呂增鋒

(象山縣第二中學，浙江 寧波 315731)

近年來，在“數(shù)學是自然的”這個大概念的統(tǒng)攝下：一方面越來越多的教師把追求“教學自然”作為課堂教學的基本訴求，比如，“追求自然連貫的數(shù)學教學過程”[1]“追求自然樸實的數(shù)學教學”[2]，以及數(shù)學課堂要“自然呼出、自然聯(lián)系、自然建構”[3]等。另一方面，很多教師并沒有真正地理解“自然”的內涵，更多的是把“自然”當作一種“口號”；對于達成教學“自然”的方法與路徑也是知之甚少，更多依賴的是個人的臆想，想當然地以為“這樣做就是自然”，從而導致數(shù)學教學陷入“天天喊自然，就是不得自然之法”的尷尬之中。下面筆者就以高中數(shù)學人教A版新教材“正弦、余弦定理”為例，談談如何實現(xiàn)教學自然。

一、“自然”的內涵

“數(shù)學是自然的”中的“自然”：一是指“自然界”，即數(shù)學產(chǎn)生于“自然界”，或者是我們通常講的“數(shù)學源于生活”；二是指“自然發(fā)生”，即數(shù)學產(chǎn)生與發(fā)展的過程是“自然”的。

(一)數(shù)學產(chǎn)生于“自然”

人類通過自己的實踐活動與自然界相互聯(lián)系、相互作用產(chǎn)生了諸多的知識與經(jīng)驗。數(shù)學知識也一樣來源于大自然。比如，人類在大自然中觀察到各種不同形狀的物體：樹葉、貝殼、石頭、植物種子等，于是，頭腦逐漸出現(xiàn)了“形”的觀念，也有意識地把一些生活用具制作成較為規(guī)則的幾何形狀，幾何學從那個時候開始萌芽，而三角形作為比較特殊的一類圖形自然成為幾何學的主要研究對象。其他數(shù)學分支也如幾何學一樣，最早都是源于對自然的觀察和思考，然后通過不斷的抽象與發(fā)展，最終建構出了當前宏偉的數(shù)學大廈。

(二)數(shù)學發(fā)展的過程“自然”

數(shù)學發(fā)展通?；趦蓚€“自然”：一個是需求的自然，即數(shù)學的發(fā)展為了滿足生產(chǎn)生活中需求。比如，隨著人類生產(chǎn)力的發(fā)展，跨地區(qū)的商業(yè)貿易得到迅速發(fā)展，如何在荒無人煙的荒漠草原，或一望無際的大海上確定方向成為迫切需要解決的問題，而借助太陽、星星來輔助定位是比較有效的手段，這就需要利用三角形模型來計算星體的相對位置和距離，于是在天文觀測中誕生了三角學[4]。另一個數(shù)學本身發(fā)展的自然，自從數(shù)學成為一門獨立的學科后，構建完備的知識理論體系成為數(shù)學家的基本訴求。比如，在三角形的定義和形狀明確后，接下就會去研究其性質：兩邊之和大于第三邊、大邊對大角、全等與相似等；除了定性研究外，還進行定量研究，三角形內角和為180度、正弦定理、余弦定理、射影定理等；除了研究三角形本身，還要研究三角形與其他圖形的聯(lián)系，中線、角平分線、重心、內心、外接圓等，在一系列性質、定理、推論、公式的支撐下，三角學逐步完善。

二、如何凸顯教學“自然”

數(shù)學教學“自然”不是“只可意會不可言傳”的天機，而是需要在理解數(shù)學“自然”內涵的基礎上，以夸美紐斯《大教學論》中的教育應遵循自然規(guī)律的觀點為理論指導，遵循知識的自然邏輯順序、學生的自然認知規(guī)律與教材的自然編寫意圖。

(一)遵循知識的自然邏輯順序

數(shù)學知識的研究一般遵循“定義概念—推導性質—建立聯(lián)系—實踐應用”的自然邏輯順序，即先從數(shù)與形的角度抽象事物的本質屬性、定義概念，明確數(shù)學對象；探索對象的要素與要素、要素與環(huán)境之間的關系和相互作用而獲得性質；建立相關知識的聯(lián)系而形成知識體系；應用所得知識解決數(shù)學內外的問題[5]。當然，這一自然邏輯順序并非線性單向傳遞，而是呈現(xiàn)網(wǎng)狀放射結構，比如，在“建立聯(lián)系”后，可能又會推導出更多的“性質”；在“實踐應用”中又可以進一步深化對“定義概念”的理解，從而實現(xiàn)對數(shù)學知識的螺旋上升式的自然建構。

對于“正弦、余弦定理”這部分內容來說，初中對三角形的性質已經(jīng)有了定性的描述，比如，用SSS，SAS，ASA，AAS來判斷三角形全等，因此，高中要對三角形的這些性質的進行定量刻畫是自然的；初中介紹了解直角三角形的方法，因此，高中研究一般三角形的解法是自然的；之前學習了向量，因此，以向量為工具來推導正弦、余弦定理也是自然的。

知識的自然邏輯順序就是“學什么”的順序，這可以為數(shù)學教學的自然“引入”提供事實依據(jù)。比如，“今天我們開始學習解三角形，解三角形最常用的有兩大定理，其中一個就是余弦定理”“在三角形中，兩邊之和大于第三邊，我們能否把這個性質用定量關系進行表示呢？”“我們知道向量能夠作為研究平面圖形位置與數(shù)量關系的工具，那么能否借助向量進一步研究三角形中的邊角關系呢？”這是余弦定理的三種“引入”，哪一種引入最“自然”？在新教材中，正弦、余弦定理是放在“向量應用”這個章節(jié)之中，其中一個重要目的是為了凸顯向量的工具作用，因此，第三種引入應該是最自然的。

(二)遵循學生的自然認知規(guī)律

一談到遵循學生的認識規(guī)律，我們自然會把它與由易到難、由特殊到一般、從具體到抽象、從整體到局部、從定性到定量等做法關聯(lián)起來，以為只要照搬套用就能實現(xiàn)教學自然。其實不然，這些充其量只是比較好用的教學手段而已，并不能確保這樣做一定就是遵循了學生的自然認知規(guī)律。所謂自然認知規(guī)律指的是數(shù)學概念產(chǎn)生、數(shù)學問題提出與解決是基于學生原有的數(shù)學認知結構，或者是原有數(shù)學認知結構的自然發(fā)展與完善，即以合乎學生的認知規(guī)律和心理年齡特征，以自然的、人本的方式展開[6]，使學生能自然而然地“發(fā)現(xiàn)”“想到”“悟到”。

學生的自然認知規(guī)律就是“如何學”的定律。由上可知，把握學生自然認知規(guī)律關鍵是要了解學生已經(jīng)學會了什么、具備了怎樣的經(jīng)驗與能力，然后，以此為認知的生長點，進行自然的延伸與拓展，從而實現(xiàn)數(shù)學教學過程的“自然”。

問題1：如何用向量關系式來表示“三角形兩邊之和大于第三邊”？

追問：在前面向量這章內容中是如何證明這個不等式？

又比如，如何讓學生自然想到類比直角三角發(fā)現(xiàn)正弦定理的存在。在學生已知“大邊對大角，小邊對小角”和經(jīng)歷余弦定理推導過程的基礎上，教師可以做這樣引導：

問題2：如何把“大邊對大角，小邊對小角”進行向量表示？

追問：你能證明這個結論嗎？

學生自然想到借助特殊三角形去進行驗證，比如，直角三角形。

為了讓學生能夠自然想到，必要的引導是不可少的，但教師的引導也要順應學生的認知自然，問題的跨度不能太大，否則，很容易使數(shù)學的自然生成異化為教師的強行灌輸。

(三)遵循教材的自然編寫意圖

在教學中，教材的重要性不言而喻。教材既是學科基礎知識的凝練，又是教學的文本和指引；教材既是社會文化標準與文化規(guī)范的體現(xiàn)者，又是民族文化與國家意識形態(tài)的承載者。教材的編寫是在綜合考量各種因素后的最優(yōu)方案，從而確保在明確育人目標的基礎上最大可能地實現(xiàn)知識的普及與價值觀的正向傳遞。因此，理解教材，遵循教材的自然編寫意圖是實現(xiàn)教學自然的重要一環(huán)。

如果不考慮教材的意圖，正弦、余弦定理也可以按照下面這樣來推導。

問題3：一架飛機從A地飛往B地，飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從機場起飛后，就沿著原來的飛行方向成21°角的方向飛行，飛行到C地，測得AC間的距離為500 km，然后再從C地飛到B點。

(1)若C地飛到B點的航線與原來的航線成35°角，則BC間的距離是多少？

(2)若測得AB的距離為700 km，則BC間的距離是多少？

解析：根據(jù)題意，作出飛機飛行的路線圖，如圖1所示。在初中階段，解決此類問題的一般方法是通過“作高線”構造直角三角形，然后借助直角三角形的特殊性獲得邊角之間的定量關系。作AB邊上的高線CD，垂足為D，如圖2所示。

圖1

圖2

(2)CD=500sin21°，AD=500cos21°，BD=700-500cos21°，所以BC2=CD2+BD2=5002sin221°+(700-500cos21°)2=5002+7002-2×500×700cos21°。

問題4：若問題3中三角形的三條邊分別用字母a，b，c表示，三個角分別用字母A，B，C表示，你能發(fā)現(xiàn)隱藏在其中的定量關系嗎？這些關系式有幾組？

余弦定理：

從具體的問題情境出發(fā)，利用初中解直角三角形的思路，經(jīng)歷從特殊到一般的發(fā)現(xiàn)與歸納，最終同時獲得兩個定理，你說這樣的推導思路不“自然”嗎？但如果參照“以向量作為研究平面幾何問題的工具”這個教材意圖，上面的推導方法顯然偏離方向。事實上，從現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展來看，傳統(tǒng)的幾何學已經(jīng)走向沒落，很難有新的突破，而以向量為分析工具的幾何，比如，解析幾何、向量幾何還是方興未艾，教材正是在這樣的大背景下才萌發(fā)了這樣的“意圖”。由此可見，教材的自然編寫意圖直指“怎樣才能學得好”，遵循教材的自然編寫意圖可以實現(xiàn)知識系統(tǒng)建構的“自然”。

綜上所述，教學“自然”并非說不清道不明，而是既要考慮數(shù)學本身因素，又要考慮學生因素，還要考慮教材因素，最后需要綜合多種因素，才能形成比較自然的教學方案?！?/p>