盧夢(mèng)霞,林 昊

(1.周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001;2.確山博世學(xué)校,河南 駐馬店 463200)

群論的研究最早就是從研究置換群開始的，伽羅瓦利用置換群解決了代數(shù)方程是否可用根式求解的問(wèn)題；藝術(shù)家和科學(xué)家利用置換進(jìn)行藝術(shù)創(chuàng)作和科學(xué)研究，設(shè)計(jì)和構(gòu)造美妙的圖案；物理學(xué)家利用置換來(lái)研究晶體；化學(xué)家利用置換研究晶體內(nèi)部的結(jié)構(gòu)。置換群在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，本文主要研究置換群的基本性質(zhì)和在一些方面的應(yīng)用。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]n次對(duì)稱群Sn的任意一個(gè)子群，都叫做一個(gè)n元置換群(簡(jiǎn)稱置換群)。即由有限個(gè)置換對(duì)于變換的乘法所構(gòu)成的群。

定義2[1]設(shè)集合A={1，3，…，n}(n>1)，一個(gè)置換σ如果把數(shù)碼i1變成i2，i2變成i3，…，ik-1變成ik，又把ik變成i1，但別的數(shù)碼(如果還有的話)都不變,則稱σ是一個(gè)k-循環(huán)置換，簡(jiǎn)稱循環(huán)置換，表示為

σ=(i1i2…ik)=(i2i3…iki1)=…=(iki1…ik-1)。

2-循環(huán)置換簡(jiǎn)稱對(duì)換，無(wú)公共數(shù)碼的循環(huán)置換稱為不相連循環(huán)置換。

定義3[2]幾何中的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移交換統(tǒng)稱為對(duì)稱變換。使圖形不變形地變到與自身重合的變換稱為圖形的對(duì)稱變換。

定義4[2]經(jīng)過(guò)對(duì)稱變換保持不變的圖形，即完成這種變換前后的圖形重合，稱此圖形為對(duì)稱圖形。

定義5[2]設(shè)有某一幾何圖形，由此圖形的全部對(duì)稱變換對(duì)變換的乘法所構(gòu)成的群稱為該圖形的完全對(duì)稱群(也稱為該圖形的對(duì)稱變換群)。

命題1[2]凡對(duì)稱圖形，總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱變換和恒等變換一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱群。反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱變換，則該圖形就是對(duì)稱圖形。

Δ：不是對(duì)稱圖形，就不能有非恒等的對(duì)稱變換。

定理1[1]含有n個(gè)元素的集合共有n！個(gè)雙射變換。

Cayley定理2[1]任何群都同一個(gè)雙射變換群同構(gòu)。

定理3(J.I.Lagrange)[1]設(shè)H是有限群G的一個(gè)子群，則|G|=|H|(G:H)。

2 置換群的性質(zhì)

性質(zhì)1不相連循環(huán)置換相乘時(shí)可以交換[3]。

證設(shè)M={1，2，…，n}，σ、τ為M上兩個(gè)不相連的循環(huán)置換.記

σ=(i1i2…ik),τ=(j1j2…js)。

?a∈M，

①當(dāng)a∈σ時(shí)，則a?τ，

στ(a)=σ(τ(a))=σ(a)，τσ(a)=τ(σ(a))=σ(a)，

因此στ(a)=τσ(a)=σ(a).即στ=τσ。

②當(dāng)a∈τ時(shí)，則a?σ，

στ(a)=σ(τ(a))=τ(a)，τσ(a)=τ(σ(a))=τ(a)，

因此στ(a)=τσ(a)=τ(a).即στ=τσ。

③當(dāng)a?σ，a?τ時(shí)，則

στ(a)=σ(τ(a))=a，τσ(a)=τ(σ(a))=a，

因此στ(a)=τσ(a)=a.即στ=τσ。

綜上所述，不相連循環(huán)置換相乘時(shí)可以交換.

性質(zhì)2每個(gè)置換都可以表示為循環(huán)置換或不相連循環(huán)置換的乘積；每個(gè)循環(huán)置換可以表示成對(duì)換之積；因此，每個(gè)置換都可以表示為對(duì)換之積[1]。

證任何一個(gè)置換均可以把構(gòu)成一個(gè)循環(huán)置換的所有數(shù)碼按連貫順序緊靠在一起，而把不動(dòng)的數(shù)碼放在最后.對(duì)任意置換σ有

σ=

=(i1i2…ik)…(j1j2…js)。

即置換σ表示成了不相連循環(huán)置換的乘積。

(i1i2…ik)=(i1ik)(i1ik-1)…(i1i3)(i1i2)；

或

(i1i2…ik)=(i1i2)(i2i3)…(ik-1ik)；

亦或

(ika…binc…d)=(ikin)(ika…b)(inc…d)，然后進(jìn)一步分解成對(duì)換。

性質(zhì)3[1]任何n階有限群都同一個(gè)n階置換群同構(gòu)。

性質(zhì)4k-循環(huán)置換的階為k；不相連循環(huán)置換乘積的階為各因子的階的最小公倍數(shù)。

證當(dāng)1≤m

(i1i2…ik)的階是k.即k-循環(huán)置換的階為k[1]。

設(shè)σ=σ1σ2…σs，其中σ1，σ2，…，σs分別是階為k1，k2，…，ks的不相連循環(huán)置換，記k1，k2，…，ks的最小公倍數(shù)為t，即t=[k1，k2，…，ks]。則由性質(zhì)2.1知不相連循環(huán)置換相乘時(shí)可以交換，又ki|t，故σit=(1)，故

(σ1σ2…σs)t=

=σ1tσ2t…σst=(1)。

設(shè)σ1σ2…σs的階為r，則r|t，且(σ1σ2…σs)r=(1)，則有

(σ1σ2…σs)r=

=σ1rσ2r…σsr=(1)。

由于σ1r，σ2r，…，σsr仍是不相連循環(huán)置換，而不相連循環(huán)置換的乘積不能是(1)。因此只有

σir=(1)，i=1，2，…，s。

又因?yàn)棣襥的階為ki，故ki|r，i=1，2，…，s.從而t|r，故r=t，即σ1σ2…σs的階為t，t=[k1，k2，…，ks]。

證設(shè)k=1，2，…，n，

στσ-1(σ(k))=στ(σ-1σ(k))=στ(k)=σ(τ(k))=σ(ik)。

推論 ①當(dāng)τ=(i1i2…ik)時(shí)，則στσ-1=(σ(i1)σ(i2)…σ(in))；

②當(dāng)τ=(i1i2…ik)(j1j2…js)時(shí)，則

στσ-1=

(σ(i1)σ(i2)…σ(ik))(σ(j1)σ(j2)…σ(js))。

性質(zhì)6[4]如果一個(gè)n元置換唯一地表示成k個(gè)不相連的循環(huán)置換的的乘積，那么這個(gè)置換可以表示成至少n-k個(gè)對(duì)換的乘積。

性質(zhì)7[1]一個(gè)n元置換群G中的置換或者全是偶置換，或者奇、偶置換各占一半。

性質(zhì)8一個(gè)k-循環(huán)置換(i1i2…ik)左乘以一個(gè)對(duì)換，可以得到一個(gè)置換，該置換可以表示成兩個(gè)不相連循環(huán)置換的乘積，且這兩個(gè)循環(huán)置換的階的和為k。

證(i1i2…ik)左乘以任意一個(gè)對(duì)換(isit)，設(shè)k≥5且is，it都不等于i1、i2和ik。

(isit)(i1i2…is…it…ik)=

其中(i1i2i3…is-1itit+1…ik)的階為s-1+k-t+1，(isis+1…it-1)的階為t-s。其和為(s-1+k-t+1)+(t-s)=k。

若is，it等于i1、i2和ik中的某一個(gè)時(shí)，類似說(shuō)明；若k≤4時(shí)，只需逐個(gè)驗(yàn)證即可。

3 置換群S4的子群的求法

因?yàn)镾4是有限群，用lagrange定理求子群，根據(jù)子群的階是群的階的因子，確定子群中的元素個(gè)數(shù)，根據(jù)元素的階是群的階的因子，確定子群中的元素，從而求出所有子群。

例1求

S4={(1)，(12)，(13)，(14)，(23)，(24)，(34)，(123)，(124)，(132)，(134)，(142)，(143)，(234)，(243)，(1234)，(1243)，(1324)，(1342)，(1423)，(1432)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}

的所有子群。

解|S4|=24,設(shè)H是S4的任一子群，由定理3知 |H||24，

因此|H|=1，2，3，4，6，8，12，24。

(1)當(dāng)|H|=1時(shí)，H1={(1)}。

(2)當(dāng)|H|=2時(shí)，H2={(1)，(12)}；H3={(1)，(13)}；H4={(1)，(14)}；

H5={(1)，(23)}；H6={(1)，(24)}；H7={(1)，(34)}；

H8={(1)，(12)(34)}；H9={(1)，(13)(24)}；H10={(1)，(14)(23)}。

(3)當(dāng)|H|=3時(shí)，H11={(1)，(123)，(132)}；H12={(1)，(124)，(142)}；

H13={(1)，(134)，(143)}；H14={(1)，(234)，(243)}。

(4)當(dāng)|H|=4時(shí)，

H15={(1)，(1234)，(13)(24)，(1432)}；H16={(1)，(1243)，(14)(23)，(1342)}；

H17={(1)，(1324)，(12)(34)，(1423)}；H18={(1)，(12)，(34)，(12)(34)}；

H19={(1)，(13)，(24)，(13)(24)}；H20={(1)，(14)，(23)，(14)(23)}；

H21={(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}。

(5)當(dāng)|H|=6時(shí)，

H22={(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}；H23={(1)，(12)，(14)，(24)，(124)，(142)}；H24={(1)，(13)，(14)，(34)，(134)，(143)}；H25={(1)，(23)，(24)，(34)，(234)，(243)}。

(6)當(dāng)|H|=8時(shí)，

H26={(1)，(13)，(24)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)，(1234)，(1432)}；

H27={(1)，(14)，(23)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)，(1243)，(1342)}；

H28={(1)，(12)，(34)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)，(1324)，(1423)}。

(7)當(dāng)|H|=12時(shí)，

H29={(1)，(123)，(132)，(134)，(143)，(124)，(142)，(234)，(243)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}。

(8)當(dāng)|H|=24時(shí)，H30=S4。

4 置換群與圖形的對(duì)稱變換群?jiǎn)栴}

由群的定義可以看出，代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律、左(右)單位元、左(右)逆元，均出現(xiàn)左右對(duì)稱的本質(zhì)屬性，因而可以用群來(lái)研究對(duì)稱性。

4.1 幾何對(duì)稱

三維空間中正多面體保持空間位置不變的旋轉(zhuǎn)，每一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)其頂點(diǎn)集合的是一個(gè)置換，兩個(gè)置換相乘就是一個(gè)旋轉(zhuǎn)接著另一個(gè)旋轉(zhuǎn)，一個(gè)旋轉(zhuǎn)的逆就是與它反向的旋轉(zhuǎn)。因此，所有旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)群，稱為此多面體的旋轉(zhuǎn)群(也是一種對(duì)稱變換群)，可用一個(gè)置換群來(lái)表示。

4.2 代數(shù)對(duì)稱

數(shù)域F上任何一個(gè)n元多項(xiàng)式f(x1，x2，…，xn)，總有集合S={x1，x2，…，xn}上的n次置換使f不變，至少有恒等變換，由于使f不變的任意兩個(gè)n次置換之積仍使f不變，使f不變的全體n次置換作成一個(gè)n次置換群，是Sn的一個(gè)子群，稱為n元多項(xiàng)式f的n次置換群。

5 置換群的應(yīng)用

5.1 置換群在對(duì)稱變換群中的應(yīng)用

5.1.1 在四面體中的應(yīng)用

例2正四面體的對(duì)稱變換群，恒等變換(1)，通過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)的三階軸的變換：

(123)，(132)；(234)，(243)；(134)，(143)；(124)，(142)；連接不相交邊中點(diǎn)的二階軸的變換：(13)(24)，(14)(23)，(12)(34)。

圖1 正四面體的對(duì)稱變換群

正四面體的對(duì)稱變換群本質(zhì)上就是置換群S4的12階子群H29。

5.1.2 在矩形中的應(yīng)用

例3矩形的對(duì)稱變換群，恒等變換(1)，繞垂直于矩形并通過(guò)O的軸線沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)180°的變換(13)(24)，直線a的反射(12)(34)，直線b的反射(14)(23)。

矩形的對(duì)稱變換群就是置換群S4的子群H21。

圖2 矩形的對(duì)稱變換群

5.1.3 在正方形中的應(yīng)用

例4正方形的對(duì)稱變換群，恒等變換(1)，繞垂直于正方形并通過(guò)O的軸線沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)90°的變換(1234)，轉(zhuǎn)180°的變換(13)(24)，轉(zhuǎn)270°的變換(1432)，對(duì)直線a的反射(12)(34)，直線b的反射(14)(23)，直線1-3的反射(24)，直線2-4的反射(13)。

正方形的對(duì)稱變換群就是置換群S4的子群H26。

圖3 正方形的對(duì)稱變換群

5.2 置換在正規(guī)子群中的應(yīng)用

例5證明Sn(n≥3，n≠4)的正規(guī)子群除去(1)與Sn外只有An。

當(dāng)N∩An=An時(shí)，An?Sn，由性質(zhì)7知N=An或N=Sn。

綜上所述，Sn(n≥3，n≠4)的正規(guī)子群除去(1)與Sn外只有An。

5.3 置換在實(shí)際生活中的應(yīng)用

5.3.1 在穿珠中的應(yīng)用

例6有n個(gè)不同的珠子，要求用線把這些珠子穿成若干個(gè)環(huán)，而且每個(gè)珠子只能被一條線穿過(guò)，不同的穿珠順序是不同的穿法，共有多少種穿珠辦法？

解把n個(gè)珠子分別用1，2，…，n來(lái)表示構(gòu)成一個(gè)集合，記為A,則A={1，2，…，n}，則n個(gè)不同的珠子按照規(guī)定的穿珠辦法的總數(shù)等于n元有限集的所有置換的個(gè)數(shù)，因?yàn)楹衝個(gè)元素的集合共有n!個(gè)雙射變換，即n元有限集共有n!個(gè)置換。因此，對(duì)于n個(gè)不同的珠子，共有n!個(gè)穿珠辦法。

5.3.2 在亂碼排序中的應(yīng)用

例7給出一列亂序的數(shù)碼，要把它排成順序數(shù)碼，每次只能對(duì)其中兩個(gè)數(shù)碼進(jìn)行對(duì)換，問(wèn)最少要對(duì)換多少次？

解實(shí)質(zhì)就是置換

由性質(zhì)2知

(61)(5274893)=(16)(58)(5274)(893)=

(16)(58)(57)(52)(74)(89)(93)。

5.3.3 在洗牌中的應(yīng)用

例8設(shè)按順序排列的13張梅花紙牌(為了方便，把10、11、12、13分別用X、J、Q、K代替)

A23456789XJQK,

經(jīng)三次同樣方式的洗牌后的順序變?yōu)?/p>

6XAQ9KJ748325，

求第一次洗牌后牌的順序。

解每洗一次牌，相當(dāng)于對(duì)牌進(jìn)行一次置換，經(jīng)三次洗牌后所對(duì)應(yīng)的置換為

σ3=

σ3是一個(gè)13階循環(huán)置換。

σ12=(σ3)4=(A6K594Q2X87J3)4

=(A9X352JKQ7648)。

σ12σ=σ13=(1)，σ12=σ-1，

即

σ-1=(A9X352JKQ7648)。

因此

σ=(8467QKJ253X9A)=

85X637Q4A92KJ。