賀德光

(湖南省衡東縣第一中學(xué),421400)

若把A2+B2≠0時平面直角坐標(biāo)系中的向量n=(A,B) 叫做直線l:Ax+By+C=0的一個“法向量”,那么我們就可按文[1]的思路方法將點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行細(xì)化.

=Ax0+By0-Ax1-By1.

綜上，可得

評注以上點(diǎn)到直線的距離公式之細(xì)化結(jié)論,在沒有學(xué)習(xí)“平面直角坐標(biāo)系中二元一次不等式表示平面區(qū)域”的情況下能起到積極的作用.例如下述高考題第(2)問,就可以用該結(jié)論1來解決.

(1)求C1,C2的方程;

(2)過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB,M為AB的中點(diǎn).當(dāng)直線OM與C2交于P,Q兩點(diǎn)時,求四邊形APBQ面積的最小值.

又xi=myi-1(i=1,2),故|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=mx1+2y1-(mx2+2y2)=(m2+2)(y1-y2),于是

從而四邊形APBQ的面積

而0<2-m2≤2,故當(dāng)m=0時,四邊形APBQ的面積取最小值2.

評注借鑒前面點(diǎn)到直線距離公式的細(xì)化過程,結(jié)合例1(2)的解答過程,不難推證得如下結(jié)論.

結(jié)論2若點(diǎn)P(x1,y1)與Q(x2,y2)位于直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的兩側(cè),則(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.

例2在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l過點(diǎn)P(-1,2),且與以A(-2,-3),B(3,0)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn),求直線l斜率的取值范圍.

教材的資源是無窮無盡、豐富多彩的.以上結(jié)果表明,只要我們靜下心來細(xì)心研究,會有許多數(shù)學(xué)的奧秘被挖掘出來,我們的視野也會因此而變得更加廣闊、深遠(yuǎn).