楊如曙，楊江河

( 湖南文理學(xué)院計(jì)算機(jī)與電氣工程學(xué)院，常德 415000)

1 引 言

玻色-愛因斯坦凝聚體( BEC) 被局陷在兩束耦合激光駐波形成的光晶格勢阱中的物性研究受到了廣泛地關(guān)注，主要是研究局陷于光晶格勢阱中BEC 的性質(zhì)可為原子激光和原子干涉儀等具體應(yīng)用提供更加廣泛的市場［1-14］.值得一提的是，Eiermann 等［11］在局陷于光晶格勢阱的BEC 體系中實(shí)驗(yàn)觀察到了一種隙孤子( gap soliton) ，且這一隙孤子一直釘扎于光晶格的某一具體位置既不發(fā)生衰減也不會產(chǎn)生形狀等方面的改變，它為一典型的空間局域化的隙孤子( Spatially Localized Gap Soliton).由于局陷于光晶格勢阱中的BEC 類似于局陷于晶格中的電子，因而人們常采用緊束縛近似［15，16］，正交完備Wannier 函數(shù)法［17］，有效質(zhì)量法［18］，平面波方法［19］等一些固體物理學(xué)的近似方法來研究局陷于光晶格勢阱中的BEC 的動力學(xué)行為.已有研究表明，對于局陷于光晶格勢阱深度較淺的正s -波散射長度的BEC 體系中會形成亮隙孤子; 而對于負(fù)s -波散射長度的BEC 體系產(chǎn)生暗隙孤子［15-31］.盡管固體物理學(xué)中的這系列方法為研究局陷于淺光晶格勢阱中的BEC 動力學(xué)提供了便利和可行，然而當(dāng)BEC 局陷于深光晶格勢阱時，則勢阱與勢阱之間的BEC 隧穿效應(yīng)會明顯增強(qiáng)，因而此時固體物理學(xué)的這些近似方法并不能完整地描述BEC 中的動力學(xué)性質(zhì).所以，有必要發(fā)展新的方法來研究光晶格勢阱中BEC 的動力學(xué)特性［20］.

事實(shí)上，局陷BEC 的光晶格勢阱的深度越深，則光晶格勢阱內(nèi)的凝聚體被束縛得越緊，而光晶格勢阱之間的凝聚體隧穿效應(yīng)會明顯增強(qiáng)［3］.當(dāng)局陷凝聚體的光晶格勢阱的深度相當(dāng)深時，實(shí)驗(yàn)上觀察到自陷隙孤子( self-trapping gap soliton)［12，13］.特別是2020 年，Oldziejewski 等［32］發(fā)現(xiàn)當(dāng)BEC 局陷于一個相當(dāng)深的光晶格勢阱內(nèi)，系統(tǒng)不僅會出現(xiàn)亮隙孤子而且還會顯示出一些強(qiáng)相關(guān)的量子液滴( strongly correlated quantum droplets).這意味當(dāng)BEC 局陷于相當(dāng)深的光晶格勢阱系統(tǒng)中可能會產(chǎn)生其他形式的隙孤子.進(jìn)一步研究局陷于深光晶格勢阱中的BEC 的孤子，對于提高原子鐘的測量精度具有重要意義［33］.

由于局陷于光晶格勢阱中的BEC 類似于局陷于晶格中的電子，體系的動力學(xué)行為可借用固體物理學(xué)中的緊束縛近似方法來描述.與此同時，局陷在各個光晶格勢阱中的凝聚體是被各個勢阱所隔開，因而可采用準(zhǔn)離散多重尺度方法來描述其中的動力學(xué)行為.因此，本文我們發(fā)展準(zhǔn)離散多重尺度法結(jié)合緊束縛近似研究光晶格勢阱中BEC 的動力學(xué)行為.結(jié)果在系統(tǒng)的能隙中發(fā)現(xiàn)一種新穎內(nèi)在的局域模: 扭結(jié)包絡(luò)隙孤子，且其幅度可通過形成光晶格勢阱的晶格常數(shù)和勢阱深度這兩個重要物理參數(shù)進(jìn)行操控.

2 模型和孤子的穩(wěn)定性分析

實(shí)驗(yàn)上，局陷BEC 的光晶格勢阱是由兩束相向傳播的激光束之間的干涉所形成［11-14］.光晶格勢阱的晶格常數(shù)是通過兩束交叉耦合激光束之間的夾角來調(diào)控，其變化范圍在0.4 -1.6 μm 之間［11，12］.光晶格勢阱深度則與交叉耦合激光束的光強(qiáng)成正比，變化范圍在0 和Emax0=20Erec之間，其中Erec=π2?2/(2md2) ( 式中m 是凝聚體的冷原子質(zhì)量，d 代表光晶格勢阱的晶格常數(shù)) 為晶格反沖能量( the lattice recoil energy)［11，12］.理論上，BEC 所局陷的光晶格勢阱V 通常由兩部分組成［15，16］，即V=Vh+Vp，其第一項(xiàng)為諧振外部勢阱式中ωX和ωR分別是諧振外部勢阱的軸向和徑向諧振頻率，第二項(xiàng)為周期外部勢阱，Vp( X)=Vp( X + λ) ，其中λ 為形成光晶格勢阱的激光束波長.相應(yīng)地，局陷BEC 的周期性光晶格勢阱可表示為［15，16］

其中，E0和K=2π/λ 分別是BEC 所局陷的外部光晶格勢阱的勢阱深度和所形成光晶格勢阱的激光波數(shù).根據(jù)現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)條件［11］，我們在此考慮一維煙型的87Rb 原子凝聚體(87Rb 原子質(zhì)量是14×10-25kg，其s-波散射長度為5.3nm) 所局陷的光晶格勢阱的軸向諧振頻率為ωX=2π ×0.5 Hz，而其徑向諧振頻率是ωR=2π ×85 Hz 的外部光晶格勢阱，并設(shè)每個光晶格勢阱約承載900 個87Rb原子凝聚體.由于ωX/ωR≈0.006 ?1 ，因而BEC 所局陷的外部光晶格勢阱可看作為準(zhǔn)一維的光晶格勢阱.

正如文獻(xiàn)［21，34］所討論，描述局陷于光晶格勢阱中的一維BEC 動力學(xué)行為的無量綱Gross-Pitaevskii( GP) 方程是

為了能獲得局陷于光晶格外部勢阱中的BEC形成孤子的性質(zhì)，我們先分析該體系形成孤子的穩(wěn)定性條件.為此，體系的波函數(shù)可定義為［18］

其中，μ 是系統(tǒng)的化學(xué)勢，u0( x) 為描述體系孤子形狀的實(shí)函數(shù).將方程( 3) 代入GP 方程( 2) ，可得到

在線性情況下，方程(4) 正是Hill 方程［35］

根據(jù)Floquet -Bloch 定理，描述體系孤子形狀的函數(shù)u0( x) 按照光晶格勢阱周期函數(shù)Vk( x) 展開為u0( x)=Vk( x) exp( ikx) ( 其中k 為波矢).由固體物理學(xué)中的平面波方法可知［19］，晶格與凝聚體相互作用下的μ - k 的能帶結(jié)構(gòu)對BEC 的線性性質(zhì)起著決定性的作用.為此，圖1 示出了局陷于光晶格勢阱的勢阱深度是V0=10 且晶格常數(shù)為d=1μm 的體系能帶結(jié)構(gòu)圖.

圖1 勢阱深度V0=10 和晶格常數(shù)d=1 μm 情況下體系的能帶結(jié)構(gòu)圖.曲線I -V 分別對應(yīng)于體系的前五個能帶.Fig.1 The band structure for V0=10 and d=1 μm Curves I-V correspond to the first five bands，respectively.

從能帶結(jié)構(gòu)圖1 可看出，對于處于能帶中的化學(xué)勢μ，方程( 5) 具備線性的周期性解，且這些能帶結(jié)構(gòu)的線性周期性可以判定局陷于光晶格勢阱中BEC 形成孤子的穩(wěn)定性條件［7，18］.正如文獻(xiàn)［18］所得，局陷于光晶格勢阱能隙中的凝聚體的孤子是穩(wěn)定的，而局陷于能帶內(nèi)的凝聚體的孤子由于振動行為變得不穩(wěn)定.這一結(jié)果也可從文獻(xiàn)［7，9］獲得.因此，我們下面僅討論局陷于光晶格勢阱中凝聚體能隙中的孤子行為.

既然局陷于光晶格勢阱中的BEC 類似于局陷于晶格中的電子，體系的動力學(xué)行為可借用固體物理學(xué)中的緊束縛近似方法來描述.在緊束縛近似下，體系的波函數(shù)可寫作［15，16］

其中，N 是凝聚體的原子數(shù)，φn( x) 是處于光晶格勢阱中心的最低位置的與空間相關(guān)的實(shí)函數(shù)，ψn( t) 為第n 個光晶格勢阱的凝聚體波函數(shù)，且其可與相鄰光晶格勢阱的波函數(shù)ψn±1發(fā)生弱耦合作用.

將緊束縛近似波函數(shù)方程( 6) 代入GP 方程(2) 并對整個空間積分，就可得到離散的非線性Schr?dinger 方程

一般情況下的非線性Schr?dinger 方程( 7) 是不可積的，然而當(dāng)凝聚體局陷于光晶格勢阱中時，每個勢阱中的凝聚體會局陷于各自的勢阱中，從而凝聚體被各自勢阱所隔開，因此我們可引入準(zhǔn)離散多重尺度法［36，37］來研究體系凝聚體的動力學(xué)行為，可設(shè)

基于離散波近似，可設(shè)

將方程(12) 代入方程(9) 中，可得En=2T.相應(yīng)的系統(tǒng)的線性色散關(guān)系為ω=2T［1 -cos( k′d) ］.其群速度是

隨后，將方程(12) 代入方程(10) 中，可得

其中C.C 代表共軛復(fù)數(shù).方程(14) 右邊第二項(xiàng)是久期項(xiàng)，消去久期項(xiàng)后得到λ′=2Tdsin( k′d)=Vg.從而得出待定參數(shù)λ′ 正是晶格格波的群速度.目前實(shí)驗(yàn)上［11-14］形成光晶格勢阱的激光駐波的波矢是k′=2π/λ，且駐波之間相鄰波腹之間的距離( 即光晶格的晶格常數(shù)) 是d=π/2，因此局陷于光晶格勢阱中的凝聚體的孤子是局域在初始位置并不傳播.

從而，方程(14) 式的解具有如下形式

當(dāng)僅僅考慮幅度最低階A 的關(guān)系時，可設(shè)B0( ξn)=0.從而，將方程(15) 代入方程(14) ，然后通過求解此線性微分方程，有

隨后，將方程(12) 和(15) 代入方程(11) ，則方程(11) 可化為

類似地，消除方程(16) 右邊的久期項(xiàng)，可得

式中，P=2Td2cos( k′d) ，Q=-3U.利用初始變換關(guān)系A(chǔ)0=ψ0/ε，A=ψ/ε，ξn=ε( nd -Vgt)=εXn和τ=ε2t，方程(17) 和(18) 分別被化為

顯然，只要求出方程(19) 和(20) 的解，就可以獲得局陷于光晶格勢阱的BEC 的孤子動力學(xué)行為.

3 光晶格勢阱中BEC 孤子性質(zhì)

在此，我們選取正s -波散射長度的87Rb 原子凝聚體［11］局陷于光晶格勢阱的非線性動力學(xué)性質(zhì)作為一個典型事例來說明光晶格勢阱中BEC 的孤子性質(zhì).由方程(18) 可得物理參數(shù)U ＞0 ，T ＜0 ; 且在這情況下cos( k′d) ＞0.相應(yīng)地，由方程(18) 所得出P 和Q 的乘積表達(dá)式是PQ=-6UTd2cos( ~kd) ，因此，對于正s-波散射長度的87Rb 原子凝聚體局陷于光晶格勢阱中后，PQ ＞0.相應(yīng)地非線性Schr?dinger 方程( 20) 的單孤子解為［38］

式中，積分常數(shù)n0代表系統(tǒng)形成孤子后孤子的初始中心位置，積分常數(shù)k0和φ0分別表示體系形成孤子后孤子的初始幅度和初始相位.

隨后，分析方程(19) 右邊兩項(xiàng)的數(shù)值大小發(fā)現(xiàn)，其第一項(xiàng)總是比第二項(xiàng)小得多，這主要是因?yàn)閺姆匠?12) 可得出物理參數(shù)和| ψ|2屬于同一數(shù)量級的參數(shù).相應(yīng)地，將方程(21) 代入方程(19) 然后積分可得ψ0的近似解為

式中C 為一任意積分常數(shù).因此，局陷于光晶格勢阱中的第n 個光晶格勢阱的波函數(shù)是

根據(jù)目前實(shí)驗(yàn)所實(shí)現(xiàn)光晶格勢阱的條件［11，12］，可選擇的物理參數(shù)分別為d=0.11，U=0.2，En=- 1.0，k′=5.0/d，C=1.0，k0=1.0，n0=50，t=0 和φ0=0.當(dāng)BEC 所局陷的光晶格勢阱較淺時，勢阱之間的BEC 所發(fā)生的隧穿效應(yīng)相當(dāng)弱［3］，圖2 示出了T=0 時凝聚體的概率密度分布.從圖可看出，局陷于淺光晶格勢阱中的正s 波散射長度BEC 在能隙中所觀察到的是對稱的包絡(luò)隙孤子，且包絡(luò)隙孤子的局陷中心位置為n=n0處.這是一種典型的內(nèi)在局域模，局域在初始位置后進(jìn)而擾動最終演化為一個包絡(luò)孤子和一個色散的高斯尾巴.這是由于BEC 所局陷的光晶格勢阱較淺，光晶格勢阱的勢阱深度較小，相鄰光晶格勢阱中的BEC 隧穿效應(yīng)相當(dāng)弱，系統(tǒng)所能觀察到的是一種穩(wěn)定的對稱包絡(luò)隙孤子.

圖2 無隧穿( T=0) 情況下，局陷于光晶格中凝聚體的概率密度分布.圖中所使用的其他無量綱的物理參數(shù)分別是: d=0.11，U=0.2，En=-1.0，k=5.0/d，C=1.0，k=1.0，n0=50，t=0，φ=0.Fig.2 The density distribution of the condensate trapped in optical lattices with the T=0.The parameters used are d=0.11，U=0.2，En=-1.0，k=5.0/d，C=1.0，k=1.0，n0=50，t=0，and φ=0.All parameters used are in dimensionless units.

當(dāng)BEC 所局陷的光晶格勢阱較深時，相鄰光晶格勢阱中的BEC 的隧穿效應(yīng)就會相應(yīng)地增強(qiáng)［3］.因此，隨后探討光晶格勢阱的晶格常數(shù)和勢阱深度對局陷于光晶格勢阱中的凝聚體隙孤子的影響.為此，我們數(shù)值模擬出不同的隧穿強(qiáng)度T 和不同的晶格常數(shù)d 下，局陷于光晶格勢阱中的凝聚體的概率密度分布，如圖3 所示.從圖3( a) 可看出，當(dāng)BEC 所局陷的光晶格勢阱較深，且相鄰光晶格勢阱中的凝聚體發(fā)生隧穿的強(qiáng)度為T=-0.5 時，能在局陷于光晶格勢阱的凝聚體中的能隙中觀察一個包絡(luò)隙孤子和一個扭結(jié)孤子疊加而成的新型的扭結(jié)包絡(luò)隙孤子.這說明局陷于深光晶格勢阱中的BEC 能在其能隙中觀察一種新型的非線性元激發(fā): 扭結(jié)包絡(luò)隙孤子; 且這種典型的非線性元激發(fā)是一種典型的內(nèi)在局域模.

圖3 不同晶格常數(shù)和隧穿強(qiáng)度( a) d=0.11，T=-0.5，( b) d=0.11，T=-0.9，和( c) d=0.15，T=-0.9，情況下，凝聚體的概率密度分布.圖中所使用的其他物理參數(shù)與圖2 一致.Fig.3 The density distribution of the condensate with different parameters ( a) d=0.11，T=-0.5，( b) d=0.11，T=-0.9，and ( c) ( c) d=0.15，T=-0.9.The other parameters used are the same as those of figure 2.

隨著局陷于BEC 的光晶格勢阱深度的進(jìn)一步增加，從方程( 7) 可得出相鄰光晶格勢阱中的BEC 發(fā)生的隧穿強(qiáng)度會作相應(yīng)地增加.因此在圖3( b) 中我們保持其他物理參量均不變，僅僅使相鄰之間的隧穿強(qiáng)度變化為T=-0.9 情況下的凝聚體局陷于深光晶格勢阱中的凝聚體概率密度的分布.通過對比圖3( b) 和( a) 發(fā)現(xiàn)，局陷于深光晶格勢阱中的BEC 在其能隙中所觀察到的隙孤子仍然為扭結(jié)包絡(luò)隙孤子，但扭結(jié)包絡(luò)隙孤子的幅度隨著所局陷BEC 的光晶格勢阱深度的增加有所增加.最后，我們分析局限于BEC 的光晶格勢阱的晶格常數(shù)對體系隙孤子的影響，因而在圖3( c) 中我們保持其他物理參量不變，僅僅使局陷BEC 的光晶格勢阱的晶格常數(shù)增加到0.15，可看到扭結(jié)包絡(luò)隙孤子的幅度隨著所局陷BEC 的光晶格勢阱的晶格常數(shù)的增加而進(jìn)一步增加.

基于上述理論研究現(xiàn)象，我們可提出一套調(diào)控局陷于光晶格外部勢阱中的BEC 體系的隙孤子的幅度的實(shí)驗(yàn)方案為: 首先，讓兩束激光光強(qiáng)較弱的相向傳播的光束產(chǎn)生干涉現(xiàn)象構(gòu)成一個光晶格外部勢阱［11-14］; 隨后將87Rb 原子凝聚體注入上述光晶格外部勢阱中，結(jié)果會在整個裝置中觀察到一對稱的局域包絡(luò)隙孤子; 然后，將形成光晶格勢阱的兩束激光的光強(qiáng)增加，人們會觀察到原來體系所形成的局域包絡(luò)隙孤子轉(zhuǎn)變?yōu)榕そY(jié)包絡(luò)隙孤子; 最后，進(jìn)一步增加形成光晶格勢阱的兩束激光的光強(qiáng)，會發(fā)現(xiàn)扭結(jié)包絡(luò)隙孤子的幅度增加.當(dāng)然進(jìn)一步使構(gòu)成光晶格外部勢阱的兩束激光之間的夾角增加，也會發(fā)現(xiàn)扭結(jié)包絡(luò)隙孤子的幅度將會進(jìn)一步增加.

4 結(jié) 論

總之，通過發(fā)展準(zhǔn)離散多重尺度方法結(jié)合緊束縛近似，我們解析地研究了局陷于光晶格勢阱的BEC 的孤子動力學(xué)行為.首先，我們探討了局陷于光晶格勢阱中的BEC 系統(tǒng)形成孤子的線性范疇，結(jié)果發(fā)現(xiàn)局陷在體系能隙中的孤子是穩(wěn)定的，而處于體系能帶中的孤子會出現(xiàn)振動行為而不穩(wěn)定.與此同時，我們得到系統(tǒng)能隙中所形成的孤子是局陷在初始位置并不傳播.隨后，我們將87Rb原子凝聚體注入光晶格勢阱深度較淺的光晶格外部勢阱中，體系會產(chǎn)生穩(wěn)定的對稱的包絡(luò)隙孤子.當(dāng)BEC 所局陷的光晶格外部勢阱的勢阱深度增加時，體系會產(chǎn)生一種新型的非線性元激發(fā):扭結(jié)包絡(luò)隙孤子.最后，通過數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)體系的扭結(jié)包絡(luò)隙孤子的幅度可通過BEC 所局陷的光晶格勢阱的晶格常數(shù)和勢阱深度來調(diào)控.相應(yīng)地，我們提出了一套實(shí)驗(yàn)方案去操控局陷于光晶格勢阱中BEC 隙孤子幅度的方法是通過增加構(gòu)成光晶格外部勢阱的兩束激光激光強(qiáng)度和( 或) 使這兩束激光之間的夾角增加來增加扭結(jié)包絡(luò)隙孤子的幅度.