劉錦濤, 何 明, 羅 玲, 柳 強, 禹明剛

(陸軍工程大學(xué)指揮控制工程學(xué)院, 江蘇 南京 210007)

0 引 言

無人機集群是由一定數(shù)量的無人機共同組成,以交感網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ),整體具有能力涌現(xiàn)特點的空中移動多智能體系統(tǒng)。相比于追求將所有功能集成于一身的傳統(tǒng)飛行器,無人機集群具有多智能體系統(tǒng)的諸多優(yōu)點,如感知與執(zhí)行的分布式與并行性、冗余性、容錯性、單個成本的低廉性及整體功能的涌現(xiàn)性。尤其是近年來隨著計算機技術(shù)、無線移動網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、控制技術(shù)、多智能系統(tǒng)理論、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的迅猛發(fā)展,以協(xié)同飛行控制為核心的無人機集群已成為飛行器發(fā)展的新趨勢。當(dāng)前,各軍事強國普遍認(rèn)為無人機集群作戰(zhàn)將是未來顛覆性的作戰(zhàn)樣式,也是通信、網(wǎng)絡(luò)、控制和機器人等學(xué)科重要的研究方向。

傳統(tǒng)的無人機指揮控制多采用集中控制模式,指揮控制站收集一個或多個無人機數(shù)據(jù),運行相應(yīng)算法并將命令發(fā)送回執(zhí)行器。雖然集中控制在理論上可以達到最優(yōu)的系統(tǒng)性能,但考慮到射頻無線電通信易受干擾以及通信隱蔽性等限制,這種策略在軍用無人機集群中是難以滿足的,另外計算資源、通信帶寬、控制延遲等限制,也是制約集中控制模式的因素。所以無人機之間只能使用局部信息(可通過視覺系統(tǒng)、近距離紫外光通信獲得周圍無人機的信息)。因此,分布式控制策略是更實際的解決方案。相對于集中控制模式,它基于局部信息以及本地控制器的計算可實現(xiàn)次優(yōu)性能,優(yōu)點是具有更高的魯棒性和可行性。此時,地面指揮控制站只需要選擇無人機群的一小部分甚至其中一架作為領(lǐng)導(dǎo)者,對其實施直接控制,而其他無人機則通過無人機之間的協(xié)同規(guī)則實現(xiàn)間接控制。

蜂群中只需要少量的個體(5%)就能引導(dǎo)整個群體飛到新的巢穴中,受此啟發(fā),有學(xué)者提出了牽制控制的集群控制方法。牽制控制方法對于無人機集群、無人車集群等工程系統(tǒng)具有非常好的應(yīng)用價值,通過向集群部分節(jié)點發(fā)布控制指令并采用牽制控制方法,可引導(dǎo)集群朝著預(yù)定的目標(biāo)運行。早在2006年,Olfati-Saber構(gòu)建了比較完整的蜂擁控制算法框架,設(shè)計了有領(lǐng)導(dǎo)者、無領(lǐng)導(dǎo)者和障礙環(huán)境中的蜂擁控制算法。不足之處是Olfati-Saber方法假設(shè)所有成員都能獲取虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的位置和速度信息,這其實需要全局通信,在實際過程中是難以實現(xiàn)的。在隨后的研究表明,當(dāng)只有一小部分節(jié)點被告知虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)時,蜂擁控制也是可以實現(xiàn)的,即可以通過牽制控制實現(xiàn)集群的蜂擁控制。通過這種方式,不知情的成員可以由知情的成員驅(qū)動,因此集群只需要更少的通信成本。但是文獻[8]沒有提供牽制節(jié)點選擇算法,也沒有給出應(yīng)該通知哪些節(jié)點的明確規(guī)則。在牽制控制節(jié)點選取方面,最少節(jié)點集合的選取是一個NP-hard問題,目前尚無最少控制節(jié)點集的直接求解方案。分布式控制系統(tǒng)的性能不僅取決于本地控制參數(shù),還取決于牽制節(jié)點的選擇以及控制網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。當(dāng)無人機集群處于某一個確定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時,為了找到一個數(shù)量最少的輸入控制節(jié)點集合實施控制,使整個系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)可控的,是近年來研究的一個熱點問題。

本文通過分析蘊含圖的結(jié)構(gòu)特性的Laplace矩陣的譜,尤其是,其大小直接反映了圖連通性、魯棒性甚至是集群分布協(xié)同控制的收斂性。通過施加牽制控制,進一步將Laplace矩陣變?yōu)樵鰪VLaplace矩陣。通過估計的特征值的大致范圍以及牽制控制造成特征值的變化趨勢,可以初步得到牽制控制對系統(tǒng)的收斂性影響。

1 基于矩陣譜的分析方法

Laplace矩陣的譜包含有關(guān)圖的結(jié)構(gòu)特性的信息,包括它的連接性(用不等式表示)和生成樹的個數(shù)(用恒等式表示),當(dāng)增加或刪除邊時,Laplace矩陣的譜同樣會隨著圖形的結(jié)構(gòu)變化而變化。尤其是的大小直接反映了圖連通的魯棒性,甚至是集群分布協(xié)同控制的收斂性。

相關(guān)研究有,文獻[16]提出了一種基于鄰接矩陣譜的子圖中心性度量方法。文獻[17]提出了一種基于譜的中心性度量方法,對節(jié)點在牽制控制中的重要性進行評價并排序。文獻[18]提出擾動策略的節(jié)點刪除方法,通過一定順序刪除節(jié)點以增大圖的譜間隙(即第1個Laplace矩陣的最小特征值)以增強網(wǎng)絡(luò)的一致性和收斂性能。在文獻[19]引入了一種新的度量方法,根據(jù)節(jié)點從網(wǎng)絡(luò)中移除時對網(wǎng)絡(luò)同步性產(chǎn)生的影響對節(jié)點進行排序。

文獻[20]定義同步指數(shù)為

(1)

式中:是Laplace矩陣的特征值比,即最大特征值除以第二小特征值。特征值比越小,網(wǎng)絡(luò)的同步性能越好。另外,該方法只需要求解Laplace矩陣的兩個特征值,計算簡單。

定義Laplace矩陣最大特征值和第二小特征值的變化為

(2)

進一步地將節(jié)點的移除所引起的變化表示為

(3)

值得注意的是,由于遠比大,因此Δ受Δ的影響要遠大于Δ。因此,當(dāng)刪除一個節(jié)點,如果對Δ的影響最大,通常對Δ的影響也將是最大的。

從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中刪除一個節(jié)點可以建模為刪除Laplace矩陣的相關(guān)行和列,以及減少對角項中代表其他節(jié)點與此節(jié)點相連接的數(shù)目。對于大規(guī)模網(wǎng)絡(luò),單個節(jié)點的移除,這種擾動幾乎可以忽略不計。因此,通過去除Laplace矩陣的第行和第列來近似去除節(jié)點的效果。如果去掉該節(jié)點而引起的Δ值很小,認(rèn)為該節(jié)點對網(wǎng)絡(luò)的同步性不太重要。Laplace矩陣的同步指數(shù),是表征網(wǎng)絡(luò)同步性的一個重要指標(biāo),同步指數(shù)越小,網(wǎng)絡(luò)的同步性能越好。同步指數(shù)越小表明Laplace矩陣最大特征值和次小特征值 的比值很接近于1,進而表明Laplace矩陣的所有特征值幾乎都相等。

2 系統(tǒng)模型

2.1 無人機集群動力學(xué)模型

圖論和矩陣論是對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進行定量分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),為了進一步從數(shù)量的角度描述無人機集群行為,基于圖論框架進行建模分析,是當(dāng)前最為簡潔有效的分析方式,再進一步將圖模型轉(zhuǎn)換為矩陣方程,可以建立起復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與控制理論諸多聯(lián)系。

本文主要考察通信拓?fù)鋵o人機集群控制的影響,如圖1所示,假設(shè)無人機集群包含,,…,,架無人機,它們具有有限范圍的感知區(qū)域。(通常無人機之間通過無線通信進行信息交流,也可以通過機載雷達、視覺等傳感器獲取周圍無人機狀態(tài)信息,如文獻[22]在無線電靜默條件下,通過使用視覺傳感器實現(xiàn)了蜂擁飛行。)將單個無人機抽象為一個節(jié)點,無人機之間的交互抽象為節(jié)點之間的連線,如圖1中實線所示。另假設(shè)黑色方塊為地面指揮控制站,且僅與部分無人機聯(lián)絡(luò)通信,如圖1中虛線所示。所有無人機節(jié)點組成一個頂點集={,,…,},假定無人機通信鏈路是雙向的,將它們之間的聯(lián)系抽象為邊。定義邊集合,如果{,}存在連接關(guān)系則{,}∈?[]。最終,無人機集群可抽象為一個無向無環(huán)簡單圖={,,}。指揮控制站向集群發(fā)布控制指令為虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的位置與速度,引導(dǎo)無人機集群飛往預(yù)定目標(biāo)。

圖1 無人機集群的圖映射Fig.1 Graph mapping of unmanned aerial vehicle swarm

不失一般性,忽略無人機自身動力學(xué)特性,將無人機抽象為三維運動的質(zhì)點。

考慮個無人機工作在維歐幾里得空間上,其質(zhì)點運動學(xué)方程為

(4)

式中:,,∈分別為無人機的位置向量、速度向量和加速度向量,=1,2，…,。

時刻無人機集群構(gòu)成的無向圖()由節(jié)點和邊組成,其中節(jié)點集合用={1,2，…,}表示,邊的集合用()={(,)∈×,∈()}表示。設(shè)是無人機集群的感知半徑,期望距離為,則無人機鄰域定義為

(5)

無人機集群網(wǎng)絡(luò)可以使用Laplace矩陣表示。Laplace矩陣定義為

(6)

式(6)中,僅當(dāng)∈,=1,否則=0。

滿足下列平方和性質(zhì):

(7)

為避免個體間發(fā)生碰撞,規(guī)定無人機集群系統(tǒng)的期望演化目標(biāo)為

‖-‖=, (,)∈;<

(8)

并將式(8)命名為-lattices系統(tǒng)。但由于個體之間的吸引力和排斥力的相互作用,會導(dǎo)致難以達到理想的-lattices,最終演變?yōu)?/p>

-+≤‖-‖≤+, (,)∈

(9)

式(9)被稱為類-lattices系統(tǒng)。

2.2 控制器設(shè)計

設(shè)時刻控制輸入為

(10)

(11)

式中:=sign(-)為期望間距控制項。當(dāng)期望距離=0時,式(11)由蜂擁問題退化為二階一致性問題。將sign函數(shù)按照坐標(biāo)進行分解。

(12)

式中：∈為時刻虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的速度向量;()是與牽制節(jié)點的選擇和時間相關(guān)的參數(shù),時刻()的數(shù)學(xué)表示為

=diag(,,…,)

定義增廣Laplace矩陣

=+k

(13)

無向圖初始狀態(tài)(0)是連通的。若初始狀態(tài)不是連通的,分為個子網(wǎng),則每個子網(wǎng)至少有一個牽制點,可得到相同的結(jié)論。

初始狀態(tài)無碰撞。

虛擬領(lǐng)導(dǎo)者速度固定。

考慮一個無人機集群運動方程如式(1)所示,控制輸入如式(6)所示,則任取一個或多個節(jié)點作為牽制節(jié)點,均有:

(1) 所有無人機相對位置最終會趨向lattices;

(2) 所有無人機速度會趨向虛擬領(lǐng)航者速度()(對文獻[25]速度一致性證明的改進);

(3) 無人機之間不會發(fā)生碰撞;

(4) 牽制節(jié)點位置會趨向虛擬領(lǐng)航者位置()(對文獻[26]位置結(jié)論的拓展)。

3 牽制點對系統(tǒng)特征值的影響

通過分析蘊含圖的結(jié)構(gòu)特性的Laplace矩陣的特征值,尤其是,其大小直接反映了圖連通性、魯棒性甚至集群分布協(xié)同控制的收斂性。通過施加牽制控制,進一步地將Laplace矩陣變?yōu)樵鰪VLaplace矩陣,如式(13)所示。通過估計的特征值的大致范圍以及牽制控制造成特征值的變化趨勢,可以初步得到牽制控制對系統(tǒng)的收斂性影響。

3.1 特征值分析

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

由于≠,即無人機之間不重疊時,有

(20)

故可將()視為常值小擾動。

可得

(21)

式中:=1,2, …,。

(22)

(23)

圖2 μ對根軌跡實部的影響Fig.2 Effect of μ on the real part of the root locus

使用Matlab Symbolic Math Toolbox計算得:

圖3 λi與μ,,之間的關(guān)系Fig.3 Relationship between λi and μ,,

對于強連通網(wǎng)絡(luò),每增加一個牽制控制節(jié)點或提高控制增益都可以提升系統(tǒng)的可控性。

在文獻[27]中提出一種基于左Perron向量的控制策略,但需要反復(fù)迭代計算+k的特征值和特征向量,由于特征值求解計算量大,實際工程中比較困難?？墒褂锰卣髦禂z動的方法對最優(yōu)牽制點進行近似求解。

對于一階一致性問題,當(dāng)不施加牽制控制時,由于Laplace的最小特征值為0,導(dǎo)致無人機集群最終收斂的平衡態(tài)不一定為0,取決于無人機集群初始狀態(tài)的平均值,其第二小的特征值決定一致性收斂速度。當(dāng)施加牽制控制后,由于系統(tǒng)最小特征值小于零,平衡態(tài)最終收斂至牽制點的狀態(tài)。

3.2 最小特征值范圍估計

分析最小特征值的范圍有助于直觀了解系統(tǒng)的可控性以及動態(tài)性能,接下來用矩陣最小特征值相關(guān)結(jié)論對的最小特征值進行估計。

首先介紹以下矩陣定義。

()為的最小特征值。

矩陣：非對角元素均為非正數(shù)的實數(shù)方陣。={=()∈×:≤0 if≠,(,=1,…,)}。

矩陣:如果非奇異矩陣∈,且的所有特征值均為正,則矩陣稱為矩陣。

由引理1得,為正定陣,則為矩陣,∈。

估計矩陣的最小特征值的范圍是矩陣?yán)碚撝幸粋€重要的課題,目前已有了許多取值范圍日趨精確的研究成果。另外,在實際應(yīng)用中除了估計精度外,還需要考慮計算的可行性和便捷性,根據(jù)文獻[34],()在以下范圍:

(24)

式中:

(25)

由于為Laplace矩陣,則有()=0,()=max()。

0<()≤min(max(),min())

令=()∈,=(),可得

(26)

4 仿 真

圖4 無人機集群初始狀態(tài)Fig.4 Initial state of unmanned aerial vehicle swarm

將整個無人機集群系統(tǒng)視為一個整體進行分析,定義集群中心(center of mass, CoM)的位置與速度為所有無人機的位置和速度的平均值:

(27)

定義CoM與虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的跟蹤誤差為

(28)

定義多智能整體速度跟蹤誤差為

(29)

定義歸一化的平均速度為

(30)

無人機集群運動軌跡如圖5所示,不同時刻無人機集群狀態(tài)如圖6所示,無人機集群跟蹤速度誤差、分量收斂情況分別如圖7、圖8所示。無人機集群系統(tǒng)歸一化的平均速度誤差收斂如圖9所示。

圖5 無人機集群運動軌跡Fig.5 Trajectory of unmanned aerial vehicle swarm

圖6 不同時刻無人機集群狀態(tài)Fig.6 Unmanned aerial vehicle swarm status at different times

圖7 無人機集群跟蹤速度誤差x分量收斂情況Fig.7 Convergence of x-component of unmanned aerial vehicle swarm tracking speed error

圖8 無人機集群跟蹤速度誤差y分量收斂情況Fig.8 Convergence of y-component of unmanned aerial vehicle swarm tracking speed error

圖9 無人機集群系統(tǒng)總體速度誤差收斂情況Fig.9 Convergence of general velocity error of unmanned aerial vehicle swarm system

從仿真來看,文中所給出的算法能夠?qū)崿F(xiàn)有效的蜂擁控制。所有的無人機速度很快實現(xiàn)基本一致,并逐漸趨近于虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的速度,無人機之間的距離隨著時間的變化逐漸接近于理想距離,并且一直大于0,驗證了定理1的正確性。當(dāng)實現(xiàn)了蜂擁運動后,無人機與虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的速度跟蹤誤差將與牽制點的選擇沒有直接關(guān)系。

5 結(jié) 論

使用牽制控制對集群蜂擁形成速度的影響是顯著的,本文初步從Laplace特征值的角度分析了牽制控制對系統(tǒng)的收斂性影響,構(gòu)建了增廣Laplace矩陣,并估計了系統(tǒng)特征值的范圍。在未來需要進一步定量分析在某一節(jié)點增加牽制控制對系統(tǒng)特征值以及一致性收斂的影響。結(jié)合任務(wù)需求、無人機具體的動態(tài)特性以及飛控系統(tǒng)做進一步應(yīng)用研究。