廣東省東莞市東華初級中學(xué) 周健鴻

遠(yuǎn)洋途中,我們往往會遇到各種不確定的挑戰(zhàn),或迂回航行,或停泊駐留.但只要教師這位船長始終能把好舵盤,乘勢掛好船帆,教學(xué)航船依然可以一往直前,迎風(fēng)擊浪,直達(dá)素養(yǎng)的海洋.目標(biāo)引領(lǐng)航向,把脈中考動向,教學(xué)航船才有方向.廣東中考數(shù)學(xué)卷從2020 年開始改革,隱形圓成為了中考卷上的熱門,2020 年填空壓軸題第17 題,2021 年選擇壓軸題第10 題和填空壓軸題第17 題都考察了隱形圓的構(gòu)造,學(xué)生需要從題干中尋找出構(gòu)造圓的關(guān)鍵信息,發(fā)掘出動點的運動軌跡就是一段圓弧.

1 點亮錨燈,聚焦概念

一位好老師,應(yīng)該要厘清培養(yǎng)目標(biāo)、學(xué)科目標(biāo)、單元目標(biāo)、課時目標(biāo)的關(guān)系,把準(zhǔn)目的地、中間站、臨時停靠點,航線才能更加清晰和科學(xué).要想突破隱形圓的動點問題,第一個核心就是要讓學(xué)生掌握好圓的定義.圓的靜態(tài)定義是:“到一個定點的距離等于定長的點的集合叫圓.”圓的動態(tài)定義是:“一條長度固定的線段繞著自己的一個端點旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點經(jīng)過的軌跡叫圓.”準(zhǔn)確掌握圓的概念是發(fā)掘出動點軌跡是圓的核心關(guān)鍵.

2 錨定靶心,拆解模型

根據(jù)圓的定義,提取出關(guān)鍵詞,我們不難發(fā)現(xiàn)“定點+定長→圓”.例如,如圖1,OA⊥OB,P、Q分別是射線OA,OB上兩個動點,且PQ=4,點C是線段PQ的中點,求動點C形成的軌跡.因為O為定點,C為動點,OC為定長,根據(jù)圓的定義,C點在以O(shè)為圓心,OC長為半徑的圓弧上,則動點C運動形成的路徑是一段圓弧.

圖1

例1(2020 年廣東第17 題)有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑,一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠,等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點,模型如圖2,∠ABC=90°,點M,N分別在射線BA,BC上,MN長度始終保持不變,MN=4,E為MN的中點,點D到BA,BC的距離分別為4 和2.在此滑動過程中,貓與老鼠的距離DE的最小值為____.

圖2

解析由題意BD==90°,MN=4,EM=NE,∴BE=MN=2,∴點E的運動軌跡是以B為圓心,2 為半徑的弧,∴當(dāng)點E落在線段BD上時,DE的值最小,∴DE的最小值為-2.(也可以用DE≥BD-BE確定最小值)

在例1 的突破中,除了需要發(fā)現(xiàn)E點的運動軌跡是圓弧之外,還需要掌握“一線穿”的點圓最值模型.

1.點圓最值——“一線穿”模型

如圖3,點P在⊙O內(nèi)時,點P到⊙O上的最近距離為AP,最遠(yuǎn)距離為BP,即最遠(yuǎn)距離+最近距離=直徑;如圖4,點P在⊙O外時,點P到⊙O上的最近距離為AP,最遠(yuǎn)距離為BP,即最遠(yuǎn)距離-最近距離=直徑.

圖3

圖4

2.線圓最值——“摩天輪”模型

如圖5,點P為⊙O上一動點,直線AB為定直線,當(dāng)點P與P1重合時,點P到直線AB的距離最小,當(dāng)點P與P2重合時,點P到直線AB的距離最大,即圓上的點到直線的最遠(yuǎn)距離-最近距離=直徑.2021 年廣東中考選擇壓軸第10 題就考察了運動軌跡為圓的動點C到定直線y軸的最大值問題,借助“摩天輪”模型可以快速求解.

圖5

例2(2021 廣東第17 題) 在ΔABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.點D為平面上一個動點,∠ADB=45°,則線段CD長度的最小值為____.

圖6

通過例2,可以發(fā)現(xiàn)除了通過“定點+定長→圓”之外,還可以通過“定長+定角→圓”,題中AB為定長,∠ADB=45°為定角,可以利用圓周角的相關(guān)知識,根據(jù)圓的性質(zhì)可知D在以AB為直徑的圓上.最后借助點圓最值問題“一線穿”模型可以快速求解.

3 拔錨起航,駛向素養(yǎng)

根據(jù)例2 我們可以進(jìn)行模型的歸納和總結(jié),如圖7,當(dāng)AB為定長,且∠ACB為定角時,點C的軌跡就是圓.該模型就是通過“定長+定角→圓”.圓的構(gòu)造還以通過“四點共圓”模型實現(xiàn),如圖8,已知∠BAD+∠BCD=180°,點A、C、D固定,點B是動點,則點B的軌跡是圓,其中圓心點O是AD與CD垂直平分線的交點.對于隱形圓,我們除了可以通過求線段最值的方式考察外,還可以結(jié)合坐標(biāo)系和面積來命題.

圖7

圖8

例3(2021 河南)如圖9,在平面直角坐標(biāo)系中,半徑為4 的⊙O與x軸的正半軸交于點A,點B是⊙O上一動點,點C為弦AB的中點,直線y=-6 與x軸、y軸分別交于點D、E,若ΔCDE面積為S,則S的范圍是____.

圖9

圖10

突破例3 需要先通過垂徑定理發(fā)現(xiàn)∠OCA為定角90°,利用“定長+定角-→圓”得到點C的運動軌跡為以O(shè)A為直徑的圓,要求ΔCDE的面積最值問題,根據(jù)三角形面積公式,利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,就轉(zhuǎn)化為求CH最值的問題,利用線圓最值“摩天輪”模型最終可以快速求解.

4 以終為始,雙線并行

2022 年4 月21 日新課標(biāo)發(fā)布,從“新課標(biāo)”的這條線上,提出數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng),要求會用數(shù)學(xué)的眼光觀察;會用數(shù)學(xué)的思維思考;會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá).意味著在數(shù)學(xué)課程中我們要著重培養(yǎng)學(xué)生現(xiàn)實關(guān)聯(lián)能力,需要從復(fù)雜的現(xiàn)實問題中抽象中基本的數(shù)學(xué)模型.而從近兩年“新中考”的這條線上,越來越多的題目靈活性更強,對學(xué)生分析問題提煉核心的能力要求越來越高,這就需要我們:

4.1 定位目標(biāo)基點,戴好航行指向的探照燈

核心素養(yǎng)作為培養(yǎng)學(xué)生的基點,我們需要明確知識教育的重心應(yīng)該要向素養(yǎng)教育為核心的目標(biāo)轉(zhuǎn)型.這就需要我們定好每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),明確中考的命題趨勢,有意識的設(shè)置好重難點和突破點,實時對接中考方向.避開教學(xué)目標(biāo)設(shè)置的暗礁,厘清各層級的含義和關(guān)系,進(jìn)行目標(biāo)拆解,讓課堂的每個環(huán)節(jié)依托每個小目標(biāo)逐一落地.做好目標(biāo)“點線面體”設(shè)置工作,這里的點指的是每節(jié)課的知識點小目標(biāo),線指的是每堂課的教學(xué)目標(biāo),面指的是本章節(jié)的課程目標(biāo),體指的是核心素養(yǎng)要求的總體育人目標(biāo).

4.2 任務(wù)層層拆解,用好信息技術(shù)的工具箱

教師在教學(xué)活動的設(shè)計上往往缺乏結(jié)果導(dǎo)向思維,只重視內(nèi)容和方法;忽略“教”與“學(xué)”的雙向互動,只重視教師輸出效果;停留于平面思維,忽視學(xué)習(xí)過程應(yīng)該與學(xué)生的情感互融,最終把培養(yǎng)學(xué)生的過程切割成一個個互不關(guān)聯(lián)的“孤島”.而“互聯(lián)網(wǎng)+教育”時代的到來,物聯(lián)網(wǎng)實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)互聯(lián),虛實融合、智能適應(yīng)的均衡化課堂生態(tài)登上舞臺.這就需要我們新時代的教師借助網(wǎng)絡(luò)等信息化手段,開創(chuàng)信息化融合的教育教學(xué)的新方式,加強課堂的互動,例如借助“希沃白板”等軟件,設(shè)置課堂游戲環(huán)節(jié),把學(xué)生的主動性、積極性、創(chuàng)造性充分地發(fā)揮出來,讓信息技術(shù)走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂,實現(xiàn)我們的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)結(jié)構(gòu)發(fā)生根本性革新.

4.3 內(nèi)容共識共創(chuàng),用好集體智慧的發(fā)動機

“互聯(lián)網(wǎng)+教育”時代讓合作在整個教育系統(tǒng)的重要性日益提升.教師的主要工作形態(tài)將從個體轉(zhuǎn)變?yōu)槿后w協(xié)作.每個學(xué)校都有集備的活動.高效的和有質(zhì)量的集備會縮短教師的個體勞動時間從而提升工作效率.學(xué)習(xí)共同體概念的提出,讓教師能利用數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)組成各類共同體.在這些共同體中,集體智慧的結(jié)晶將是教師課堂設(shè)計的永動機.

時代在蛻變,但教師的育人功能與學(xué)習(xí)陪同效果無可替代.教師不僅僅是知識的傳授者,更要設(shè)計多樣化的教學(xué)活動,開發(fā)數(shù)字學(xué)習(xí)資源和相關(guān)的評估工具.為每個學(xué)生創(chuàng)設(shè)多樣化的學(xué)習(xí)環(huán)境.給予學(xué)生學(xué)習(xí)方法指導(dǎo),落實分層教學(xué),實現(xiàn)因材施教.在革新時代的背景下,我們要做的就是“以終為始,錨定靶心”,關(guān)注時代變化的動態(tài)之下,時刻謹(jǐn)記我們教師的天職,貫徹“立德樹人”的育人目標(biāo),讓學(xué)生能夠得到真正意義的全人格成長.