王小妹，王占平

西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州 730070

受以上結(jié)論的啟發(fā)，本文主要研究Gorenstein內(nèi)射Phantom態(tài)射．

1 預(yù)備知識

本文中所提到的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)，模均指左R-模．R-Mod(Mod-R)表示左(右)R-模范疇．

定義1用H(R)表示R-Mod的態(tài)射范疇，其中：

(a)H(R)中的對象是左R-模同態(tài)；

使得圖

交換．

由文獻(xiàn)[12]可得，態(tài)射范疇H(R)是局部有限表示的Grothendieck范疇．

2 Gorenstein內(nèi)射Phantom態(tài)射

文獻(xiàn)[13]在一般環(huán)上引入了Gorenstein內(nèi)射模的概念．

Gorenstein內(nèi)射模的類記為ΓI．

由此我們引入Gorenstein內(nèi)射Phantom態(tài)射的概念．

命題1在H(R)中，ΓI-Phantom態(tài)射的類關(guān)于直積封閉．

證對任意的內(nèi)射左R-模E，考慮交換圖

(i)φ是ΓI-Phantom態(tài)射；

是HomR(E，-)-正合的．

(ii)?(i)假設(shè)(ii)成立，則對任意的內(nèi)射左R-模E，考慮交換圖

有δExt1(E，φ)=0． 因?yàn)棣氖菃蔚模訣xt1(E，φ)=0，即φ是ΓI-Phantom態(tài)射．

3 高維Gorenstein內(nèi)射Phantom態(tài)射

下面引入高維Gorenstein內(nèi)射Phantom態(tài)射的概念，即n-Gorenstein內(nèi)射Phantom態(tài)射(n∈N+)．

n-ΓI-Phantom態(tài)射的類記為Φn-ΓI．

注1當(dāng)n=1時，1-ΓI-Phantom態(tài)射就叫作Gorenstein內(nèi)射Phantom態(tài)射，即ΓI-Phantom態(tài)射．

(i)φ是n-ΓI-Phantom態(tài)射；

(ii)?(iii)?(iv)?(v)顯然．

(v)? (i)考慮行正合的交換圖

因?yàn)棣課-2是Gorenstein內(nèi)射態(tài)射，所以Gn-2，G′n-2是Gorenstein內(nèi)射模，即Ext2(E，Gn-2)=0，Ext2(E，G′n-2)=0． 則β是滿射，所以Ext2(E，kn-2)β=0． Ext2(E，kn-2)=0． 重復(fù)上述過程，有Extn(E，φ)=0． 所以φ是n-ΓI-Phantom態(tài)射．