應(yīng)力與變形分布云圖, 可以看出， 活塞在這一時刻的產(chǎn)生的最大形變達(dá)到 0.363 31 mm; 由圖 5(b) 可知， 該時刻活塞承受最大的應(yīng)力為180.42 MPa.

(a) 變形云圖

(b) 等效應(yīng)力分布云圖

4.2 優(yōu)化結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文提出的自適應(yīng)代理模型優(yōu)化方法在實(shí)際工程問題的可行性與最終優(yōu)化結(jié)果的精確度， 在同等條件下分別通過自適應(yīng)代理模型優(yōu)化方法及傳統(tǒng)的有限元優(yōu)化方法對上文定義的活塞優(yōu)化問題進(jìn)行優(yōu)化求解. 通過SO-ASM法與直接優(yōu)化兩種方法分別解決活塞優(yōu)化問題的最終結(jié)果如表4 所示.

表4 活塞優(yōu)化結(jié)果對比

由表4 可知， 兩種方法在滿足約束條件的要求下均實(shí)現(xiàn)了活塞的輕量化， 相較于優(yōu)化前， 活塞質(zhì)量分別降低了3.24%, 3.15%， SO-ASM法所得最優(yōu)解對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值， 即活塞質(zhì)量相較于直接優(yōu)化的誤差僅為 1.1×10-3kg.

圖 6 為采用本文提出的SO-ASM方法優(yōu)化后的活塞結(jié)構(gòu)等效應(yīng)力與變形分布云圖(氣體最大爆發(fā)壓力時刻). 與圖2比較可知：優(yōu)化后活塞承受的最大應(yīng)力增大至191.81 MPa， 較優(yōu)化前增大了6.3%， 仍在活塞結(jié)構(gòu)所用材料的承受范圍之內(nèi)； 直接優(yōu)化后活塞最大等效應(yīng)力的值為 188. 83 MPa， 誤差僅為 0.16%. 這表明本文所提出的基于自適應(yīng)代理模型的序列迭代方法能夠有效保證優(yōu)化結(jié)果的精確度.

(a) 變形云圖

(b) 等效應(yīng)力分布云圖

圖 7 分別給出了SO-ASM方法優(yōu)化過程中目標(biāo)函數(shù)代理模型的擬合精度、 預(yù)測誤差等性能指標(biāo)的變化曲線. 可以看出， 隨著迭代次數(shù)的增加， 代理模型對真實(shí)活塞結(jié)構(gòu)的擬合能力不斷提高； 相應(yīng)地， 在這個過程中模型的整體預(yù)測誤差RMSE與局部誤差MAE也逐漸降低并趨于穩(wěn)定. 在整個優(yōu)化歷程中， 直接優(yōu)化調(diào)用有限元模型進(jìn)行計算的次數(shù)總計為257次， 而SO-ASM方法即使算上構(gòu)造初始樣本空間時調(diào)用有限元模型進(jìn)行計算的次數(shù)也僅有116次， 僅為前者的46%， 這表明SO-ASM方法在保證優(yōu)化結(jié)果精確度的前提下能夠極大地降低整個優(yōu)化過程所耗費(fèi)的時間， 顯著地提高優(yōu)化效率.

(a) 擬合精度

(b) 預(yù)測誤差(RMSE， MAE)

5 總結(jié)與展望

5.1 總 結(jié)

本文通過標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)， 對直接優(yōu)化、 SO-SM、 SO-ASM三種優(yōu)化方式分別進(jìn)行了測試. 試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明， 在保證優(yōu)化結(jié)果精度的前提下， 優(yōu)化過程中本文所提方法調(diào)用有限元模型的次數(shù)相較于傳統(tǒng)的有限元方法大幅減少， 優(yōu)化效率得到了明顯的提升； 同時相較于現(xiàn)有的代理模型序列迭代優(yōu)化方法， 所提方法的優(yōu)化精度更高且穩(wěn)定性更好， 優(yōu)化效率也有一定提高. 除此之外， 本文將所提方法應(yīng)用于活塞優(yōu)化設(shè)計這一耗時的工程實(shí)際問題中， 對該方法在實(shí)際應(yīng)用中的可行性與有效性進(jìn)行了驗(yàn)證. 優(yōu)化結(jié)果表明：SO-ASM方法的優(yōu)化結(jié)果與直接優(yōu)化結(jié)果相比， 誤差僅為 0.16%， 在滿足約束條件的前體下實(shí)現(xiàn)了活塞減重的目標(biāo)， 且相較于直接優(yōu)化， 該方法優(yōu)化過程所消耗的時間大幅降低， 優(yōu)化效率顯著提高.

5. 2 展 望

為了進(jìn)一步提升代理模型優(yōu)化技術(shù)的適用性與優(yōu)化精度等性能， 未來還需對以下幾個方面進(jìn)行深入研究：

1) 本文所提出的SO-ASM方法的有效性是通過單目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行驗(yàn)證的. 但是， 現(xiàn)代工程優(yōu)化設(shè)計問題很大一部分是多目標(biāo)優(yōu)化問題， 如何利用本文所提出的SO-ASM方法有效解決多目標(biāo)優(yōu)化問題是未來需要進(jìn)一步研究的重點(diǎn).

2) 本活塞優(yōu)化實(shí)例的主要目的是驗(yàn)證所提方法的可行性與優(yōu)越性， 因此， 只在熱-機(jī)耦合基礎(chǔ)上對其進(jìn)行了靜態(tài)優(yōu)化， 然而活塞在實(shí)際工作狀態(tài)下的載荷是隨時間變化的， 因此， 通過代理模型技術(shù)對結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)優(yōu)化進(jìn)行研究有很大的發(fā)展空間.