林夢凱，史軍乾

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730070)

近年來，隨著橋梁建設(shè)事業(yè)的快速發(fā)展，涉及到曲線梁橋的設(shè)計(jì)已越來越多.曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋作為一種新型橋梁結(jié)構(gòu)，它是將混凝土底板替換成鋼底板，升級改進(jìn)而成的一種鋼-混凝土組合梁橋.可以有效地減小箱梁的自重，實(shí)現(xiàn)裝配式施工，提高橋梁的跨越能力，充分發(fā)揮了鋼材和混凝土結(jié)構(gòu)各自的優(yōu)勢，避免混凝土底板易開裂等問題.具有更高的實(shí)用性，經(jīng)濟(jì)性和施工便捷性等特點(diǎn).其構(gòu)造圖如圖1所示.

圖1 箱梁構(gòu)造圖

Lee等[1]推導(dǎo)了笛卡爾坐標(biāo)系下控制軸不對稱水平彎曲梁自由振動(dòng)的微分方程，使用SAP2000有限元軟件驗(yàn)證了方程的有效性，結(jié)果非常準(zhǔn)確；Barth等[2]進(jìn)行了大量的有限元研究，包括202個(gè)橋梁模型，以確定單跨、雙跨和三跨工字梁橋的基本頻率，并基于非線性回歸分析，提出了與有限元結(jié)果具有良好相關(guān)性的基頻方程；Amjadian等[3]開發(fā)了一個(gè)簡單的三自由度動(dòng)力學(xué)模型，用于表示彎曲橋梁系統(tǒng)的剛體動(dòng)力學(xué)、自由振動(dòng)和地震反應(yīng)譜；Khalafalla等[4-5]提出了在結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計(jì)中將曲線橋視為直線橋的局限性表達(dá)式；冀偉等[6]考慮約束扭轉(zhuǎn)和自由扭轉(zhuǎn)，對波形鋼腹板組合箱梁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率進(jìn)行了推導(dǎo)，并提出了全新的扭轉(zhuǎn)截面特性的計(jì)算公式；李宏江等[7]分別針對波形鋼腹板箱梁約束扭轉(zhuǎn)和畸變，提出了兩種計(jì)算方法；鄭尚敏等[8]通過理論推導(dǎo)、試驗(yàn)和有限元相結(jié)合的方法，對波形鋼腹板組合箱梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率進(jìn)行了研究；任紅偉等[9]參照圓軸扭轉(zhuǎn)計(jì)算公式，分別推導(dǎo)出了是否考慮橫隔板的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)計(jì)算公式，并分析了橫隔板對其影響程度；江克斌等[10]對4根波形鋼腹板實(shí)驗(yàn)箱梁進(jìn)行了加載，分析了該橋純扭下的力學(xué)行為；羅奎等[11]采用駐值勢能原理推導(dǎo)了波形鋼腹板的動(dòng)力剛度矩陣，并編制了MATLAB求解程序，得到了求解該橋自振頻率更為簡潔的方法.分析文獻(xiàn)可知，目前國內(nèi)外學(xué)者對波形鋼腹板組合箱梁橋動(dòng)力特性主要集中在直線梁橋上，而對于曲線梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的研究較為滯后.

由于曲線梁其彎扭耦合響應(yīng)，使曲線梁橋的動(dòng)力特性問題變的更加復(fù)雜.又因波形鋼腹板和鋼底板較薄，扭轉(zhuǎn)剛度較低，當(dāng)發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)該橋處于相對不利狀態(tài).為此，本文基于Galerkin法和Hamilton原理，推導(dǎo)了曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的理論計(jì)算公式，并分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率影響規(guī)律.

1 曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁截面特性

1.1 波形腹板剪切模量修正

由于腹板具有褶皺效應(yīng)，剪切模量應(yīng)根據(jù)文獻(xiàn)[12]進(jìn)行修正，修正公式如下所示.

(1)

式中：Ge為有效剪切模量；Gs為鋼材剪切彈性模量；其他參數(shù)如圖2所示.

圖2 波形鋼腹板尺寸構(gòu)造圖

1.2 曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁截面換算

由于曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁具有不同的材料性能，為了便于計(jì)算，降低求解難度.將底板和腹板鋼板材料等效成頂板的混凝土材料.根據(jù)等效原理[13]得：

(2)

(3)

1.3 曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算

在計(jì)算扭轉(zhuǎn)剛度時(shí)，考慮到箱梁是由不同性質(zhì)材料構(gòu)成.波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算公式參照文獻(xiàn)[14]修正，得：

(4)

式中：Am為等效后內(nèi)頂板和波形腹板之間閉合截面面積；tu、tw分別為頂板厚度和波形鋼腹板厚度；b1、b2分別為頂?shù)装鍍魧挼囊话?；b3為翼緣板的寬度；ns1、ns2分別為Ge/Gc和Gs/Gc；Gc為混凝土的剪切模量；修正系數(shù)α=0.4h1/β-0.06、β=b1+b2；當(dāng)h1/β<0時(shí)，α取值為0；其余參數(shù)如圖3所示.

圖3 波形腹板鋼箱-組合箱梁扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算參數(shù)

2 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的推導(dǎo)

2.1 基本假定

1)曲線梁為質(zhì)地均勻的等截面梁；

2)組合梁橫截面具有豎向?qū)ΨQ軸；

3)梁長尺寸和橫截面遠(yuǎn)小于曲率半徑且曲率半徑為常數(shù)；

4)組合梁在發(fā)生振動(dòng)時(shí)忽略高階微量.

2.2 微分方程的建立

曲率半徑為R的曲梁單元坐標(biāo)系如圖4所示.使用右手正交曲線坐標(biāo)系x-y-z，其原點(diǎn)位于元素的中心.

圖4 曲線梁坐標(biāo)系

如圖5所示，假設(shè)組合梁在發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，截面只發(fā)生繞剪切中心的自由扭轉(zhuǎn)[8].在計(jì)算扭轉(zhuǎn)剛度和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，充分考慮腹板褶皺和剪切效應(yīng)的影響.其中φz為彎曲轉(zhuǎn)角、γ為剪切角，其與橫向位移ν的關(guān)系為：

(5)

曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)認(rèn)為頂板與腹板連接是剛性的，另外因?yàn)榕まD(zhuǎn)角θx較小，如圖5所示，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)前后的位移協(xié)調(diào)關(guān)系得：

圖5 箱梁扭轉(zhuǎn)示意圖

ν=z1θx.

(6)

式中：z1為扭轉(zhuǎn)中心到頂板的距離.

曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的應(yīng)變計(jì)算如下[15-17]：

扭轉(zhuǎn)應(yīng)變：

(7)

彎曲應(yīng)變：

(8)

波形鋼腹板的剪應(yīng)變：

(9)

由式(8)可知，曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁彎曲應(yīng)變能Vt表達(dá)式如式(10)所示.

(10)

式中：EI為抗彎剛度.

由式(9)可知，波形鋼腹板應(yīng)變能Vw表達(dá)式如式(11)所示.

(11)

由式(7)可知，曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁自由扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能Vf表達(dá)式如式(12)所示.

(12)

由式(10)～(12)可知，曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁總的形變勢能為Vs表達(dá)式如式(13)所示.

(13)

曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)的動(dòng)能T表達(dá)式如式(14)所示.

(14)

式中：?θx/?t、?φZ/?t分別為θx(x,t)、φZ(x,t)對時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)；ρA為組合箱梁單位體積的質(zhì)量.

根據(jù)Hamilton原理得：

(15)

由此可得曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的控制微分方程：

(16)

(17)

自然邊界條件為：

(18)

(19)

3 曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程的解

將(16)式代入等式(17)式轉(zhuǎn)化為等式(20)，以消除θx：

(20)

為了得到式(20)的解，當(dāng)曲線組合梁振動(dòng)時(shí)φz(x,t)可以表示為：

(21)

式中：φz0為函數(shù)的振幅；ωn、u分別為曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)的圓頻率和初始相位角；n為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率階數(shù).

將式(21)代入式(20)中進(jìn)行化簡整理，可得簡化式(22)：

(22)

公式(22)的求解過程非常繁瑣.為了便于計(jì)算，采用了伽遼金法[18].對于曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁，φz0可表示為：

(23)

權(quán)重函數(shù)φwz0(x)取為：

(24)

式中：l為橋梁跨徑.

將式(23)代入式(22)，可得殘差R(x)：

(25)

由Galerkin法：

(26)

將式(25)代入式(26)中，可得：

(27)

令：

則上式變化為：

x2+κ1x+κ2=0.

(28)

則有：

(29)

將曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)圓頻率轉(zhuǎn)換成扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率，表達(dá)式如下：

(30)

4 算例驗(yàn)證

4.1 算例1實(shí)橋工程概況

本文選取蘭州中川機(jī)場T3航站樓連接線工程裝配式單片曲線梁橋.橋梁跨度為40 m，曲率半徑為100 m.單片曲線梁截面和波形鋼腹板尺寸如圖6所示.其中，主梁混凝土、鋼材的泊松比、彈性模量、密度分別為vC=0.20、vS=0.30、EC=3.60×1010Pa、ES=2.06×1011Pa、ρC= 25.50 kN/m3、ρS=78 kN/m3.腹板波高為200 mm，平直段為330 mm，折線段水平投影為270 mm.單跨簡支梁采用水平力分散型支座，箱梁內(nèi)設(shè)7道橫隔板.

圖6 單箱曲線組合梁截面具體尺寸(單位：mm)

通過ANSYS18.2軟件建立了曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁三維有限元模型.在有限元模型中，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，混凝土采用SOLID45，鋼材采用SHELL63，連接處為了形成剛性連接，采用節(jié)點(diǎn)耦合約束模式.有限元模型采用柱面坐標(biāo)系，曲率半徑為橋梁截面中心線處的尺寸.簡支梁兩端支座分別約束Ux，Uy，Uz、Uy，Uz和Ux，Uz、Uz.蘭州中川機(jī)場T3航站樓連接線工程裝配式單片曲線梁橋有限元模型如圖7所示.

圖7 有限元計(jì)算模型

將ANSYS有限元值與推導(dǎo)的曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率表達(dá)式(30)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果如表1所列.

如表1可知，曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率表達(dá)式計(jì)算值與有限元模型值吻合良好.從而驗(yàn)證了曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率表達(dá)式的正確性，可在實(shí)際工程中應(yīng)用.

表1 計(jì)算值與模型值對比

4.2 算例2直橋試驗(yàn)梁驗(yàn)證

選取文獻(xiàn)[6]中的試驗(yàn)梁進(jìn)行分析，采用本文所提出的分析方法，即當(dāng)R→∞時(shí)，將計(jì)算結(jié)果分別與ANSYS和試驗(yàn)梁實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，如表2所列.

如表2可知，當(dāng)R→∞時(shí)，利用本文公式計(jì)算的1階扭轉(zhuǎn)頻率值與文獻(xiàn)[6]中ANSYS值和實(shí)測值的誤差分別為2.01%和1.15%，2階扭轉(zhuǎn)頻率值與文獻(xiàn)[6]中ANSYS值誤差為2.53%，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了本文分析方法的精確性和通用性.

表2 不同方法所得扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率對比分析

5 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響因素分析

5.1 剪切變形對曲線組合梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響

下表給出了忽略剪切變形和考慮剪切變形的理論計(jì)算值，并對兩者進(jìn)行了比較，計(jì)算結(jié)果如表3所列.

由表3可知，1階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率差值達(dá)到了7.42%，可見，波形鋼腹板的剪切變形會(huì)直接影響扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率.隨著的增加，剪切變形效應(yīng)對其影響趨勢變小.

表3 剪切變形對扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響

5.2 橫隔板對扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響

在組合梁截面尺寸和跨度都不改變的情況下，僅改變橫隔板數(shù)量和厚度.橫隔板數(shù)量分別取為0、1、3、5和7，橫隔板厚度分別取為12 mm、20 mm、30 mm、40 mm和50 mm，兩種參數(shù)的變化對扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響如表4所列.

由表4可知，當(dāng)橫隔板數(shù)量由0分別增加到1、3、5時(shí)，1階頻率逐漸增大，而當(dāng)隔板數(shù)量由5增加到7時(shí)，振動(dòng)頻率開始變小.當(dāng)橫隔板厚度從12 mm增加到50 mm時(shí)，一階頻率減小了4.46%，結(jié)果表明橫隔板數(shù)量和厚度對扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率影響較大.因此應(yīng)當(dāng)在允許自重范圍內(nèi)，合理設(shè)置橫隔板數(shù)量和厚度.

表4 橫隔板對扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響

5.3 曲率半徑對扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響

在不改變曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁截面尺寸和跨度的情況下，對6種不同R進(jìn)行了比較，其計(jì)算結(jié)果如圖8所示.

由圖8可以看出，曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率隨R的增加而減小.R由50 m增加到300 m時(shí)，1階頻率減小了8.22%，2階頻率減小了3.06%，3階頻率減小了1.77%.可見，當(dāng)R較小時(shí)，對扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響較大.但隨著R的增大，對其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響程度依次減弱.

圖8 曲率半徑對扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響

6 結(jié)論

1)文所推導(dǎo)的曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率計(jì)算公式與模型結(jié)果吻合良好.當(dāng)時(shí)，利用實(shí)測值和ANSYS有限元結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了本文分析方法的精確性，所得結(jié)論可以應(yīng)用于實(shí)際工程中.

2)考慮剪切變形效應(yīng)時(shí)1階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率增大了7.42%，因此，腹板剪切變形效應(yīng)是影響扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的主要因素之一.

3)橫隔板的數(shù)量和厚度對曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率影響較大，因此在允許自重范圍內(nèi)，合理設(shè)置橫隔板數(shù)量和厚度能有效提高其抗扭剛度.

4)曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率隨著R增大而降低.因此，當(dāng)采用小半徑時(shí)，對扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響較大，但隨著半徑R的增大，對其影響程度逐漸減弱.