單良 趙騰飛 黃薈云 洪波 孔明

1) (中國計量大學(xué)信息工程學(xué)院，浙江省電磁波信息技術(shù)與計量檢測重點實驗室，杭州 310018)

2) (中國計量大學(xué)計量測試工程學(xué)院，杭州 310018)

光場相機可以解決輻射測溫多相機系統(tǒng)光路復(fù)雜、同步觸發(fā)難等問題，在輻射成像三維溫度重建時有其獨特優(yōu)勢.LSQR 是求解基于大型稀疏矩陣最小二乘問題的經(jīng)典算法，該算法用于重建三維溫度場時對溫度初值依賴較大，在信噪比較低的情況下重建精度不理想.本文提出阻尼LSQR-LMBC 重建算法，通過在LSQR方法中添加阻尼正則化項，提高火焰三維溫度場重建的抗噪性能，并結(jié)合LMBC 算法，實現(xiàn)吸收系數(shù)和三維溫度場同時求解.在數(shù)值模擬部分，隨著信噪比逐漸降低，阻尼LSQR 的重建效果比LSQR 更加穩(wěn)定，在信噪比達到13.86 dB 時，重建精度大約提高30%.阻尼LSQR-LMBC 的平均重建誤差為6.63%.用丁烷火焰進行了實驗，重建的丁烷火焰三維溫度場分布符合輻射火焰燃燒的特征，和熱電偶的測溫數(shù)據(jù)結(jié)果進行對比，相對誤差在6.8%左右.

1 引言

溫度是火焰燃燒評價的重要參數(shù)之一，溫度的研究有助于探究燃燒的本質(zhì)和規(guī)律，推進燃燒理論和技術(shù)的發(fā)展[1].對于三維溫度場的測量，接觸式測溫技術(shù)會破壞火焰的原本形狀和溫度分布，要得到整個燃燒場的溫度信息，就必須合理布置測量點，通過估算得到溫度場的近似分布，這樣會大大增加測量系統(tǒng)的復(fù)雜度[2].非接觸式測溫最顯著的特點就是不對流場造成擾動，具有測溫范圍寬，動態(tài)響應(yīng)靈敏等優(yōu)點.目前的光電探測元件技術(shù)發(fā)展相當成熟，CCD 探測器可以非常好地采集火焰輻射強度信息，反演火焰的二維和三維溫度場信息，具有非接觸、準確度高、實時性好等優(yōu)點，受到國內(nèi)外科研人員的青睞.

王式民等[3]結(jié)合單CCD 相機與光學(xué)分層成像法對火焰的三維溫度場進行重建，其通過調(diào)整相機采集不同聚焦平面的二維圖像進行疊加，最終得到燭光火焰的三維溫度場，但是在調(diào)焦過程中出現(xiàn)的延時誤差無法實現(xiàn)瞬態(tài)火焰的溫度重建.黃群星等[4]將截斷奇異值分解(Truncate singular value decomposition，TSVD)的正則化方法應(yīng)用于三維火焰溫度場重建中，較好地解決了重建問題的不適定性.Gilabert 等[5]提出一種采用多CCD 結(jié)合光學(xué)層析技術(shù)對火焰進行三維溫度重建的方法.多相機系統(tǒng)雖然可以獲取火焰不同方向的火焰輻射信息，但是相機系統(tǒng)的復(fù)雜度會隨著CCD 數(shù)量的增加而增加，同時也會帶來相機的同步問題.Hossain等[6]將傳統(tǒng)CCD 相機采用基于投影的CT 層析方法對火焰的三維溫度場進行重建，但是層析法實現(xiàn)三維溫度場測量時存在需求設(shè)備多、光路復(fù)雜、耗時長等常見弊端.陸永剛等[7]通過電動機改變傳統(tǒng)相機的拍攝位置對火焰進行移焦拍攝，再通過光學(xué)分層技術(shù)實現(xiàn)了火焰的三維重建，但是火焰的形狀是動態(tài)變化的，移焦拍攝會出現(xiàn)較大的延時誤差，難以采集到同一時刻下的火焰輻射圖像序列.

光場相機作為一種新型的圖像采集設(shè)備，逐漸在三維重建上得到應(yīng)用和發(fā)展[8-14].光場相機是利用微透鏡陣列得到圖像，可以獲得比傳統(tǒng)相機更豐富的四維數(shù)據(jù)信息(光線的強度信息和方向信息)，再結(jié)合成像理論和重建算法實現(xiàn)物體的三維重建.Fahringer 等[15]提出了一種基于單個全光相機的三維三分量粒子圖像測速技術(shù).Horstmeyer 等[16]利用光場架構(gòu)，將濾光片與光場相機相結(jié)合構(gòu)建出一種多模式成像方案，可以以數(shù)字的方式對特定光譜和偏振光等信息進行重建.Prevedel 等[17]將光場成像技術(shù)引入醫(yī)學(xué)神經(jīng)系統(tǒng)的研究中，并成功獲得了被研究者腦中單個神經(jīng)元活動圖像.聶云峰等[18，19]對光場成像技術(shù)的進展進行了探索，根據(jù)光場成像原理研制了光場成像系統(tǒng)，開展實驗對光場相機的數(shù)字對焦能力進行驗證，并對離焦對象進行了光譜復(fù)原.也有一些研究團隊將光場成像技術(shù)應(yīng)用于火焰的三維溫度場重建.例如，Yuan 等[20，21]對火焰輻射光場的成像過程開展了深入的研究，并分析和評價了火焰圖像的成像特征，奠定了火焰光場成像三維溫度場重建的理論基礎(chǔ).東南大學(xué)的許傳龍團隊[22-26]將火焰?zhèn)鬏斈Ｐ团c光場成像技術(shù)相結(jié)合，對半透明介質(zhì)的火焰光場成像特征展開了一系列的研究，并構(gòu)建了基于光場相機的火焰成像系統(tǒng)，對火焰進行了三維溫度場的重建.

本文在光場成像的基礎(chǔ)上，將阻尼LSQR(Damped least squares QR decomposition，LSQR)和LMBC (Levenberg-Marquardt with boundary constraint，LMBC)算法相結(jié)合，在火焰溫度場的反演重建算法上進行了新的探索與嘗試.利用雙平面參數(shù)法對光線進行追跡，通過光場重建策略進行輻射光場的正向模擬實驗，使用阻尼LSQRLMBC 的混合算法對模擬光場圖像進行反向溫度場重建.對丁烷火焰的三維溫度場進行重建實驗，并使用熱電偶對重建結(jié)果進行對比分析.

2 原理與方法

2.1 光場成像模型

本文采用的傳統(tǒng)一代光場相機，成像示意如圖1 所示，其主要由主透鏡、微透鏡陣列以及CCD圖像傳感器組成.光源點發(fā)射出不同方向的光線，經(jīng)過主透鏡后再穿過微透鏡陣列投射到CCD 面成像，同一物點出發(fā)的不同方向的光線投射到同一微透鏡下的不同像素點，因此光場圖像傳感器的像素點獲取的信息包含方向信息[27].

圖1 光場相機結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1.Structure diagram of light field camera.

本文將三維火焰中的某一個體積很小的區(qū)域定義為虛擬微元體.在對火焰進行三維溫度場重建時，由于虛擬微元體的體積很小，因此可以將其視為點光源，再根據(jù)雙平面參數(shù)法對光線進行追跡定位.根據(jù)光場相機的內(nèi)部光學(xué)器件的結(jié)構(gòu)順序可知，微元體發(fā)射出的光線到達光場相機圖像傳感器面的追跡過程及對應(yīng)的光線追跡模型如下.

1)從微元體出發(fā)的光線經(jīng)過自由空間到達主透鏡平面:

2)光線經(jīng)過主透鏡:

3)透過主透鏡的光線經(jīng)過自由空間到達微透鏡平面:

4)光線經(jīng)過微透鏡:

5)透過微透鏡的光線經(jīng)過自由空間，最終投射在圖像傳感器面:

式中，x和y分別表示光線穿過某個平面時對應(yīng)的光線交點位置坐標，下標對應(yīng)不同的平面;s0和si分別對應(yīng)物距和像距;fm和fi分別表示主透鏡和微透鏡的焦距;sx和sy表示微透鏡中心與Z軸的偏移距離.對θ和φ的數(shù)值可以利用正余弦定理，通過光場相機內(nèi)部元器件的參數(shù)和器件之間的距離計算得到.

2.2 火焰輻射光場成像模型

火焰的輻射強度值通過圖像傳感器接收到的光線輻照強度進行分析，采用穩(wěn)態(tài)傳輸方程進行計算[28].在較短的曝光時間下可以忽略火焰動態(tài)變化，直接考慮傳輸過程中火焰輻射能量對于介質(zhì)的散射、發(fā)射和吸收特性.根據(jù)Mie 理論，由于炭黑顆粒的吸收能力遠大于散射能力，因此可以忽略火焰的散射特性，僅考慮火焰的吸收特性，火焰的穩(wěn)態(tài)傳輸方程可以表示為

式中，T為微元體的溫度，單位為K;c1和c2為輻射常數(shù)，分別為3.7418×10—16W·m2和1.4388×10—2m·K;λ為火焰輻射光線的波長.

在進行火焰的三維重建時，需要將被測對象劃分為W個微元體，并依次編號為 (1，2，w，···，W)，光場相機的圖像探測器一共有M個子像素，依次編號為 (1，2，m，···，M).像素m的火焰輻射光線穿過n個微元體，沿著光線的傳輸方向依次編號為(w1，w2，wi，wj，···，wn)，將 (6) 式離散化得到 (8)式和(9) 式:

所有輻射光線的光譜輻射強度計算用 (10) 式的矩陣形式表示:

2.3 阻尼LSQR-LMBC 算法

在已知吸收系數(shù)的條件下，光場火焰圖像的三維溫度場重建問題屬于線性反問題.然而，在進行實際火焰的測量時，火焰的吸收系數(shù)等物性參數(shù)是未知的，溫度重建為線性問題和非線性問題的混合問題.為對實際火焰進行溫度場的計算，很多研究人員將非線性算法與線性算法相結(jié)合，如孫俊[29]提出非負最小二乘(Non-negative least squares，NNLS-LMBC)的混合算法，孫俊陽[30]提出Tikhonov-LMBC 的混合算法，這兩種算法都可以在火焰三維溫度場的重建過程中同時計算溫度和吸收系數(shù).本文使用阻尼LSQR-LMBC 混合算法對吸收系數(shù)未知的火焰進行三維溫度場重建.

阻尼LSQR 是在LSQR 的基礎(chǔ)上添加n個阻尼方程[31]，目的是為了解決LSQR 算法對初始值的依賴.(10) 式所示的溫度重建線性問題的目標函數(shù)如式(11)所示:

其中，m為像素點的個數(shù)，n為火焰劃分后的微元體的數(shù)目，I為單位矩陣，λ表示阻尼因子，是一個實常數(shù).再轉(zhuǎn)換為 (12) 式，結(jié)合Lanczos 迭代法利用最小二乘QR 分解算法進行求解[32]，當λ為0，阻尼LSQR 算法為常規(guī)標準的LSQR 算法，rIλ(m×n)-A(m×n)Ibλ為殘差向量.

阻尼LSQR-LMBC 混合算法的目標函數(shù)為

式中，函數(shù)均在單色(G)輻射強度的前提下進行計算，Iλ(G)為火焰輻射光線的單色輻射強度觀測值，為火焰輻射光線的單色輻射強度估計值.該算法的具體步驟如下:

1)根據(jù)目標函數(shù)采用的單色輻射強度，選擇性地將像素點的光線輻射強度Iλ(R)或者Iλ(G)輸入.選取單位向量或者隨機向量作為吸收系數(shù)的初值，這是因為LM 算法對初值沒有依賴性.對中間參數(shù)設(shè)置迭代次數(shù)k0，最大迭代次數(shù)為kmax300，v2，η2，吸收系數(shù)的向量為κκ0.然后對以下各參數(shù)進行計算，參數(shù)ω，r，g，Stp，μ分別為對稱矩陣、觀測值和估計值的差值向量、目標函數(shù)的梯度向量，循環(huán)終止指數(shù)和衰減系數(shù).式中參與計算的參數(shù)J和ωii分別表示函數(shù)關(guān)于變量κ的一階偏微分雅各比矩陣和矩陣ω對角元素:

2)根據(jù)設(shè)置的單位向量或者隨機向量的吸收系數(shù)初值κ對系數(shù)矩陣A進行計算.再通過阻尼LSQR 算法對火焰微元體的單色輻射強度Ibλ(G)進行計算:

3)利用已經(jīng)計算出的火焰溫度T和系數(shù)矩陣A，再通過 (15) 式對火焰光線的單色輻射強度值進行計算.

4)計算一階偏微分雅各比矩陣J，根據(jù)步驟1)中(14)式對ω、r、g進行計算，通過計算出的參數(shù)求解得到優(yōu)化步長 Δ (κ):

5)判斷計算的結(jié)果是否滿足 (17) 式所示的終止條件，如果滿足，則將循環(huán)終止指數(shù)Stp置為1，同時將運算進程轉(zhuǎn)到步驟8).反之，將 Δ (κ)疊加于κ得到新的吸收系數(shù)κnew，再將新的吸收系數(shù)投射到吸收系數(shù)的約束空間Q:

其中，l([l1，l2，···，lm]) 和u([u1，u2，···，um])分別為約束區(qū)間Q的下邊界和上邊界.

6)對迭代指數(shù)ρ進行計算，并判斷ρ是否大于零，當大于零時，轉(zhuǎn)入(20)式和步驟8)，反之，繼續(xù)往下執(zhí)行:

7)根據(jù) (20) 式對原吸收系數(shù)進行更新，再重復(fù)對ω，r，g進行計算，對ν 取值2，繼續(xù)對Stp和μ進行計算:

8)判斷終止指數(shù)是否滿足Stp0，同時判斷迭代次數(shù)是否滿足k＜kmax，如果滿足這些判斷條件，運算進程轉(zhuǎn)回步驟2)，反之，結(jié)束循環(huán)，進一步采用阻尼LSQR 算法對火焰的單色輻射強度Ibλ(R)進行計算，最后計算出火焰的溫度.

3 火焰溫度場重建實驗

3.1 數(shù)值仿真

根據(jù)火焰輻射光場成像模型，利用光線追跡對火焰輻射圖像進行成像模擬.本文采用 (21)和(22) 式火焰分布模型，其中，T為火焰溫度大小，單位為K，z為火焰的軸向坐標，r為火焰的徑向坐標.該模擬火焰符合火焰溫度分布特點，火焰底面半徑R和高度Z均為40 mm，火焰的溫度分布滿足旋轉(zhuǎn)對稱分布.得到的火焰溫度分布如圖2 所示，溫度最高能達到2100 K.光場相機的參數(shù)為:主透鏡焦距為50 mm，微透鏡焦距為0.6 mm，微透鏡陣列大小為60*60，每個微透鏡直徑上覆蓋6 個像素，像素尺寸為8 μm*8 μm，采用光場相機1.0模型，微透鏡放置在主透鏡一倍焦距處，圖像探測器放置在微透鏡一倍焦距處.火焰中心與主透鏡中心的距離為505 mm.微透鏡的數(shù)量決定了記錄的空間物點數(shù)，即空間分辨率，每個微透鏡覆蓋的像素數(shù)決定了記錄的光線方向數(shù)，即角度分辨率.圖像探測器與微透鏡的距離決定光場相機獲得的有效采樣輻射信息，一倍焦距處最低，這個參數(shù)主要和本文使用的實驗設(shè)備的相機模型一致.

圖2 模擬火焰中心切片溫度分布Fig.2.Temperature distribution of simulated flame center slice.

以相機主透鏡中心O作為原點，Y軸垂直于圖像探測器平面，X和Z軸平行于圖像探測器平面.沿Y方向?qū)δM火焰進行切層，每層間隔4 mm.根據(jù)光場成像模型，遍歷圖像探測器上像素的坐標，逆向定位火焰切片上的微元體坐標，將微元體坐標代入 (21) 式得到火焰不同切片的溫度值.根據(jù)(15) 式計算得到火焰微元體的單色輻射Ibλ，由模擬火焰的光線穿過微元體的數(shù)量和設(shè)定的吸收系數(shù)計算得到 (8) 式中的矩陣A，進而得到圖像傳感器上的火焰單色輻射強度圖，疊加RGB 三個通道的火焰圖像即可得到模擬光場火焰圖，如圖3所示.

圖3 模擬火焰光場輻射圖像Fig.3.Simulated flame light field radiation image.

分別利用LSQR 算法和阻尼LSQR 算法對火焰溫度場進行重建.重建結(jié)果如圖4 所示，重建時使用原始溫度疊加20%的白噪聲作為溫度初值，一至三行分別為原始火焰分層、使用LSQR 和阻尼LSQR 對火焰光場輻射圖像進行溫度重建得到的火焰溫度分布圖.從圖4 可以看出，這兩種算法均可以完成火焰的三維溫度重建.

圖4 QR 和阻尼LSQR 算法的火焰溫度場重建結(jié)果Fig.4.Flame temperature field reconstruction results of LSQR and damped LSQR algorithms.

LSQR 算法是一個對初值有一定依賴的算法[33]，初值的誤差對大型稀疏矩陣的求解的影響較為顯著，使計算效率變低，甚至無法收斂.為了定量分析LSQR 與阻尼LSQR 的重建精度，在原始溫度值上疊加了1%，5%，10%，15%和20%噪聲作為初值，從重建結(jié)果中提取了120 個采樣溫度點，將其與相對應(yīng)的原始溫度進行對比分析，如圖5 所示.

從圖5 可以看出，隨著初值疊加噪聲的增大，求解值與原始數(shù)據(jù)之間的差值也逐漸變大.在1%的噪聲水平下，LSQR 與阻尼LSQR 的重建誤差差距較小，而隨著噪聲的增大，二者的重建誤差差距開始變大，阻尼LSQR 的優(yōu)點逐漸凸顯.當在20%的噪聲水平下，LSQR 算法的重建誤差在130 K以內(nèi)，而阻尼LSQR 算法的重建誤差在90 K 以內(nèi).

圖5 不同噪聲水平下，LSQR 與阻尼LSQR 算法重建誤差對比 (a)初值疊加1%噪聲;(b) 初值疊加5%噪聲;(c) 初值疊加10%噪聲;(d) 初值疊加15%噪聲;(e) 初值疊加20%噪聲Fig.5.Comparison of reconstruction errors between LSQR and Damped LSQR algorithm under different noise levels:(a) Initial value superimposed 1% noise;(b) initial value superimposed 5% noise;(c) initial value superimposed 10% noise;(d) initial value superimposed 15% noise;(e) initial value superimposed 20% noise.

為進一步從整體上進行算法優(yōu)劣的對比，將得到的所有重建結(jié)果通過 (23) 式進行了相對誤差計算:

式中，T為使用重建算法重建出的微元體的溫度，Tset為使用 (21) 式設(shè)置的火焰的微元體的溫度，Δ T為相對誤差.得到的誤差對比結(jié)果如表1 所示.

表1 LSQR 與阻尼LSQR 溫度重建結(jié)果相對誤差對比表Table 1.Comparison of relative errors of temperature reconstruction results of LSQR and Damped LSQR.

通過重建結(jié)果可以看出，當初值疊加的噪聲較小時，阻尼LSQR 的略優(yōu)于LSQR.隨著疊加的噪聲逐漸增大，阻尼LSQR 比LSQR 算法更加穩(wěn)定，而LSQR 受初值的影響更大，因此阻尼LSQR 更適合大型稀疏矩陣的求解.孫俊[29]采取的NNLS算法和孫俊陽[30]采取的Tikhonov 算法均與LSQR算法進行了對比，雖然與本文的光場相機模型不同，其相對的性能提升仍具有參考價值.對于NNLS算法，隨著噪聲水平的提高，LSQR 求解結(jié)果中的負值越來越多，但NNLS 未出現(xiàn)負值，兩種算法重建結(jié)果的相對誤差十分接近，信噪比為20 dB 時，相對誤差在5%左右;信噪比為10 dB 時，相對誤差在20%左右，信噪比為5 dB 時，相對誤差在40%左右.NNLS 相對LSQR 提升在5%以內(nèi)，但NNLS的計算時長比LSQR 高了兩個數(shù)量級.對于Tikhonov算法，噪聲較小時，Tikhonov 正則化算法與LSQR算法重建結(jié)果的最大相對誤差基本一致.當信噪比達到10 dB 時，LSQR 算法重建結(jié)果的相對誤差在1.8%以內(nèi)，Tikhonov 正則化算法重建結(jié)果的相對誤差在1.2%以內(nèi)，相對提升了約50%.對于本文的阻尼LSQR 算法，當信噪比為13.86 dB 時，LSQR重建結(jié)果的相對誤差為14.58%，阻尼LSQR重建結(jié)果的相對誤差為10.99%，相對提升了32.7%.從計算時間上看，本文方法和LSQR 處于同一量級，計算的實時性對火焰來說也是一個比較重要的因素.

對于實際的火焰溫度測量，火焰的吸收系數(shù)等物性參數(shù)是未知的，因此利用阻尼LSQR-LMBC混合算法對模擬火焰輻射光場圖像的吸收系數(shù)和溫度同時重建.火焰以4 mm 的間隔對火焰進行分層，重建溫度分布如圖6 所示.圖中的火焰溫度分布圖可以正確的反映火焰的溫度趨勢特征，但是重建溫度的精度有待提高.

圖6 阻尼LSQR-LMBC 算法下重建的火焰溫度分布圖Fig.6.Flame temperature distribution reconstructed by Damped LSQR-LMBC algorithm.

為了進一步對重建結(jié)果進行分析，本文對重建后的前五層溫度進行誤差分析，將計算出的每一個微元體的溫度與相對應(yīng)的原始溫度進行相對誤差的計算，其結(jié)果如圖7 所示.

從圖7 可以看出，該算法的總體重建誤差在1.92%—17.2%之間.所有微元體的平均誤差為6.63%，因此該重建算法可以滿足高達2100 K 的火焰溫度重建.

圖7 阻尼LSQR-LMBC 算法重建的火焰溫度的相對誤差 (a) —16 mm 位置;(b) 火焰—12 mm 位置;(c) —8 mm 位置;(d) —4 mm位置;(e) 0 mm 位置Fig.7.Relative errors of flame temperature reconstructed by Damped LSQR－LMBC algorithm:(a) —16 mm position;(b) —12 mm position;(c) —8 mm position;(d) —4 mm position;(e) 0 mm position.

3.2 輻射強度標定

光場相機圖像傳感器在對火焰進行輻射信息采集時，輻射光線會先經(jīng)過光電轉(zhuǎn)換、模數(shù)轉(zhuǎn)換等過程再以灰度值的形式展示.因此，需要對光場相機的圖像傳感器進行輻射強度標定，建立灰度值與光線輻射強度之間的關(guān)系，進而保證重建溫度的準確度.實驗裝置如圖8 所示.使用的黑體爐是由英國愛松特公司生產(chǎn)的，型號為ISOTECH Cyclops Model 878，溫度最高可以達到1573.15 K，精度為0.1 K，輻射率為0.999.相機為一代傳統(tǒng)光場相機，型號為Lytro-Illum[34，35]，主透鏡焦距為40.11 mm，微透鏡焦距為48.38 μm，角度分辨率為15×15，空間分辨率為434×625.通過Lytro-Illum 光場相機拍攝得到的光場圖像為LFR 格式，其中包含了原始光場圖像和拍攝時的參數(shù)信息.解碼時首先根據(jù)相機自帶的白圖像標定微透鏡陣列的位置坐標，微透鏡下覆蓋的像素記錄了來自同一物點不同方向的光線，這些像素集合又被稱為宏像素.每個宏像素中相同坐標的像素點記錄相同方向的光線，提取記錄相同方向光線的像素，按照宏像素位置排列即可得到2D 單視角圖像.依次提取不同方向的單視角圖像，按照記錄的方向排列即可得到多視角圖像.

圖8 光場相機輻射強度標定實驗裝置圖Fig.8.Experimental deviceofradiation intensity calibration of light field camera.

為避免其他雜光對標定實驗產(chǎn)生影響，在黑暗條件下，通過黑體爐溫度從1098.15 K 開始，以25 K 的溫度間隔采集了8 組黑體輻射光場圖像，如圖9 所示.

普朗克定律指出，在黑體的條件下，在指定溫度下的輻射強度值可以通過 (24) 式計算:

式中，E(λ，T) 為波長λ處的光譜輻射強度值，ε(λ)為波長λ處的黑體發(fā)射率，取值為1，T為黑體的溫度值，c1，c2分別為第一輻射常數(shù)和第二輻射常數(shù)，其值大小分別為 3.74177×10-16W·m2和1.4387752×10-2m·K.

對光場圖像標定區(qū)域的灰度值進行提取，再分別將R，G，B通道的灰度值與輻射強度值進行曲線擬合，得到的擬合結(jié)果如 (25) 式—(27)式所示:

式中，IR，IG，IB分別為光場圖像的R，G，B通道下像素對應(yīng)的光譜輻射強度值，R，G，B分別為光場圖像的R，G，B通道下像素對應(yīng)的灰度值.光場輻射強度標定結(jié)果對應(yīng)的擬合曲線圖如圖10 所示.

圖10 光場圖像灰度值與輻射強度的標定擬合曲線圖Fig.10.Calibration fitting curve of gray value and radiation intensity of light field image.

3.3 實際火焰溫度重建

實際火焰的三維測溫裝置主要有光學(xué)平臺、光場相機以及火焰發(fā)生裝置等.將實驗器材固定在光學(xué)平臺上，通過光場相機對火焰進行圖像的采集.實驗裝置圖如圖11(a)所示，圖中的丁烷氣罐的燃燒火焰，火焰發(fā)生器的噴嘴直徑為20 mm.

在對火焰進行圖像采集時，要記錄火焰與相機之間的距離，并且保證火焰處于空氣流動很微弱的暗室實驗環(huán)境中.同時，需要合理控制相機的曝光時間，確保采集到的火焰圖像像素灰度值不會出現(xiàn)曝光過度，降低曝光不足帶來的影響.通過光場相機采集的丁烷火焰輻射光場圖像如圖11(b)所示，火焰與光場相機之間的距離為15 cm.

圖11 燃燒火焰實驗圖 (a) 實驗裝置;(b) 丁烷火焰輻射光場Fig.11.Experimental diagram of combustion flame:(a) Experimental device;(b) light field of butane flame radiation.

根據(jù)相機與火焰之間的距離以及相機內(nèi)部的參數(shù)等已知數(shù)據(jù)，利用 (1) 式— (5) 式所示的雙平面參數(shù)法將光場輻射圖像的方向信息轉(zhuǎn)換為三維空間的火焰位置信息.得到火焰的三維位置信息后使用微元體分割方法對火焰進行網(wǎng)格劃分.通過輻射標定結(jié)果將圖像灰度值幻化為輻射強度值，再利用阻尼LSQR-LMBC 混合算法對火焰的吸收系數(shù)和溫度同時重建，結(jié)果如圖12 所示.

圖12 丁烷火焰三維溫度重建后的不同層溫度分布圖Fig.12.Temperature distributions of different layers after three-dimensional temperature reconstruction of butane flame.

由丁烷發(fā)生器的噴嘴大小可知火焰的最大直徑為20 mm，圖中將火焰在2 mm，4 mm，6 mm，8 mm，10 mm，12 mm，14 mm，16 mm，18 mm處進行豎直切片得到的各層溫度，其中10 mm 處的溫度分布圖為火焰的中心層.由于該火焰近乎旋轉(zhuǎn)對稱，因此火焰在12 mm，14 mm，16 mm，18 mm處的溫度分布圖分別與8 mm，6 mm，4 mm，2 mm處的溫度分布圖近乎一致.圖中重建火焰的最高溫度在1400 K 左右，不超過1500 K.從10 mm 層的溫度分布圖中可以看出，火焰滿足焰心、內(nèi)焰和外焰的溫度分布趨勢.外圍的溫度會出現(xiàn)低溫度區(qū)域的原因是由于火焰的溫度出現(xiàn)流失，擴散到了低溫的空氣中，這也是2 mm 和18 mm 處的溫度較低的原因.而8 mm 與12 mm 處的火焰切片的較大區(qū)域為內(nèi)焰和外焰，火焰較為明亮，溫度也較高.6 mm 與14 mm 處的火焰溫度切片的面積已經(jīng)明顯變小，外焰和內(nèi)焰的混合使得火焰的溫度較高.4 mm 和16 mm 處的火焰溫度已經(jīng)逐步擴散到空氣中，溫度也有所降低.綜上，重建的丁烷火焰的三維溫度場分布符合基本輻射火焰燃燒的特征.

為進一步對重建結(jié)果進行準確度驗證，使用熱電偶對火焰進行定點測溫，裝置如圖13(a)所示.選取不同位置的特征點進行測溫，測溫點的選取如圖13(b)所示.熱電偶在測量時，其測量點和周圍環(huán)境之間存在輻射換熱和對流換熱，從而導(dǎo)致產(chǎn)生熱損失，為了減小引起的測量誤差，需要使用 (28)式對測量結(jié)果進行修正[36]:

圖13 使用熱電偶測量丁烷火焰溫度 (a) 熱電偶測溫實驗圖;(b) 熱電偶定點測溫位置圖Fig.13.Measurement of butane flame temperature using thermocouples:(a) Thermocouple temperature measurement experiment diagram;(b) location diagram of thermocouple fixed-point temperature measurement.

式中，T表示修正后的溫度值;Tc和Ts分別為測量的原始溫度和實驗環(huán)境溫度，實驗時室溫控制在293.15 K 左右;ε表示熱電偶探頭發(fā)射率，實驗中使用的是K 型熱電偶，數(shù)值為0.89;σ表示斯蒂芬-玻爾茲曼常數(shù)，數(shù)值為5.67×10—8W/(m2·K4);hc表示對流換熱系數(shù)[29].

將重建溫度和熱電偶修正溫度進行比對，如表2 所示.

從表2 可以看出，重建溫度與熱電偶的測溫數(shù)據(jù)基本一致.其中測量偏差的平均值為76 K 左右，最大偏差約為89 K.測溫誤差控制在6.8%左右，因此本研究的重建方案的測溫精度滿足火焰的測溫標準.

表2 阻尼LSQR-LMBC 重建溫度與熱電偶修正溫度對比表Table 2.Comparison of DampedLSQR-LMBC reconstruction temperature and thermocouple correction temperature.

4 結(jié)論

1) 本文針對經(jīng)典算法LSQR 在求解火焰三維溫度場時對初值依賴大的問題，通過添加阻尼正則化項，提高了火焰三維溫度場的抗噪性能，仿真結(jié)果表明:在較低的噪聲水平下，這兩種算法的重建誤差基本一致，當噪聲較大時，阻尼LSQR 算法的重建精度比LSQR 算法高30%左右.鑒于實際火焰的吸收系數(shù)未知，使用阻尼LSQR-LMBC 算法對吸收系數(shù)該火焰進行數(shù)值計算，實驗結(jié)果表明:火焰重建的相對誤差在1.92%—17.2%之間，平均誤差低于7%.證明了阻尼LSQR-LMBC 算法可以同時重建火焰的吸收系數(shù)和溫度.

2) 開展了實際火焰溫度重建實驗研究.搭建了光場成像的火焰三維溫度場重建的實驗平臺，標定了光場相機圖像傳感器的輻射強度，對丁烷火焰的三維溫度進行重建，并將熱電偶的測量結(jié)果作為參考火焰溫度，將其與重建后的結(jié)果進行對比分析和精度評價.結(jié)果表明:火焰重建的溫度與熱電偶測量的溫度基本一致，平均偏差均低于100 K，重建誤差在6.8%左右，