巴榮聲， 李 杰， 周信達， 鄭垠波， 徐宏磊，丁 磊， 李亞軍， 那 進

(中國工程物理研究院 激光聚變研究中心，四川 綿陽 621900)

1 引 言

光學表面抗激光損傷性能是制約高功率激光器輸出能力的瓶頸[1]。根據(jù)光學表面實際應(yīng)用場景，評價光學表面激光誘導損傷閾值的方法主要包括 1 on 1、S on 1、R on 1等[2]。在標準ISO 11254、ISO 21254(國內(nèi)等效標準GB/T 16601)中，明確了1 on 1、S on 1損傷閾值測試方法及結(jié)果測量不確定度分析方法，國內(nèi)相關(guān)研究人員也開展了相關(guān)分析評定工作[3～5]。

ISO 21254推薦的1 on 1測試方法以激光在光學表面的能量密度表征激光輻照量，要求在測試樣品上每個測試點只進行一次激光輻照，對于每個選定的脈沖能量至少選取10個測試點，分別計算不同脈沖能量輻照下?lián)p傷概率，擬合損傷概率-激光輻照量的關(guān)系曲線，獲得損傷幾率為零的最大激光輻照量，定義為光學元件損傷閾值或零概率損傷閾值。

采用1 on 1測試方法進行光學元件損傷閾值測試，影響測量結(jié)果不確定度的主要因素包括：

(1)激光脈沖能量測量引入的不確定度，主要來源于分光系數(shù)、能量臺階內(nèi)激光脈沖能量波動及激光能量計；

(2)光斑面積測量引入的不確定度，主要來源于光斑面積測量裝置、光斑面積波動、光斑有效區(qū)域確定方法；

(3)線性擬合引入的測量不確定度，主要來源于能量密度、損傷概率以及測試能量臺階數(shù)目。

在上述測量不確定度影響因素中，線性擬合引入的測量不確定度評定比激光脈沖能量及光斑面積測量引入的測量不確定度更復雜。為了降低零概率損傷閾值的測量不確定度，一般使用最小二乘法對待擬合實驗數(shù)據(jù)進行擬合，獲得最佳擬合參量。在最小二乘法直線擬合過程中，不同的殘差模型影響計算結(jié)果，當殘差模型較為復雜時，難以采用公式方法給出結(jié)果不確定度。

本文圍繞1 on 1損傷閾值測量結(jié)果的不確定度，采用公式法分析評定能量密度、損傷概率的測量不確定度分量；針對損傷概率與能量密度的線性擬合，采用蒙特卡洛方法分析對比不同殘差模型對線性擬合結(jié)果的影響規(guī)律，綜合評定光學表面1 on 1損傷閾值測量結(jié)果的不確定度。

2 ISO 21254閾值測量不確定度評定方法討論

ISO 21254推薦的損傷測試原理框圖如圖1所示。

圖1 激光損傷測試原理框圖

其測試原理為激光系統(tǒng)出射激光由會聚系統(tǒng)聚焦至樣品室內(nèi)樣品光學表面，達到能量密度提升、引發(fā)光學表面損傷的目的。固定激光脈沖能量，采用隨機抽樣的方式對在該能量密度下表面是否發(fā)生損傷進行測試，在線損傷探測器通過對比光學表面激光輻照前后變化，確定該能量密度下表面是否發(fā)生損傷。每個測試點僅輻照1次，觀察損傷與否后移動樣品，開始下1個測試點的測試，直至在該能量下測試點數(shù)目滿足要求。更改激光脈沖能量，重復上述步驟，直至損傷概率測試結(jié)果滿足要求。

可變衰減器與波片的作用是調(diào)節(jié)激光脈沖到達樣片表面能量密度及偏振態(tài)，獲得相同偏振態(tài)、不同能量的激光脈沖。分光鏡的作用是對主激光束進行固定分光比分束，分束后低能量光束進入光束診斷裝置，由該裝置給出激光脈沖空間分布、時間分布、分光能量等光束信息。

ISO 21254附錄A中提供了損傷概率、損傷閾值以及其不確定度的計算方法。在附錄A.4中，單能量段損傷概率Pi計算公式如式(1)所示，損傷概率測量不確定度如式(2)、式(3)所示。

(1)

(2)

(3)

將損傷概率測量不確定度的倒數(shù)作為權(quán)重(1/δi)，采用加權(quán)線性擬合的方式，對能量密度H、損傷概率P進行線性擬合，獲得二者函數(shù)關(guān)系，式(4)～式(6)是ISO 21254給出的擬合直線斜率M和截距b計算公式(為本文表述一致，將該標準中的直線擬合斜率符號m更改為M)。

(4)

(5)

(6)

“零”概率損傷閾值計算公式如式(7)所示，式(8)～式(10)是ISO 21254中提供的零概率損傷閾值測量結(jié)果不確定度評定公式。

(7)

(8)

(9)

(10)

ISO 21254對于損傷閾值測量不確定度評定主要存在以下幾個方面的問題。

a)損傷概率P測量不確定度連續(xù)性問題

損傷概率測量不確定度的這種不連續(xù)性將導致有限抽樣測試條件下，無損傷點的損傷概率測試結(jié)果在擬合過程中權(quán)重被過分的放大，按式(4)～式(6)進行加權(quán)擬合計算閾值時，閾值擬合結(jié)果偏大，示意圖如圖2所示。

圖2 閾值擬合過程示意圖

b)損傷概率測量不確定度評定合成問題

(11)

若認為損傷概率與能量密度獨立不相關(guān)，應(yīng)按平方關(guān)系進行合成，而式(2)直接以偏差代替損傷概率不確定度的平方，導致?lián)p傷概率測量不確定度評定存在問題。

c)損傷閾值測量不確定度評定合成問題

損傷閾值測量不確定合成式(8)成立的條件是斜率M與截距b獨立不相關(guān)。

采用極大似然法求解M與b過程中，2個參數(shù)求偏導后聯(lián)立成方程組，2個方程是相關(guān)的，不是獨立的，式(6)的另一種表述如式(12)所示。

(12)

因此，在損傷閾值不確定度合成過程中，需要計算M與b的相關(guān)系數(shù)，并按不確定度相關(guān)合成方法進行計算[6](M、b相關(guān)系數(shù)實例計算結(jié)果見表5模擬結(jié)果)，而ISO 212154附錄中直接按M與b獨立不相關(guān)處理損傷閾值不確定度是不正確的。

針對上述問題，本文采用公式法分析評定能量密度、損傷概率的測量不確定度，采用蒙特卡洛方法評定光學表面1 on 1損傷閾值測量不確定度。

3 損傷閾值蒙特卡洛法測量不確定度分析

3.1 線性擬合最小二乘法殘差模型

假定變量P、H滿足式(13)所示線性關(guān)系，待擬合系數(shù)分別為a0、a1。

P=a1H+a0

(13)

均權(quán)最小二乘法求解系數(shù)a0、a1過程中，常見的不同殘差模型其回歸系數(shù)計算方法如表1所示[7～10]。

表1 殘差模型與回歸系數(shù)

表1中，第1個殘差模型認為H無誤差，僅考慮P的誤差(Ⅰ型)。第2個殘差模型認為P無誤差，僅考慮H的誤差(Ⅱ型)。第3個殘差模型下，擬合直線在H方向與P方向的誤差同時達到最小(Ⅲ型)。第四個殘差模型為測試數(shù)據(jù)點到擬合直線的距離殘差最小(Ⅳ型)。其中Ⅲ型、Ⅳ型殘差模型涉及到一元四次方程和一元二次方程，需要數(shù)值求解或開方求解，表中僅給出了a0、a1的表達式。

3.2 能量測量結(jié)果不確定度評定

根據(jù)ISO 21254推薦的測試光路(圖1)開展損傷閾值測試時，設(shè)到達測試樣品表面激光脈沖能量為Q1，光束診斷裝置中采集的激光脈沖分光能量為Q2，二者比值為分光系數(shù)N。分光系數(shù)在測量主激光能量Q1過程中涉及到激光能量Q2，二者是相關(guān)的，為了去除這種相關(guān)性，需要在閾值測量前獨立標定分光系數(shù)，使之作為獨立測量參量參與能量測量結(jié)果的測量不確定度合成。

(14)

(15)

設(shè)uNA為分光系數(shù)A類不確定度，uNB為分光系數(shù)B類不確定度(激光能量計不確定度)，則分光系數(shù)不確定度分量uN如式(16)所示。

(16)

式中，uQ1B、uQ2B分別表示激光能量計B類測量不確定度(單位為“%”，k為包含因子)。

樣品表面能量測量結(jié)果Q1的相對不確定度uQ1如式(17)所示。

(17)

式中uQ2表示激光能量Q2的相對不確定度。

3.3 光斑面積測量結(jié)果不確定度評定

影響光斑面積測量結(jié)果的因素包括：

1)共軛聚焦系統(tǒng)共軛距離偏差引入的相對不確定度uS1；

2)科學級CCD面響應(yīng)非均勻性引入的相對不確定度uS2、響應(yīng)線性擬合對引入的相對不確定度uS3；

3)不同激光脈沖能量下，光斑面積波動引入的相對不確定度uS4；

4)光斑有效區(qū)域確定方法引入的相對不確定度uS5。

近似認為影響光斑面積測量結(jié)果的不確定度分量獨立不相關(guān)條件下，光斑面積測量結(jié)果的相對不確定度uS如式(18)所示。

(18)

共軛測量樣品表面平頂光斑空間分布時，設(shè)激光脈沖進入聚焦系統(tǒng)前等效光斑半徑為R，聚焦后樣品表面等效光斑半徑為r，樣品表面光斑面積為S，聚焦系統(tǒng)等效焦距為F，樣品與聚焦點距離為z，光斑大小變換采用幾何光學處理時，光斑面積及相對不確定度如式(19)、式(20)所示。

(19)

(20)

能量測量不確定度一般大于1%，若Δz/z遠小于1%(如Δz=10mm，z=1 600mm)，則在計算能量密度測量不確定度時可忽略由于光斑面積共軛測量過程中距離偏差引起測量不確定度uS1。

此外，科學級CCD的面響應(yīng)非均勻性約2%，能量響應(yīng)線性擬合度大于98%，對于像素數(shù)大于 1 024×1 024像素的面陣CCD而言，當樣品表面的光斑分布為平頂光斑時，單像素點的響應(yīng)均勻性以及能量響應(yīng)引起的測量不確定度遠小于1%，故可忽略CCD面響應(yīng)均勻性、能量響應(yīng)線性擬合度引起的測量不確定度uS2、uS3。

(21)

(22)

(23)

式中:下標i表示第i次測量。

不同光斑邊緣確定方法將導致同一光斑面積計算出現(xiàn)差異，但該差異屬于光斑確定方法定義引起的，因此不包含在光斑面積的重復測量結(jié)果(A類)不確定度uS4內(nèi)。uS中uS4是由于激光脈沖能量波動引起，uS5是由光斑區(qū)域確定方式引起，二者是獨立的，即相同激光能量下，光斑區(qū)域確定方式不同引起的面積測量結(jié)果不同與對應(yīng)的激光能量無關(guān)。

3.4 能量密度測量結(jié)果不確定度評定

使用式(24)計算單能量臺階內(nèi)的能量密度H時，能量密度相對標準測量不確定度uH如式(25)所示。

(24)

(25)

式中:uQ1表示脈沖能量Q1相對不確定度分量;uS表示光斑面積S相對不確定度分量。從式(25)可以看出，采用相對不確定度對能量密度不確定度評定過程中，能量密度測量不確定度主要受能量測量不確定度及面積測量不確定度影響。

3.5 損傷概率測量結(jié)果不確定度評定

損傷概率測量不確定度對應(yīng)的是某一能量密度光學表面損傷概率與損傷概率“真值”差值范圍，在無法獲得真值的情況下，本文以均權(quán)擬合直線殘差作為損傷概率的測量不確定度。

設(shè)能量密度Hi對應(yīng)損傷概率Pi，能量密度與損傷概率關(guān)系曲線為 f(H)，則損傷概率的測量不確定度uP如式(26)所示。

(26)

式中:m表示能量臺階總個數(shù);i表示能量臺階序數(shù)。

3.6 損傷閾值測量結(jié)果不確定度評定

根據(jù)中心極限定理，當樣本數(shù)足夠大時，平均值的概率分布為正態(tài)分布[11]，本文假定光學表面損傷閾值實測參數(shù)(能量、面積、損傷概率)平均值服從正態(tài)分布，對損傷閾值測量結(jié)果進行了蒙特卡洛模擬[12～16]。模擬使用的某次光學表面損傷閾值參數(shù)測量結(jié)果數(shù)據(jù)(k=1)如表2所示。

表2 損傷閾值參數(shù)測量結(jié)果

按照表1所列殘差模型，不同殘差模型閾值擬合結(jié)果如圖3所示。

圖3 損傷閾值擬合結(jié)果

圖3中，Ⅰ型閾值擬合結(jié)果最小(約2.91 J/cm2)、Ⅱ型閾值擬合結(jié)果最大(約3.11 J/cm2)，其原因是表2數(shù)據(jù)中能量密度誤差較大。Ⅳ型與Ⅲ型閾值擬合結(jié)果介于二者之間。

不同能量下能量測量結(jié)果A類不確定度最大值為0.65%，根據(jù)式(25)計算能量密度測量結(jié)果相對不確定度uH為2.57%(k=1)。

四種殘差模型下?lián)p傷概率測量不確定度uP分別為0.088 0、0.089 7、0.089 7、0.088 0，模擬計算uP取最大損傷概率測量不確定度為0.089 7(k=1)。

隨機生成一組數(shù)目為n、標準差為1、平均值為0的標準正態(tài)分布隨機數(shù)randn(n)，按式(27)、式(28)隨機生成一組能量密度和損傷概率數(shù)據(jù)。

(27)

(28)

損傷概率與能量密度典型模擬結(jié)果如圖4所示。圖4中，模擬數(shù)據(jù)點圍繞實測數(shù)據(jù)點(Hi，Pi)成二維高斯分布，中心附近數(shù)據(jù)點較為密集。由于圖4中未限制損傷概率的取值范圍，因此出現(xiàn)損傷概率大于1和小于0的情況。圖4表明，在表2數(shù)據(jù)測試精度以及均值正態(tài)分布假設(shè)下，單次測量得到圖4中損傷概率大于等于“0”、小于等于“1”的任意數(shù)據(jù)點都是可能的。

圖4 能量密度與損傷概率模擬結(jié)果

對應(yīng)圖4按Ⅰ型～Ⅳ型殘差模型數(shù)值模擬所獲結(jié)果如表3所示。

表3 損傷閾值模擬結(jié)果

表3中，對比限制損傷概率取值范圍與不限制取值范圍兩種情況可以發(fā)現(xiàn)：限制損傷概率取值范圍情況下，Ⅰ型、Ⅳ型殘差模型獲得的模擬閾值平均值與單次擬合獲得的閾值之間的偏差約為-13.40%，Ⅱ型、Ⅲ型殘差模型約-4.82%、-5.14%。不限制損傷概率取值范圍情況下，Ⅰ型、Ⅳ型對應(yīng)的偏差為-2.41%，Ⅱ型、Ⅲ型對應(yīng)偏差分別為5.14%、4.82%、。另一方面，從模擬閾值標準差與模擬閾值平均值的比值上看，當限制損傷概率取值范圍時，該比值約為25%，當不限制取值范圍時，該比值約為19%。從模擬結(jié)果上看，不限制損傷概率取值范圍的結(jié)果偏差較小，因此，后續(xù)分析采用不限制損傷概率取值范圍的模擬結(jié)果。

4種殘差模型及表2條件下，損傷閾值概率分布模擬結(jié)果如圖5所示。

圖5中，Ⅰ型損傷閾值概率分布與Ⅳ型結(jié)果相似，Ⅱ型與Ⅲ型結(jié)果相似，與圖3內(nèi)涵一致。

圖5 損傷閾值分布

不限制損傷概率取值范圍情況下，Ⅱ型、Ⅲ型殘差模型模擬閾值標準差與模擬閾值平均值比值小于Ⅰ型、Ⅳ型所獲比值，這意味著Ⅱ型、Ⅲ型殘差模型受輸入?yún)?shù)誤差影響較小，結(jié)果較為穩(wěn)定。

在表2輸入條件下，能量密度測量誤差對于損傷閾值擬合影響較大，因此Ⅱ型、Ⅲ型結(jié)果較為接近。但從表(1)所列殘差模型上可以看出，當損傷概率誤差較大時，由于Ⅱ型殘差模型未考慮損傷概率誤差，其模擬結(jié)果標準偏差必將增大。綜合評價，殘差模型Ⅲ更適合作為閾值擬合殘差模型，因此，本文后續(xù)結(jié)果采用Ⅲ型殘差模型結(jié)果。

連續(xù)進行6輪模擬(單輪1 000次)，結(jié)果如表4所示。多輪模擬結(jié)果表明單輪1 000次的模擬結(jié)果較為穩(wěn)定，可以有效表征測試過程。

表4 損傷閾值多輪模擬結(jié)果

擬合直線斜率M與截距b相關(guān)系數(shù)計算結(jié)果如表5所示(6輪)，擬合直線斜率與截距存在相關(guān)性，二者不是獨立的，在使用公式法進行不確定度評定過程中不能忽略二者的相關(guān)性。

表5 斜率與截距相關(guān)系數(shù)

?、笮偷谝惠啌p傷閾值模擬標準差作為損傷閾值不確定度(k=1)，損傷閾值測量結(jié)果的表示如式(29)所示，取k=2。

Hth=H±kσH=(3.11±1.38)J/cm2

(29)

按Ⅲ型第一輪閾值模擬結(jié)果，能量密度區(qū)間[1.73 4.49]約占總區(qū)間95.7%，與理想正態(tài)分布2σ區(qū)間所占比例95.45%相差不大，證明蒙特卡洛模擬方法可以較為有效地計算該測量不確定度。

此外，若以[0 3.11]區(qū)間概率和作為單點閾值測量值的置信度，在Ⅲ型第一輪模擬結(jié)果下?lián)p傷閾值3.11 J/cm2置信度約為39.1%。

從損傷閾值測量結(jié)果表示上看，本文模擬的損傷閾值測量結(jié)果不確定度較大。究其原因是實測損傷概率精度較差、實測損傷概率密度分布與均勻分布偏離較大引起的。

若表2數(shù)據(jù)中，能量3對應(yīng)的損傷概率為0.6、能量4對應(yīng)的損傷概率為0.8時，按照上述計算方法，閾值結(jié)果如式(30)所示?？梢钥闯觯敁p傷概率測試結(jié)果基本為均勻分布時，其測量不確定度將大大降低。

Hth=H±kσH=(3.09±0.45)J/cm2

(30)

本文也按照ISO 21254提供的損傷閾值測量不確定度評定方法進行了測量不確定度評定，評定結(jié)果如下。

損傷概率不確定度σi/(%):

σ1—2.57；σ2—48.37；σ3—20.86；σ4—20.86；σ5—2.57

不確定度分步計算結(jié)果:

M—0.106 1 cm2·J-1；σM—0.003 8 cm2·J-1；b—-0.354 7；σb—0.035 9；H—3.34 J·cm-2；σth—0.36 J·cm-2

結(jié)果如式(31)所示,k=2。

Hth=H±kσH=(3.34±0.72)J/cm2

(31)

從計算結(jié)果上看，ISO 21254方法所獲得的閾值擬合結(jié)果偏大，測量不確定度偏小，這將帶來測試樣品損傷閾值的過高估計。

4 結(jié) 論

雖然“零”概率損傷閾值不代表在該能量密度下光學表面一定不發(fā)生損傷，但1 on 1激光誘導損傷閾值測試方法作為快速有效的器件抗激光損傷性能評價方法，其適用范圍較廣，測試成本較低，是一種值得保留的光學表面損傷特性測試評價方法。完整精確地獲得零概率損傷閾值的測量不確定度，對正確使用光學表面,合理評價光學表面加工工藝有著積極的意義。

本文在公式法評定激光脈沖能量密度的基礎(chǔ)上，基于蒙特卡洛方法對1 on 1損傷閾值測量結(jié)果不確定度進行了評定，獲得如下初步結(jié)論：

(1)當測試光斑尺寸較小時，能量密度測量結(jié)果的不確定度主要受能量測量不確定度及光斑周長面積比影響，提高激光脈沖能量穩(wěn)定性、增大測試光斑面積有助于減小能量密度測量不確定度。

(2)在線性擬合過程中，合理地選擇殘差模型對于減小擬合方法引入的測量不確定度較為重要。同時考慮損傷概率、能量密度誤差的最小二乘法殘差模型(Ⅲ型)，抗誤差性能最好，可以有效抵消損傷概率、能量密度誤差引起的損傷閾值測量值波動。

(3)ISO 21254提供的損傷閾值計算方法及不確定度評定方法，閾值計算結(jié)果偏大，測量不確定度偏小，容易發(fā)生損傷閾值的過高估計。