張翠萍，楊銀銀

(西北師范大學 數學與統計學院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

1969年，Auslander等[1]對雙邊Noetherian環(huán)上有限生成模引入了G-維數的定義，此后，Enochs等[2-3]對一般環(huán)引入了Gorenstein投射(內射， 平坦)模的概念．2007年，Bennis等[4]研究了強Gorenstein投射(內射, 平坦)模;丁南慶等[5-6]研究了Gorenstein FP-內射模、Gorenstein平坦模的性質及其聯系;高增輝等[7]給出了Gorenstein FP-內射模的另一種定義，并研究了其性質以及強Gorenstein FP-內射模的性質．

近年來，分次環(huán)的同調理論在代數幾何中得到了廣泛應用.1998年，Asensio等[8-9]引入了Gorenstein gr-投射(內射, 平坦)模，討論了這些模類的性質以及與未分次下相應模類之間的關系，進而文獻[10-11]研究了分次模范疇中模的Gorenstein投射(平坦)覆蓋及Gorenstein內射包絡．毛立新[12]研究了強Gorenstein gr-投射(內射, 平坦)模，得到了許多與未分次情況下類似的結論．2000年，Asensio等[13]引入了FP-gr-內射模并刻畫了其性質．2011年，Yang等[14]進一步研究了FP-gr-內射模以及分次模的FP-gr-內射包絡和FP-gr-內射覆蓋．2018年,高增輝等[15]把Gorenstein FP-內射模的相關性質推廣到了分次環(huán)上．

受以上工作的啟發(fā)，文中研究強Gorenstein FP-gr-內射模的性質，討論強Gorenstein FP-gr-內射模與強Gorenstein gr-平坦模之間的關系以及這類模在分次與未分次之間的聯系．

1 預備知識

除非特別說明，文中環(huán)均指有單位元1的結合環(huán)，模均指酉模．

設G是乘法群，e為其單位元．稱環(huán)R為分次環(huán)，如果它有一個加法子群的直和分解R=⊕σ∈GRσ,使得對任意的σ,τ∈G，有RσRτ=Rστ．易得Re是R的一個子環(huán)，1∈Re且對任意σ∈G，Rσ是Re-雙模．稱左R-模M是分次左R-模，如果M有一個加法子群的直和分解M=⊕σ∈GMσ，使得對任意σ,τ∈G，有RσMτ?Mστ．顯然對任意σ∈G，Mσ是左Re-模．

定義1[12]稱分次左R-模M是強Gorenstein gr-平坦模，如果在R-gr中存在一個gr-平坦左R-模的正合列

使得M?Kerα，且對任意的gr-內射右R-模I，有I?R-grF正合．

定義2[15]稱分次左R-模M是Gorenstein FP-gr-內射模，如果存在一個FP-gr-內射左R-模的正合列

使得M?Ker(E0→E1)，且對任意滿足pd(P)<∞的有限表示分次左R-模P，有HomR-gr(P,E)正合．

定義3[17]稱左R-模M是強Gorenstein FP-內射模，如果存在一個FP-內射左R-模的正合列

使得M?Kerα，且對任意滿足pd(P)<∞的有限表示左R-模P，有HomR(P,E)正合．

2 強Gorenstein FP-gr-內射模

定義4設R是分次環(huán)．稱分次左R-模M是強Gorenstein FP-gr-內射模，如果在R-gr中存在一個FP-gr-內射左R-模的正合列

使得M?Kerα，且對任意投射維數有限的有限表示分次左R-模P，有HomR-gr(P,E)正合．

注1由定義4可知，強Gorenstein FP-gr-內射模類關于直積封閉；強Gorenstein FP-gr-內射左R-模是Gorenstein FP-gr-內射的．

證明必要性.顯然．

充分性.設在R-gr中存在正合列0→M→E→M→0，其中E是FP-gr-內射左R-模，則有正合列

命題2設R是分次環(huán)，則每個FP-gr-內射左R-模是強Gorenstein FP-gr-內射的．

文獻[12]定理2.4證明了每個Gorenstein gr-內射左R-模是某個強Gorenstein gr-內射左R-模的直和項．

定理1設R是分次環(huán)，則每個Gorenstein FP-gr-內射左R-模是某個強Gorenstein FP-gr-內射左R-模的直和項．

證明設M是Gorenstein FP-gr-內射左R-模，則在R-gr中存在FP-gr-內射左R-模的正合列

使得M?Kerf0，且對任意滿足pd(P)<∞的有限表示分次左R-模P，有HomR-gr(P,E)正合．

設N=∏Ei，則N是FP-gr-內射左R-模，定義f:N→N．令f=∏f，易得f∈HomR-gr(N,N)，在R-gr中得到復形

又因為Imf=∏Imfi=∏Kerfi=Kerf，所以復形C是正合的．對任意的有限表示分次左R-模P且pd(P)<∞，有

HomR-gr(P,C)?(HomR-gr(P,E))N.

由HomR-gr(P,E)正合可知HomR-gr(P,C)正合,故M是強Gorenstein FP-gr-內射左R-模． 】

文獻[15]定理2.1證明了在左gr-凝聚環(huán)上，分次左R-模M是Gorenstein FP-gr-內射模當且僅當存在定義2中的正合列．類似可得下列結論．

定理2設R是左gr-凝聚環(huán)，M∈R-gr，則M是強Gorenstein FP-gr-內射左R-模當且僅當存在一個FP-gr-內射左R-模的正合列

使得M?Kerα．

證明必要性.顯然．

充分性.設存在一個FP-gr-內射左R-模的正合列

使得M?Kerα．只需證明對任意滿足pd(P)<∞的有限表示分次左R-模P，有HomR-gr(P,E)正合．不妨設pd(P)=m<∞，對m進行歸納．

若m=0， 則結論顯然成立．

定義分次左R-模M的Gorenstein FP-gr-內射維數為：G-FP-gr-idR(M)=inf{n|存在正合列0→M→E0→E1→…→En→0，其中Ei是Gorenstein FP-gr-內射左R-模}．如果這樣的n不存在，則記G-FP-gr-idR(M)=∞．

命題3設R是左gr-凝聚環(huán)，則以下各結論等價：

(1)每個強Gorenstein FP-gr-內射左R-模是FP-gr-內射的；

(2)每個Gorenstein FP-gr-內射左R-模是FP-gr-內射的；

(3)對每個分次左R-模M，G-FP-gr-idR(M)=FP-gr-idR(M)．

證明(1)?(2).設M是Gorenstein FP-gr-內射左R-模，則由定理1可知，存在強Gorenstein FP-gr-內射左R-模N，使得M是N的直和項．由已知N是FP-gr-內射左R-模，故M是FP-gr-內射左R-模．

(2)?(1).設M是強Gorenstein FP-gr-內射左R-模，由注1知，M是Gorenstein FP-gr-內射左R-模，故M是FP-gr-內射左R-模．

(2)?(3).設M是分次左R-模，由文獻[14]引理3.7知,G-FP-gr-idR(M)≤FP-gr-idR(M)．下面證明FP-gr-idR(M)≤G-FP-gr-idR(M)．假設G-FP-gr-idR(M)=m<∞，則存在正合列0→M→E0→…→Ei→…→Em→0,其中Ei是Gorenstein FP-gr-內射左R-模，0≤i≤m．由(2)知，Ei是FP-gr-內射的．由文獻[14]引理3.7知，FP-gr-idR(M)≤m，故G-FP-gr-idR(M)=FP-gr-idR(M)．

(3)?(2)顯然． 】

文獻[12]定理3.10討論了強Gorenstein gr-平坦模和強Gorenstein gr-內射模之間的關系，以下我們討論強Gorenstein gr-平坦模和強Gorenstein FP-gr-內射模之間的關系．

命題4設R是左gr-凝聚環(huán)，M∈R-gr．如果M是強Gorenstein gr-平坦的，那么M+是強Gorenstein FP gr-內射右R-模．

證明設M是強Gorenstein gr-平坦的，則在R-gr中存在gr-平坦左R-模的正合列

使得M?Kerα．由文獻[13]定理3.5知，存在FP-gr-內射右R-模的正合列

使得M+?Ker(α+)．再由定理2知，M+是強Gorenstein FP-gr-內射右R-模． 】

稱環(huán)R是gr-n-FC環(huán)，如果R是左右gr-凝聚環(huán)，且RR,RR分別有有限FP-gr-內射維數[9]．

命題5設R是gr-n-FC環(huán)，M∈R-gr．如果M是強Gorenstein FP-gr-內射左R-模，那么M+是強Gorenstein gr-平坦右R-模．

證明設M是強Gorenstein FP-gr-內射左R-模，則在R-gr中存在FP-gr-內射左R-模的正合列

使得M?Kerα．由文獻[13]定理3.7知，存在gr-R中的正合列

使得M+?Ker(α+)，E+是gr-平坦的．由文獻[12]定理3.10知，M+是強Gorenstein gr-平坦右R-模． 】

設U:R-gr→R-Mod是遺忘函子，它把R-gr中的分次左R-模M映成不考慮分次結構的左R-模M．令F:R-Mod→R-gr是U的右伴隨函子，它把R-Mod中的左R-模M映成分次左R-模F(M)，其中F(M)=⊕σ∈GσM,σM=M,σM中的元記為：σM={σx|x∈M},R-模結構定義為：r*τx=τσ(rx).如果f:M→N是R-線性的，則F(f)：F(M)→F(N)是一個分次態(tài)射，其中F(f)(σx)=σf(x)．特別地，當G是有限群時，由文獻[19]定理2.5.1知，(F,U)是一個伴隨對．

下面討論強Gorenstein FP-內射模與強Gorenstein FP-gr-內射模之間的關系．

命題6設R是分次環(huán)，M∈R-gr．如果M是強Gorenstein FP-內射模，那么F(M)是強Gorenstein FP-gr-內射的．

證明設M是強Gorenstein FP-內射模，則存在FP-內射左R-模的正合列

使得M?Kerα，且對任意投射維數有限的有限表示左R-模P，有HomR(P,E)正合．因為F是正合函子，所以有R-gr中的正合列

使得F(M)?Ker(F(α))．由文獻[14]引理2.3知，F(E)是FP-gr-內射的．

設Q是任意投射維數有限的有限表示分次左R-模，下證HomR-gr(Q,F(E))正合．因為(U,F)是伴隨對，所以有同構式

HomR(U(Q),-)?HomR-gr(Q,F(-)),

從而得到交換圖

由于U(Q)是投射維數有限的有限表示左R-模，上圖中的下行正合，因此上行是正合的，即有HomR-gr(Q,F(E))正合．從而F(M)是強Gorenstein FP-gr-內射的． 】

命題7設R是分次環(huán)，G是有限群，M∈R-gr．如果M是強Gorenstein FP-gr-內射模，那么U(M)是強Gorenstein FP-內射的．

證明設M是強Gorenstein FP-gr-內射模，則存在FP-gr-內射左R-模的正合列

使得M?Kerα，且對任意投射維數有限的有限表示分次左R-模P，有HomR-gr(P,E)正合．因為U是正合函子，所以存在左R-模正合列

使得U(M)?Ker(U(α))．由文獻[14]推論2.4知，U(E)是FP-內射的．

設Q是任意投射維數有限的有限表示左R-模，下證HomR(Q,U(E)正合．因為G是有限群，所以有同構式

HomR-gr(F(Q),-)?HomR(Q,U(-)),

從而得到交換圖

因為G是有限群，所以F(Q)是投射維數有限的有限表示分次左R-模，上圖中下行正合，從而有上行正合，即HomR(Q,U(E))正合．故U(M)是強Gorenstein FP-內射的． 】