趙俊青 甄玉寶 周 鵬 王 軍 胡恒山

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天科學(xué)與力學(xué)系，哈爾濱 150001)

在工程實(shí)踐和應(yīng)用中常見到組合梁，如鋼木組合梁、鋼混凝土組合梁，工程中常見的組合梁由2～3種不同材料組成。組合梁的分析對(duì)深入理解彎曲及彎曲應(yīng)力的概念起到加深和鞏固的作用。組合梁分析通常是對(duì)2 種不同材料組成的梁進(jìn)行分析。全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽個(gè)人賽題組合梁的分析：第8屆第3 題頂部增強(qiáng)的懸臂梁是分析2 種材料組成的組合梁的中性軸和切應(yīng)力[1]；第12 屆第2 題分析2種材料組成的三層復(fù)合梁的中性層、曲率及彎曲正應(yīng)力問題。授課時(shí)結(jié)合賽題進(jìn)行分析，使學(xué)生對(duì)組合梁截面的幾何性質(zhì)及彎曲的概念有了新的認(rèn)識(shí)，夯實(shí)了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，提高了學(xué)生思辯和深入準(zhǔn)確理解概念的能力，激發(fā)了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程中遇到問題思考和討論的積極性，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和解決問題的能力。

1 中性軸位置確定方法

1.1 相當(dāng)截面法

相當(dāng)截面法是將組合梁截面轉(zhuǎn)換為僅由一種材料構(gòu)成的截面[2-4]。即保持組合材料的截面高度不變，根據(jù)彈性模量確定被轉(zhuǎn)換材料的相當(dāng)寬度。

例：圖1 矩形截面簡(jiǎn)支梁承受集度為q的均布力，梁由1 和2 兩種材料膠結(jié)在一起，已知E1=2E，E2=E，b，h1=h/2，h2=h，求中性軸z軸位置；分析梁的正應(yīng)力與切應(yīng)力。

圖1 兩種材料組合梁應(yīng)變與應(yīng)力

采用相當(dāng)截面法，將材料2 轉(zhuǎn)換成材料1，則材料2 轉(zhuǎn)換成材料1 后其相當(dāng)寬度為

1.2 加權(quán)平均法

加權(quán)平均法是將不同材料的彈性模量作為各自的權(quán)重，確定組合梁中性軸位置的方法。將材料的靜矩乘其權(quán)重彈性模量作為加權(quán)后的靜矩，將材料的面積乘其權(quán)重彈性模量作為加權(quán)后的面積。以圖1(b) 的z軸為參考軸，由組合截面靜矩的概念，采用加權(quán)平均法，則圖1 組合梁中性軸位置為

式中，SZi為材料i對(duì)z軸的靜矩。

組合梁中性軸的位置也可用軸力分析法確定：即梁彎曲時(shí)，根據(jù)橫截面上軸力的合力為零的概念[2-4]求得。由FN=0，可得a=5h/8，a與yc之和等于截面的高度1.5h。

相當(dāng)截面法和加權(quán)平均法確定中性軸位置：是以組合梁的上底邊或下底邊為參考軸，依據(jù)相當(dāng)和加權(quán)的概念確定中性軸的位置，與軸力分析法相比算式簡(jiǎn)潔、計(jì)算簡(jiǎn)便，其中加權(quán)平均法最為簡(jiǎn)單。相當(dāng)截面法可演化為加權(quán)平均法，兩種方法均可以求多種不同材料組合梁的中性軸位置。加權(quán)平均法求n種不同材料組合梁的中性軸位置計(jì)算公式為

2 應(yīng)力分析

2.1 正應(yīng)力分析

彎曲梁的線應(yīng)變?chǔ)排cy和曲率半徑ρ有關(guān)，組合梁截面的線應(yīng)變是協(xié)調(diào)的，見圖1(c)；梁的正應(yīng)力與彈性模量E和線應(yīng)變?chǔ)庞嘘P(guān)，組合梁橫截面上的正應(yīng)力因材料性質(zhì)差異在結(jié)合處將發(fā)生突變[2,5]，見圖1(d)。依平面假設(shè)，梁彎曲時(shí)橫截面似剛性平面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，轉(zhuǎn)動(dòng)后依然保持為平面。線應(yīng)變只有是y的線性函數(shù)，平面假設(shè)才能成立。梁彎曲時(shí)材料遵從胡克定律，因此在異質(zhì)材料結(jié)合面上，正應(yīng)力發(fā)生突變。

在組合梁的分析與思考討論中，采用相當(dāng)截面法分析組合梁正應(yīng)力時(shí)，同學(xué)會(huì)出現(xiàn)圖2(b)的問題。其原因是將不同的材料轉(zhuǎn)換成同一材料后，同學(xué)將組合梁習(xí)慣性地看作是同一材料的梁得出的。采用加權(quán)平均法分析時(shí)，可避免此種情況的發(fā)生。在組合梁的研討過程中，教師應(yīng)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，學(xué)生經(jīng)過思考推理得出正確結(jié)論，這一過程往往促使學(xué)生進(jìn)一步思考問題，從而加深對(duì)不同材料組合梁概念的正確理解。

圖2 相當(dāng)截面正應(yīng)力

組合梁1 和2 兩種材料的正應(yīng)力分別為

式中，IZi為材料i對(duì)中性軸zc軸的慣性矩。

根據(jù)式(6) 和式(7) 可計(jì)算出圖1 組合截面上各組成部分任一點(diǎn)的線應(yīng)變與正應(yīng)力值。梁的最大曲率發(fā)生在簡(jiǎn)支梁的跨中，梁跨中彎矩值為ql2/8。

2.2 切應(yīng)力分析

根據(jù)力的平衡分析，材料1、材料2 在dx微段梁上(圖1(a))正應(yīng)力的差值將由界面上的切應(yīng)力平衡。兩種材料的彎曲切應(yīng)力分別為

S?Zi為材料i所求應(yīng)力的點(diǎn)橫線以外的所有面積對(duì)中性軸zc軸的靜矩。ki為材料i的彈性模量與材料1 的彈性模量之比。

在梁的左半段截取dx微段(圖1(a)) 研究異質(zhì)材料界面處的切應(yīng)力，根據(jù)切應(yīng)力互等定理，無論由何種材料求界面上的切應(yīng)力，得到的切應(yīng)力值必然相等。依據(jù)式(8)和式(9)由兩種材料分別求界面上的切應(yīng)力，若

則在界面上τ1與τ2相等。

由圖1(b)與圖3(b)材料1 對(duì)中性軸zc軸靜矩，得

圖3 兩種材料組合梁截面切應(yīng)力

因此無論取何種材料求界面上的切應(yīng)力都是相等的。

現(xiàn)在分析異質(zhì)界面上切應(yīng)力的方向，圖3(b) 所示的材料1 塊體位于中性軸zc軸上方，材料1 是受壓的，由于FN2>FN1，因此界面上切應(yīng)力的合力dT指向dx微段右側(cè)橫截面；圖3(c) 所示的材料2塊體，中性軸z軸上方部分受壓，下方部分受拉，但因z軸下方材料高度大于z軸上方材料高度，材料2 總體是受拉的，由于FN2>FN1，因此界面上切應(yīng)力的合力dT指向dx微段左側(cè)橫截面。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，由圖3(b)與圖3(c)都可得到兩塊體右側(cè)橫截面上的切應(yīng)力與y軸同向且平行，且與梁的切力方向一致。組合梁截面上的最大切應(yīng)力可據(jù)式(8)計(jì)算獲得。梁截面上的切應(yīng)力分布見圖1(e)。

3 組合梁附加分析

例：若圖1 梁由3 種不同材料組合在一起，已知E2=k2E1= 1.5E1，E3=k3E1= 2E1，b，h1=h2=h，h3= 2h，求中性軸zc軸位置，分析梁的正應(yīng)力與切應(yīng)力。

相當(dāng)截面法：將材料2 和3 均轉(zhuǎn)換成材料1 后其相當(dāng)寬度為

組合梁的線應(yīng)變、正應(yīng)力及切應(yīng)力分析結(jié)果見圖4(b)～圖4(d)。三種材料的彎曲正應(yīng)力分別為

圖4 三種材料組合梁截面應(yīng)變與應(yīng)力

3 種材料組合梁的分析可比照本例進(jìn)行。

4 結(jié)論

采用相當(dāng)截面法與加權(quán)平均法對(duì)2 種材料組合梁中性軸的位置、正應(yīng)力與切應(yīng)力進(jìn)行了分析，并對(duì)3 種材料組合梁進(jìn)行了附加分析。其中加權(quán)平均法使組合梁的分析更加簡(jiǎn)化。本文的方法可用于工程中常見組合梁的分析。在組合梁的分析討論中，可引導(dǎo)學(xué)生一步一步地展開分析，并且在這一過程中加深對(duì)彎曲與截面幾何性質(zhì)之間關(guān)系的深入理解，準(zhǔn)確理解相關(guān)概念，為今后的工程應(yīng)用打好基礎(chǔ)。