凡勝富

(安徽省阜陽市第三中學(xué),236000)

問題是數(shù)學(xué)的心臟,也是引發(fā)學(xué)生思考和探究的源動(dòng)力.課堂中有了問題,學(xué)生在好奇心驅(qū)使下才能真正激發(fā)思維,實(shí)現(xiàn)知識的邏輯結(jié)構(gòu)向?qū)W生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化.因此,在教學(xué)過程中,我們可依據(jù)教學(xué)目標(biāo)將教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)成一系列問題,將這些問題由淺入深、由易到難、合理設(shè)計(jì)、適時(shí)呈現(xiàn),導(dǎo)引學(xué)生通過問題的思考和探究來實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).本文以“利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在” 的教學(xué)為例,談?wù)劰P者的粗淺體會,和同行交流.

一、教學(xué)過程實(shí)錄

1.創(chuàng)設(shè)情境,提出問題

師:前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、性質(zhì)和幾個(gè)特殊的函數(shù),對函數(shù)已經(jīng)有了初步的了解,這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)函數(shù)的一些用途.先看一個(gè)和函數(shù)關(guān)系最密切的方程問題:(多媒體演示)

引例判斷下列方程是否有實(shí)數(shù)解.

(1)x-1=0； (2)x2-3x+2=0.

請大家說說自己是怎么判斷出結(jié)果來的.

生1:利用公式解方程求得.

生2:也可以畫出y=x-1,y=x2-3x+2的圖象與x軸的交點(diǎn)得到.

師:好!請繼續(xù)看下題:(3)2x+x-5=0 (學(xué)生不知所措)

師:大家判斷不出來這很正常,因?yàn)檫@個(gè)方程不是我們所熟悉的方程,沒有公式可以用,也畫不出圖象判斷,利用我們目前的知識并不能解決所有方程解的問題.

請大家和我一起了解一下方程求解的發(fā)展歷程:

在2010年第六期《科學(xué)》雜志中有一篇為紀(jì)念華羅庚誕辰100周年的文章——一元五次方程求解的往事.該文介紹了早在16世紀(jì),數(shù)學(xué)家就已經(jīng)解決了一次,二次,三次和四次方程的一般性解法,在隨后的三百多年里,方程解法的發(fā)展停滯了,直到19世紀(jì)挪威年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾成功地證明了五次以上一般方程沒有根式解,這就是方程求解的發(fā)展史.

師:這節(jié)課就來彌補(bǔ)一下我們目前知識的欠缺.(引入課題)

設(shè)計(jì)意圖由學(xué)生熟悉的方程推進(jìn)到一個(gè)本身不能求解的方程,造成學(xué)生的認(rèn)知沖突,同時(shí)借助方程發(fā)展史極大地吸引學(xué)生探究新知的興趣,激發(fā)學(xué)生的求知欲望.情境的創(chuàng)設(shè),既自然滲透數(shù)學(xué)文化,揭示學(xué)習(xí)本節(jié)課的必要性,又有效激活學(xué)生的思維,對當(dāng)前現(xiàn)象達(dá)到理解性認(rèn)識,為下面的探究奠定良好的認(rèn)知基礎(chǔ).

2.實(shí)驗(yàn)探究,解決問題

問題1如何在沒有求解公式的背景下判斷方程是否有解?

師:在遇到難以解決的問題時(shí),我們通常會回到已經(jīng)會處理的問題,由此入手去發(fā)現(xiàn)新問題的解決辦法和一些規(guī)律.好,讓我們再回到剛才已經(jīng)解決的兩個(gè)方程問題.

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)1一元一次方程x-1=0和相應(yīng)的一次函數(shù)f(x)=x-1的圖象有何關(guān)系?

生3:如圖1,一元一次方程的根是對應(yīng)的一次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)2一元二次方程x2-3x+2=0和相應(yīng)的二次函數(shù)f(x)=x2-3x+2的圖象有何關(guān)系?

生4:如圖2,一元二次方程的根就是對應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

師:請同學(xué)們思考對于一般的函數(shù)(高次函數(shù),指對數(shù)函數(shù)等)與對應(yīng)方程是否也有上述的結(jié)論成立呢?我們繼續(xù)來看引例中第3個(gè)方程.

設(shè)計(jì)意圖以問題激發(fā)學(xué)生思考,學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn),體會深刻,自然地得到函數(shù)和方程關(guān)系的初步認(rèn)識,通過實(shí)驗(yàn)也可以直觀感悟概念形成之中隱藏的數(shù)學(xué)思想,有利于全面、深刻地理解概念的本質(zhì).

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)3判斷方程 2x+x-5=0是否有解?

(師生互動(dòng):現(xiàn)場在幾何畫板下展示函數(shù)的圖象)

師:經(jīng)過以上三個(gè)實(shí)踐活動(dòng),問題1得到解決方案:通過作出方程所對應(yīng)函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象與x軸是否有交點(diǎn)加以判別.看來我們需要引入新的定義來解決這類問題了.

設(shè)計(jì)意圖再一次體會方程的根是對應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).將結(jié)論推廣到一般,為零點(diǎn)概念做好鋪墊.

3.抽象概括,形成概念

定義我們把函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

師:對于這個(gè)定義,我們可以從兩個(gè)角度來刻畫:數(shù)和形的角度,你能說說你對方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)三者之間關(guān)系的理解嗎?

生5:它們之間具有如下等價(jià)關(guān)系:

方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根

?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)

?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)

上述關(guān)系提供了一個(gè)通過函數(shù)性質(zhì)確定方程解的途徑,函數(shù)的零點(diǎn)就是相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)解.

設(shè)計(jì)意圖(1)引導(dǎo)學(xué)生得出零點(diǎn)的三個(gè)重要的等價(jià)關(guān)系,體現(xiàn) “化歸”和“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想;(2)強(qiáng)調(diào)求函數(shù)零點(diǎn)的方法.

4.合作交流,探究結(jié)論

師:大家在計(jì)算機(jī)的幫助下,可以判斷(即使不會畫出相應(yīng)函數(shù)的圖象)方程有沒有解的問題.請繼續(xù)思考:

問題2沒有計(jì)算機(jī)輔助,如何判斷方程是否有解呢?請看下面的幾個(gè)小問題:

(1)觀察f(x)=x-1的圖象,此函數(shù)在區(qū)間[0,2]上有沒有零點(diǎn)?計(jì)算f(x)=x-1在區(qū)間[0,2]的兩個(gè)端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值f(0)和f(2)的乘積,你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)乘積有何特點(diǎn)?

生6:有零點(diǎn),因?yàn)楹瘮?shù)圖象是不間斷的且f(0)f(2)<0.

(3)觀察f(x)=2x+x-5的圖象,此函數(shù)在區(qū)間[1,2]上有沒有零點(diǎn)?

生8:根據(jù)解決前兩個(gè)問題的經(jīng)驗(yàn)判斷,函數(shù)f(x)=2x+x-5的圖象也是不間斷的,且f(1)f(2)<0,所以函數(shù)在[1,2]有零點(diǎn).

師:通過以上3個(gè)小問題的理解,對于連續(xù)函數(shù),我們可以人為地選擇一個(gè)區(qū)間,使區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值異號,進(jìn)而使問題2得以解決.

設(shè)計(jì)意圖先從一個(gè)已研究過的、簡單的函數(shù)入手,引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象,通過計(jì)算、觀察、比較可以知道函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值乘積的情況與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn)之間有一定的關(guān)系，為歸納函數(shù)零點(diǎn)存在的條件做好鋪墊.

師:綜上,我們可以得到如下結(jié)論:

零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.

追問1y=f(x)不是連續(xù)函數(shù)時(shí)結(jié)論還成立嗎?請舉例說明.

追問2若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),一定有f(a)f(b)<0嗎?

生10:也不一定,比如f(x)=x2在區(qū)間[-1,1]有零點(diǎn),但是f(-1)f(1)>0.

追問3若f(a)f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)嗎?

師:很好!同學(xué)們對這個(gè)定理的理解比較透徹,這也是我們需要注意的地方.下面我們就一起來看它的應(yīng)用.

設(shè)計(jì)意圖通過追問,使學(xué)生準(zhǔn)確理解零點(diǎn)存在性定理和三個(gè)注意點(diǎn):(1)函數(shù)是連續(xù)的;(2)定理不可逆;(3)至少存在一個(gè)零點(diǎn).

5.遷移應(yīng)用,深化理解

例1已知函數(shù)f(x)=3x-x2，試問方程f(x)=0在區(qū)間[-1,0]有沒有實(shí)數(shù)解?

例2判定(x-2)(x-5)=1有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)解,且有一個(gè)大于5,一個(gè)小于2.

設(shè)計(jì)意圖對概念的理解是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程,學(xué)生要經(jīng)過一系列練習(xí)才能把前面的探究活動(dòng)中獲得的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)方法真正領(lǐng)悟，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對概念的作用和價(jià)值的認(rèn)識，理解知識之間的內(nèi)部聯(lián)系,建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

師:有了以上兩個(gè)例子對定理的應(yīng)用和理解,請大家繼續(xù)思考.

問題3利用零點(diǎn)存在性定理來判斷零點(diǎn)問題有沒有缺陷?

(學(xué)生分析交流討論,得出結(jié)論)

生12:(1)無法判斷零點(diǎn)的具體個(gè)數(shù);(2)端點(diǎn)的函數(shù)值同號時(shí)不能判斷函數(shù)在此區(qū)間有沒有零點(diǎn).

師:那么，如何解決此問題呢?留置下節(jié)課解決.

設(shè)計(jì)意圖在互相交流、對話合作的數(shù)學(xué)活動(dòng)中,學(xué)生積極思考、主動(dòng)理解,同時(shí)充分暴露他們理解上的缺陷.教師的適時(shí)點(diǎn)撥,又可以引導(dǎo)學(xué)生重新思考一些理解不到位的知識,由此加深對概念的認(rèn)識,同時(shí)又為下節(jié)課埋下伏筆.

二、教學(xué)啟示

1.從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)設(shè)計(jì)問題

美國心理學(xué)家布魯納指出:“教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動(dòng),思維永遠(yuǎn)是從問題開始.”在課堂教學(xué)中,我們要從學(xué)生現(xiàn)有的知識水平和經(jīng)驗(yàn)出發(fā),設(shè)計(jì)出學(xué)生經(jīng)過努力可以解決的問題.本節(jié)課中筆者從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),對問題1與問題2都分層設(shè)計(jì)了3個(gè)小問題,層層遞進(jìn),問題驅(qū)動(dòng),較好地完成了教學(xué)目標(biāo),收到了很好的教學(xué)效果.

2.在新舊知識銜接點(diǎn)上設(shè)計(jì)問題

新知識都是從舊知識發(fā)展而來的,新舊知識之間既有相通的地方,又有不同之處,而這種不同點(diǎn)往往正是知識的發(fā)展和提高.所以教學(xué)要抓住新舊知識間的銜接點(diǎn),設(shè)計(jì)出有效的問題,引起學(xué)生的認(rèn)知沖突,激發(fā)學(xué)生的探究和興趣.本節(jié)課從情境設(shè)置到問題1、問題2的提出都引起了學(xué)生的認(rèn)知沖突,學(xué)生的主動(dòng)參與,增添了教學(xué)的色彩.

3.依托知識聯(lián)系和順序結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題

數(shù)學(xué)思維的核心是邏輯思維,教師提出的問題也要具有邏輯性,在層層遞進(jìn)中體現(xiàn)出知識的內(nèi)在聯(lián)系.設(shè)計(jì)的問題既要反映知識生成背景,又要符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律和知識的形成規(guī)律.只有問題間自然過渡,才能使學(xué)生的思維延續(xù),更容易激發(fā)學(xué)生思維的興奮點(diǎn).本節(jié)課通過問題的引領(lǐng)發(fā)現(xiàn)可以利用函數(shù)圖象來解決一些方程解的問題,但有些函數(shù)圖象又畫不出來形成認(rèn)知沖突,自然聯(lián)想利用電腦軟件畫圖處理,再通過設(shè)問避開軟件畫圖如何判斷方程的解.問題間過渡自然,易激發(fā)學(xué)生思考.

4.圍繞學(xué)生思維發(fā)展設(shè)計(jì)問題

教學(xué)實(shí)踐證明,并不是所有的問題都能引起學(xué)生思考,那種僵化的、形式的“呈現(xiàn)式”的問題只能使學(xué)生產(chǎn)生應(yīng)付性的回答,并不能啟發(fā)學(xué)生的思考.問題過大、過難,會造成學(xué)生無從下手,教師啟而不發(fā)；問題過小、過碎,學(xué)生思維量小,失去探究發(fā)現(xiàn)的意義.所以,要根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容,設(shè)計(jì)出層次分明的問題,激發(fā)學(xué)生的思考,使學(xué)生通過對問題的探究,揭示問題的本質(zhì),領(lǐng)悟問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.