廣東省廣州市第二中學(xué)(510040) 鄒 芬

數(shù)學(xué)探究教學(xué)一般是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題,進行自主學(xué)習(xí),探究結(jié)論,提出數(shù)學(xué)問題,使用數(shù)學(xué)解決問題的過程.數(shù)學(xué)探究對學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度,學(xué)習(xí)能力有著較高的要求,對于八年級的普通學(xué)生來說,完全自主的探究活動往往流于形式,收效甚微[1].基于學(xué)生的實際情況在課堂教學(xué)中教師往往針對課堂的某個環(huán)節(jié)開展教師主導(dǎo)下的微探究活動.微探究注重的是組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)問題探究,在這個探究過程中,以教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體,數(shù)學(xué)是載體,思維是形式,以此培養(yǎng)學(xué)生的主動性、創(chuàng)造性、應(yīng)用意識和實踐意識[2].在教學(xué)微探究中,教師的問題設(shè)計既是教師主導(dǎo)課堂的體現(xiàn),也是推動學(xué)生進行探究活動的催化劑,但是課堂教學(xué)往往不會完全遵循教師預(yù)設(shè)的問題設(shè)計開展,教學(xué)過程中教師要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生閃現(xiàn)的新想法,呈現(xiàn)的新思路,捕捉學(xué)習(xí)探究活動中的瞬間生成,并及時調(diào)整問題設(shè)計,才能激發(fā)學(xué)生的探究欲望,激發(fā)學(xué)生主動思考數(shù)學(xué),內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)[3].

以下通過筆者在兩個班先后講評同一道課本習(xí)題的課堂實踐為例,談?wù)勎⑻骄空n堂問題設(shè)計的預(yù)設(shè)與生成.

1 課堂實踐一與反思

習(xí)題如圖1 所示,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC的中點,∠AEF=90°.EF交正方形外角的平分線CF于F,求證:AE=EF.

圖1

教材和學(xué)情分析本題來自于人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第69 頁“四邊形”復(fù)習(xí)題18 拓廣探索第14 題.課程實施對象為數(shù)學(xué)成績中等班級,學(xué)生基礎(chǔ)知識扎實,學(xué)習(xí)積極性較高.在本章之前學(xué)生已學(xué)習(xí)了“全等三角形”,“軸對稱”、“勾股定理”、“四邊形”等章節(jié),在“四邊形”這一章的學(xué)習(xí)過程中,大部分學(xué)生對條件齊全的全等三角形的證明能熟練掌握,并能利用全等三角形對應(yīng)邊相等,等角對等邊及勾股定理等來求證線段相等,但對如何添加輔助線存在一定的困難.

案例實錄:

師: 由已知條件“點E是邊BC的中點,EF交正方形外角的平分線CF于F”,我們能找到哪些相等的線段和相等的角?

生1:BE=EC,∠DCF=∠FCG.

師: 非常正確,能將題目中的條件轉(zhuǎn)化為具體的邊角關(guān)系將有助我們進一步探索.

反思: 當(dāng)題目出現(xiàn)在屏幕上時,教師自己將問題朗讀了一遍,優(yōu)點是加快課堂節(jié)奏,明確問題導(dǎo)向,有助于教師順利實現(xiàn)課堂預(yù)設(shè).但是,教師以自己的行為代替了學(xué)生對問題的自主理解,教師對問題的理解并不意味著學(xué)生已經(jīng)把握好問題的條件和目標(biāo)以及問題所涉及的相關(guān)概念,而理解問題、明確任務(wù)恰恰是解決問題的第一步! 這一步的不足,直接影響學(xué)生解題能力的提高.

師: 題目要求證明線段相等,我們證明線段相等最常用的方法是什么?

生2: 利用全等三角形來證明線段相等.

(學(xué)生3 在座位上喊出:“等腰三角形也可以”.)

師: 非常好! 我們常常利用全等三角形來證明線段相等,圖中以AE、EF為邊的三角形全等嗎?

反思: 利用全等三角形證明線段相等是學(xué)生非常熟悉且比較直觀的一種方法.但是,就題講題,拘泥于把問題講清楚,是遠遠不夠的.由于在特殊的平行四邊形里由對角線分割出等腰三角形,直角三角形也是本章的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容,教師需要通過講題加強知識橫向聯(lián)系,有助于學(xué)生建構(gòu)知識體系.以本題為例,還可以通過構(gòu)造直角三角形、等腰三角形等其它方法予以證明.特別是學(xué)生3 說到利用等腰三角形證明線段相等時,教師需要關(guān)注到學(xué)生不同的思維方向,有效的課堂要有精心的課前預(yù)設(shè),更要重視課堂的生成,在教學(xué)過程中因勢利導(dǎo),引導(dǎo)學(xué)生擬訂求解計劃,不僅可以加深對知識體系的認(rèn)識,還可鼓勵學(xué)生參與課堂探究,提高學(xué)習(xí)積極性.

師: 嗯,同學(xué)們對圖形的識別能力很強,ΔABE與ΔECF不全等,那我們嘗試構(gòu)造一對全等三角形從而得到AE=EF吧!

生4: 作FH⊥BC交BC的延長線于H,ΔABE與ΔEFH看上去挺全等的.

師: 很多同學(xué)想到作FH⊥BC交BC的延長線于H(如圖2 所示),接下來我們看看能否找齊全等所需要的條件?

圖2

生5: 由題目可知: ∠B=∠EHF=90°,由∠AEF=90°,∴∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°,∴∠BAE=∠CEF.

師: 很好,我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)證明全等所需的3 個條件中的兩個,勝利在望了.

反思: 教師在教學(xué)過程中能對學(xué)生的思考給予正向的回應(yīng),并在解答過程中不斷給予肯定,刺激學(xué)生繼續(xù)積極思考,樹立學(xué)生解決問題的信心,從而自主找出全等所需的兩對對應(yīng)角,這個過程學(xué)生經(jīng)歷了自主探索知識的過程,體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位.

師: 接下來,我們還需要什么條件?

生5: 要是能有AB=EH就好了.

生6:E是BC的中點,如果C是EH中點也可以證的.

師: 但本題中有這個條件嗎? 證明AB=EH難度較大,我們需要換一種思路.

反思: 在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn),圖2 是學(xué)生最常想到的作輔助線的方法,但常常沒能“此路不同,另辟蹊徑”地尋找另外的解題策略,從而導(dǎo)致解題失敗.在此處,換種思路是克服實現(xiàn)求解計劃中遇到的困難的一種方法.而尋求AB=EH的求解計劃則是本題中再一次激發(fā)學(xué)生拓廣思維寬度的契機.因此,教師在課前預(yù)設(shè)時需要準(zhǔn)備更充分,尊重學(xué)生的理解和方法,順應(yīng)學(xué)生的需要,引導(dǎo)學(xué)生尋求有效的解題計劃的策略與方法.

師: 既然得不到ΔABE與ΔEFH全等,我們再構(gòu)造一個與ΔECF全等的三角形吧! 如圖3 所示,取AB中點M,連ME,得到ΔAME.

圖3

生7: ∵M、E為正方形ABCD邊的中點,∴AM=EC,……∴ΔAME∽=ΔECF,∴AE=EF.

師: 太棒了,我們常常通過構(gòu)造全等三角形來證明線段相等.課后同學(xué)們可以繼續(xù)思考如圖4,若將點E變?yōu)锽C邊上的任意一點,其它條件不變,是否仍然有AE=EF成立?

圖4

反思: 教師的講題到此就結(jié)束,問題看似完整解決,但是從課后練習(xí)發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生依然選擇與圖2 類似的輔助線,不能順利解決問題.課堂探究的效率高低不取決于教師打算教給學(xué)生什么,而取決于學(xué)生實際學(xué)到什么,思維獲得什么發(fā)展.問題探究是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的過程,是數(shù)學(xué)思維過程的展現(xiàn).數(shù)學(xué)微探究評價的重點是課堂的教學(xué)效果.教師在問題設(shè)計時要總結(jié)自己的思維過程,更要站在學(xué)生的視角審視學(xué)生在解決問題過程中會遇到哪些困難,問題設(shè)計要重在幫助學(xué)生突破自己思維上的障礙,進行數(shù)學(xué)思考,使用數(shù)學(xué)思想方法解決問題.

2 課堂實踐二

基于課堂實踐一的反思和對微探究課堂問題設(shè)計的思考,筆者在第二個班講評這道習(xí)題時,對理解問題與明確任務(wù)、提出假設(shè)與設(shè)計解決方案、檢驗和回顧等三個環(huán)節(jié)加以改進.

2.1 理解問題與明確任務(wù)

對該環(huán)節(jié)的改進如表1 所示.

表1 理解問題與明確任務(wù)

這一階段限時5 分鐘.通過巡堂發(fā)現(xiàn)學(xué)生有如下幾種表現(xiàn):

情況1: 找出正方形中四條邊相等,四個角是直角.

情況2: 標(biāo)記線段BE=EC,∠FCG=∠DCF.

情況3: 標(biāo)記線段BE=EC、∠FCG=∠DCF,且連線段AF,在努力求證∠EAF=∠AFE,試圖通過等角對等邊從而得到AE=EF.

情況4: 標(biāo)記線段BE=EC、∠FCG=∠DCF,標(biāo)記直角∠AEF,作FH⊥BG,試圖證明ΔABE∽=ΔEFH.

情況5: 連AF,標(biāo)記BE=x,AB=2x,并運用勾股定理算出AE=

情況6: 作AB中點M,構(gòu)造ΔAME,思維流暢清晰.

可見學(xué)生從題目獲取信息的能力有較大區(qū)別,思維方向比較發(fā)散,意味著學(xué)生在理解問題、理解探究對象這一步驟存在較大差異,提出假設(shè)和設(shè)計解決方案也具有一定的差異性.

2.2 提出假設(shè)與設(shè)計解決方案

對該環(huán)節(jié)的改進如表2 所示.

表2 提出假設(shè)與設(shè)計解決方案

生1: 設(shè)BE=EC=x,則AB=2x,只需證明CH=EC=x即可.

師: 將要證AB=EC+CH,轉(zhuǎn)為證明CH=EC=x,形式更加簡潔,更容易入手.如何證明呢? 繼續(xù)用全等三角形嗎?

生2: 不能用全等三角形了,那兩個三角形看上去就不全等.

生3: 不用全等三角形還能證線段相等嗎?

師: 再想一想,你還用過哪些方法證明線段相等?

生2: 哦! 勾股定理.

生4: 還有等腰三角形呢!

師: 這些都是我們常用的方法,現(xiàn)在你們想嘗試用哪種方法證明CH=EC呢?

生2: 等腰三角形肯定不行,CH、EC都構(gòu)不成三角形.

生1: 那就用勾股定理試試吧!

師: 在哪些圖形中可以運用勾股定理呢?

生5: 直角三角形中,有

學(xué)生經(jīng)過小組討論、交流、合作整理出如下解法(如圖5 所示):

圖5

解法一設(shè)CH=FH=a,在RtΔEFH中,有EF2=(x+a)2+a2=x2+2a2+2xa,在RtΔABE中,有AE2=(2x)2+x2=5x2,在RtΔACF中,有AF2=AC2+CF2=(AB2+BC2)+(CH2+FH2)=8x2+2a2,在RtΔAFE中,有AE2+EF2=AF2,即5x2+x2+2a2+2xa=8x2+2a2,所 以a=x,即CH=FH=x,可得AB=EH,證得ΔABE∽=ΔEFH,即AE=EF.

解法二同解法一證得a=x,代入勾股定理等式中EF2=(x+a)2+a2=x2+2a2+2xa=5x2=AE2,即AE=EF.

如果在問題設(shè)計中過于偏重預(yù)設(shè),只有教師的表演,學(xué)生僅僅被動接受,課堂的生成被壓制忽視,學(xué)生的主體性沒有得到重視,其有效性必然降低.開展微探究活動需要從學(xué)生的個體差異、思維特點出發(fā),關(guān)注學(xué)生的思維動向,從而激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的欲望,自主參與到探究過程.微探究課堂中教師是主導(dǎo),在捕捉探究活動的瞬間生成的同時,也要在探究中發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用,促進完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),提高學(xué)生問題解決的能力.在課例2 中教師繼續(xù)通過問題設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生進一步探究構(gòu)造全等三角形證明AE=EF,學(xué)生通過對比兩種解法,整理歸納思想方法,為后續(xù)的探究活動打下基礎(chǔ).

2.3 檢驗和回顧

對該環(huán)節(jié)的改進如表3 所示.

表3 檢驗和回顧

通過問題設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生思考: (1)如果這個條件不滿足,又如何? (2)交換條件和結(jié)論得到的命題是真命題嗎? (3)你還能得到哪些結(jié)論? (4)這個結(jié)論你能推廣到其它圖形中嗎?由此,學(xué)生的思維不再局限于解決單個題目本身,而是放眼探索解決一類問題的方法,體會數(shù)學(xué)思想在解題中的運用.

從課后作業(yè)中,發(fā)現(xiàn)學(xué)生通過思考探究提出了很多想法,例如:

(1)若AE=EF,那么AE⊥EF成立嗎?

(2)E為直線BC上一點,結(jié)論還成立嗎?

(3)將正方形ABCD變?yōu)檎噙呅?情況又如何:

①如圖6 所示,等邊ΔABC,CF為ΔABC外角平分線,E為BC邊上一點,∠AEF=60°,結(jié)論AE=EF成立嗎?

圖6

②如圖7 所示,正五邊形ABCDM,CF為其外角平分線,E為BC邊上一點,∠AEF=108°,結(jié)論AE=EF成立嗎?

圖7

③如圖8 所示,E為正n邊形邊BC上一點,CF為正n邊形外角平分線,當(dāng)∠AEF為多少度時,AE=EF成立?

圖8

3 總結(jié)

在數(shù)學(xué)微探究活動中,教師的參與至關(guān)重要,教師需要對學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題等環(huán)節(jié)進行有效指導(dǎo).基于課堂生成的問題串的設(shè)計更能提高學(xué)生對課堂的參與度,激發(fā)學(xué)生探究的積極性,使學(xué)生獲得成功感.與此同時,教師也要關(guān)注探究活動的主體—學(xué)生.問題設(shè)計不是指導(dǎo)學(xué)生如何探究,而是引導(dǎo)學(xué)生參與探究活動.問題既要圍繞問題解決進行預(yù)設(shè),也要及時捕捉課堂生成,關(guān)注學(xué)生瞬時的學(xué)習(xí)狀態(tài),順勢而為: 學(xué)生當(dāng)下想到什么? 學(xué)生的假設(shè)是否成立? 學(xué)生在解決問題中遇到什么困難? 如何才能調(diào)整學(xué)生的思考過程和方向? 引導(dǎo)學(xué)生開展自然生成的探究活動,才能達到生態(tài)互動,激活課堂.

數(shù)學(xué)微探究活動根據(jù)課堂的實際需要設(shè)計啟發(fā)性的問題,引導(dǎo)探究活動圍繞既定目標(biāo)開展,并關(guān)注、尊重學(xué)生的思維差異,讓學(xué)生參與課堂探究,經(jīng)歷數(shù)學(xué)的產(chǎn)生過程,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,使不同類型不用層次的學(xué)生都能獲得發(fā)展,提高學(xué)生思考和解決問題的能力,數(shù)學(xué)微探究課堂問題設(shè)計中預(yù)設(shè)與生成的和諧統(tǒng)一既保留了原生態(tài)的課堂,也是課堂中“看不見的手”引導(dǎo)學(xué)生主動思考,自主探究,從而實現(xiàn)課堂在知識縱橫發(fā)展的廣度和數(shù)學(xué)思想拓展延申的厚度上的提升.