王永鐸，秦麗芳

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院,甘肅 蘭州 730050)

文中記R是有單位元的結(jié)合環(huán)，M是右R模，N≤M表示N是M的子模，N|M表示N是M的直和項(xiàng)，r(A)表示A在R中的右零化子，E(M)表示M的內(nèi)射包，EndR(M)表示M的自同態(tài)環(huán)，HomR(X,Y)表示R-模X到Y(jié)的同態(tài)集.

2014年，Amin等[1]引入了D3模.稱M是D3模，如果M1|M,M2|M且M=M1+M2，那么M1∩M2是M的直和項(xiàng).文獻(xiàn)[1]證明了所有R-模是D3模當(dāng)且僅當(dāng)R是半單環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng)所有內(nèi)射R-模的商模是D3模，當(dāng)且僅當(dāng)任意兩個(gè)D3模的直和是D3模，當(dāng)且僅當(dāng)R-模(R⊕R)R的商模是D3模.2019年，Tademir等[2]引入了廣義SIP模(簡稱GSIP模).稱M是GSIP模，如果M的任意兩個(gè)直和項(xiàng)的交同構(gòu)于M的直和項(xiàng).受文獻(xiàn)[1，2]的啟發(fā)，我們引入了廣義D3模(簡稱G-D3模)的概念.稱M是G-D3模，如果M1|M,M2|M且M=M1+M2，那么M1∩M2同構(gòu)于M的直和項(xiàng).文中給出了G-D3模和D3模互不包含的例子，證明了：遺傳環(huán)R是半單環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)所有R-模是G-D3模，當(dāng)且僅當(dāng)所有內(nèi)射R-模的商模是G-D3模；遺傳環(huán)R是右V-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)有限余生成R-模是G-D3模，當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)有限余表示R-模是G-D3模.稱M是SSP模[3]，如果M的任意兩個(gè)直和項(xiàng)的和是M的直和項(xiàng).稱M是virtually半單模[4]，如果M的每個(gè)子模同構(gòu)于M的直和項(xiàng).稱M的子模N是完全不變子模[5]，如果對任意的f∈EndR(M),均有f(N)?N.稱M是(弱)duo模[5]，如果M的每個(gè)(直和項(xiàng))子模是完全不變子模.稱M是有限余生成模[6]，如果M的基座是有限生成的且在M中本質(zhì).稱X是有限余表示模[6]，如果X是有限余生成的，且正合列0→X→L→N→0中L是有限余生成的，N也是有限余生成的.稱M滿足C2條件[7]，如果同構(gòu)于M的直和項(xiàng)的子模N是M的直和項(xiàng).稱R是右V-環(huán)[6]，如果任意單右R-模是內(nèi)射模.

1 主要結(jié)果

定義1稱M是廣義D3模(簡稱G-D3模)，如果M1|M,M2|M且M=M1+M2，那么M1∩M2同構(gòu)于M的直和項(xiàng).

證明由文獻(xiàn)[4]例2.7可知:MR是virtually半單模，所以MR是G-D3模.因?yàn)镈3模的直和項(xiàng)仍為D3模，而Z4⊕Z2不是D3模，所以MR不是D3模. 】

定理1設(shè)M是G-D3模.若M=A⊕B，其中A,B≤M,f:A→B是滿同態(tài)，則Kerf同構(gòu)于M的直和項(xiàng).

證明設(shè)T={a+f(a)|a∈A},則T≤M.設(shè)x∈M,x=a+b,a∈A,b∈B，則x=a+f(a)-f(a)+b∈T+B,因此M=T+B.再設(shè)x=a+f(a)∈T∩B，其中a∈A，則a=x-f(a)∈A∩B=0，從而a=0，故x=f(a)=0,因此T∩B=0.這樣M=T⊕B.

設(shè)x∈M=A⊕B，則x=a+b，其中a∈A,b∈B.因?yàn)閒是滿同態(tài)，所以存在a1∈A，使得b=f(a1)，從而x=a+b=a+f(a1)=a-a1+a1+f(a1)∈A+T，即M=A+T．又因?yàn)镸是G-D3模，所以A∩T同構(gòu)于M的直和項(xiàng)．

設(shè)x∈A∩T，則x=a=a1+f(a1)，其中a,a1∈A，從而a-a1=f(a1)∈A∩B=0，進(jìn)而x=a=a1,f(x)=f(a)=f(a1)=0，因此x∈Kerf,即A∩T?Kerf．設(shè)x∈Kerf，則x=x+f(x)∈A∩T，從而Kerf?A∩T．因此Kerf=A∩T．又因?yàn)锳∩T同構(gòu)于M的直和項(xiàng)，所以Kerf同構(gòu)于M的直和項(xiàng)． 】

推論1設(shè)M是G-D3模．若M=A+B，其中A|M,B≤M,M/A?M/B，則A∩B同構(gòu)于M的直和項(xiàng)．

證明因?yàn)锳|M，所以存在N≤M，使得M=A⊕N，從而N?M/A?M/B=(A+B)/B?A/(A∩B)．這樣，存在滿同態(tài)f:A→N使得Kerf=A∩B，故由定理1知，Kerf同構(gòu)于M的直和項(xiàng)，即A∩B同構(gòu)于M的直和項(xiàng)． 】

命題1設(shè)M是R-模,則M是G-D3模當(dāng)且僅當(dāng)對于M=K⊕K′=L⊕L′=K+L且π:M→K′是標(biāo)準(zhǔn)投影，Ker(π|L)同構(gòu)于M的直和項(xiàng)．

證明必要性.設(shè)M是G-D3模．因?yàn)镸=K⊕K′,π:M→K′是標(biāo)準(zhǔn)投影，所以Kerπ=K，從而Ker(π|L)=Kerπ∩L=K∩L．又因?yàn)镸是G-D3模且M=K+L，所以K∩L同構(gòu)于M的直和項(xiàng)，即Ker(π|L)同構(gòu)于M的直和項(xiàng)．

充分性.設(shè)K|M，L|M且M=K+L．因?yàn)镵|M，所以存在K′≤M，使得M=K⊕K′．設(shè)π:M→K′是標(biāo)準(zhǔn)投影，則Ker(π|L)=K∩L．由假設(shè)知，Ker(π|L)同構(gòu)于M的直和項(xiàng)，從而K∩L同構(gòu)于M的直和項(xiàng)，即M是G-D3模． 】

定理2設(shè)M是G-D3模,則M是D3模當(dāng)且僅當(dāng)對于A1|M,A2|M,M=A1+A2且有R-同構(gòu)σ:A1∩A2→P，其中P|M，σ可以擴(kuò)張成某個(gè)θ∈EndR(M)．

證明必要性.設(shè)A1|M,A2|M,M=A1+A2且有R-同構(gòu)σ:A1∩A2→P，其中P|M．因?yàn)镸是D3模，所以(A1∩A2)|M，從而存在B≤M，使得M=(A1∩A2)⊕B．通過θ(a+b)=σ(a)定義θ:M→M，其中a∈A1∩A2,b∈B．因此對任意的a∈A1∩A2,有θ(a)=σ(a)，故θ|A1∩A2=σ．

充分性.設(shè)A1|M,A2|M,M=A1+A2．因?yàn)镸是G-D3模，所以存在P|M，使得σ:A1∩A2→P是同構(gòu)且σ(A1∩A2)|M，從而由假設(shè)知，σ可以擴(kuò)張成同態(tài)θ:M→M．設(shè)π:M→σ(A1∩A2)是標(biāo)準(zhǔn)投影，則ψ=πθ:M→σ(A1∩A2)是同態(tài)．因此對任意的x∈A1∩A2,ψ(x)=πθ(x)=πσ(x)=σ(x)．因?yàn)閷θ我鈓∈M,ψ(m)=σ(n)=ψ(n),n∈A1∩A2，所以m-n∈Kerψ．而m=m-n+n，故M=Kerψ+(A1∩A2)．設(shè)z∈Kerψ∩(A1∩A2)，則z∈A1∩A2,z∈Kerψ，從而ψ(z)=0,σ(z)=ψ(z)=0,因此z=0．這樣M=Kerψ⊕(A1∩A2)，進(jìn)而(A1∩A2)|M，即M是D3模． 】

命題2若R-模M滿足C2條件，則M是G-D3模當(dāng)且僅當(dāng)M是D3模．

證明必要性.設(shè)A1|M,A2|M,M=A1+A2．因?yàn)镸是G-D3模，所以存在K|M，使得(A1∩A2)?K．又因?yàn)镸滿足C2條件，所以(A1∩A2)|M，即M是D3模．

充分性.顯然． 】

推論2內(nèi)射模M是G-D3模當(dāng)且僅當(dāng)M是D3模．

下面的例3說明兩個(gè)G-D3模的直和不一定是G-D3模．

例3考慮Z-模Z8⊕Z2．因?yàn)閆8,Z2是不可分解模，所以Z8,Z2是G-D3模．通過

引理1[8]設(shè)R-模M=M1⊕M2．若r(M1)+r(M2)=R，則對于任意的N≤M有N=N1⊕N2，其中N1≤M1,N2≤M2．

定理3設(shè)P是R-模．若P=A⊕B是P的一個(gè)分解，A,B是G-D3模,且r(A)+r(B)=R，則P是G-D3模．

證明設(shè)X|(A⊕B),Y|(A⊕B),A⊕B=X+Y.由引理1知，X=A1⊕B1,Y=A2⊕B2，其中A1≤A,A2≤A,B1≤B,B2≤B，因此A1|A,A2|A,B1|B,B2|B．因?yàn)锳⊕B=X+Y，所以A+B=X+Y=A1+B1+A2+B2=A1+A2+B1+B2，從而A=A1+A2,B=B1+B2．又因?yàn)锳,B是G-D3模，所以A1∩A2同構(gòu)于A的直和項(xiàng)，B1∩B2同構(gòu)于B的直和項(xiàng)，從而(A1∩A2)⊕(B1∩B2)同構(gòu)于A⊕B的直和項(xiàng)．

下證(A1∩A2)+(B1∩B2)=(A1+B1)∩(A2+B2)．設(shè)a+b∈(A1∩A2)+(B1∩B2)，其中a∈A1∩A2,b∈B1∩B2，則a∈A1且a∈A2,b∈B1且b∈B2，從而a+b∈A1+B1且a+b∈A2+B2．因此a+b∈(A1+B1)∩(A2+B2)，即(A1∩A2)+(B1∩B2)?(A1+B1)∩(A2+B2)．設(shè)x=a1+b1=a2+b2∈(A1+B1)∩(A2+B2)，其中a1∈A1,b1∈B1且a2∈A2,b2∈B2，則a1-a2=-b1+b2∈(A1+A2)∩(B1+B2)=0，從而a1=a2∈A1∩A2,b1=b2∈B1∩B2．因此x=a1+b1=a2+b2∈(A1∩A2)+(B1∩B2)，即(A1+B1)∩(A2+B2)?(A1∩A2)+(B2∩B2)．故(A1∩A2)+(B1∩B2)=(A1+B1)∩(A2+B2)，進(jìn)而(A1∩A2)⊕(B1∩B2)=(A1⊕B1)∩(A2⊕B2)=X∩Y.因此X∩Y同構(gòu)于A⊕B的直和項(xiàng)，即P=A⊕B是G-D3模． 】

定理4設(shè)M是G-D3模．若M=M1⊕M2是M的一個(gè)分解且有Hom(M1,M2)=0，則M2是G-D3模．

證明設(shè)A|M2,B|M2且M2=A+B，則A|M,B|M．因?yàn)镸=M1⊕M2，所以M=M1⊕(A+B)．又因?yàn)镸是G-D3模，(M1⊕A)|M,B|M，所以存在N|M，使得(M1⊕A)∩B?N．而(M1⊕A)∩B=A∩B，因此A∩B?N．因?yàn)镹|M，所以存在N′≤M，使得M=N⊕N′．又因?yàn)镠om(M1,M2)=0，所以由文獻(xiàn)[5]引理1.9知，M1是M的完全不變子模，從而M1=M∩M1=(N⊕N′)∩M1=(N∩M1)⊕(N′∩M1)．因?yàn)镠om(M1,N)=0(若Hom(M1,N)≠0，則有非零同態(tài)f:M1→N?A∩B→M2與Hom(M1,M2)=0矛盾)，所以N∩M1=0(若有非零元x∈N∩M1，則M1→N∩M1→N非零與Hom(M1,N)=0矛盾)，從而M1≤N′．因此N′=M1⊕(N′∩M2)．又因?yàn)镸=N⊕N′，所以M=N⊕M1⊕(N′∩M2)=M1⊕M2，從而M2?N⊕(N′∩M2)，進(jìn)而N同構(gòu)于M2的直和項(xiàng)．因此A∩B同構(gòu)于M2的直和項(xiàng)，即M2是G-D3模． 】

命題3設(shè)M是G-D3模．若M是SSP模，則M是GSIP模．

證明設(shè)X|M,Y|M．因?yàn)镸是SSP模，所以(X+Y)|M，故存在L≤M，使得M=(X+Y)⊕L．因?yàn)閄,Y,L是M的直和項(xiàng)且M是SSP模，所以(X+L)|M,(Y+L)|M．又因?yàn)镸=(X+L)+(Y+L)且M是G-D3模，所以(X+L)∩(Y+L)同構(gòu)于M的直和項(xiàng)．顯然(X+L)∩(Y+L)=[X∩(X+Y)]+L．設(shè)x=x1+x2∈X∩(Y+L)，其中x∈X,x1∈Y,x2∈L，則x2=x-x1∈(X+Y)∩L=0，從而x-x1=x2=0．因此x=x1∈X∩Y，即X∩(Y+L)?X∩Y．顯然X∩Y?X∩(Y+L),所以X∩Y=X∩(Y+L),(X∩Y)+L=[X∩(Y+L)]+L．于是有(X+L)∩(Y+L)=[X∩(Y+L)]+L=(X∩Y)⊕L．

記P=(X+L)∩(Y+L)=(X∩Y)⊕L，則(X∩Y)|P．又因?yàn)镻同構(gòu)于M的直和項(xiàng)，所以存在K|M，使得P?K，從而X∩Y同構(gòu)于K的直和項(xiàng)，進(jìn)而X∩Y同構(gòu)于M的直和項(xiàng)，即M是GSIP模． 】

推論4設(shè)M是SSP模，則M是G-D3模當(dāng)且僅當(dāng)M是GSIP模．

命題4設(shè)R是交換的Noetherian環(huán)，M=M1⊕M2，其中M1,M2是M的不可分解子模．若M是G-D3模且滿足C2條件，f:M1→M2是滿同態(tài)，則f=0或f是同構(gòu)，且對于每一個(gè)非零的x∈M1,r(x)=A，其中A是R的素理想．

證明設(shè)f≠0．因?yàn)镸是G-D3模且滿足C2條件，所以由命題2知，M是D3模，從而由文獻(xiàn)[1]命題4知，Kerf|M1．又因?yàn)镸1是不可分解子模且f≠0，所以Kerf=0，從而f是單同態(tài)，即f是同構(gòu)．

設(shè)0≠x,y∈M1且a∈r(x),a?r(y)(即r(x)≠r(y))．通過β(m)=f(ma)定義β:M1→M2，其中m∈M1，則顯然β是滿同態(tài)．因?yàn)閍∈r(x)，所以xa=0，從而f(xa)=β(x)=0．因此x∈Kerβ．又因?yàn)閤≠0，所以β不是單同態(tài)，且不是同構(gòu)．因?yàn)閍?r(y)，所以ya≠0，從而f(ya)=β(y)≠0．因此β≠0，即β不是零同態(tài)．又因?yàn)镸=M1⊕M2是D3模，所以Kerβ|M1，從而Kerβ=0與β不是單同態(tài)矛盾．因此對于所有非零的x,y∈M1,有r(x)=r(y)．故由文獻(xiàn)[9]定理6知，r(x)是素理想. 】

定理5設(shè)R是遺傳環(huán),則下列條件等價(jià)：

(1)R是半單環(huán)；

(2)所有R-模是G-D3模；

(3)所有內(nèi)射R-模的商模是G-D3模．

證明(1)?(2)?(3)顯然．

(3)?(1).因?yàn)镽是遺傳環(huán)，所以由文獻(xiàn)[10]練習(xí)18.10知，內(nèi)射R-模的商模仍是內(nèi)射模，從而由推論2知，所有內(nèi)射R-模的商模是D3模．由文獻(xiàn)[1]命題30知，R是半單環(huán)． 】

命題5設(shè)R是遺傳環(huán),則下列條件等價(jià)：

(1)R是Noetherian環(huán)，且G-D3模的直和仍為G-D3模；

(2)R是半單環(huán)．

證明(1)?(2).設(shè)M是內(nèi)射R-模的商模．因?yàn)镽是遺傳環(huán)，所以由文獻(xiàn)[10]練習(xí)18.10知，內(nèi)射R-模的商模仍是內(nèi)射模，從而M是內(nèi)射R-模．又因?yàn)镽是Noetherian環(huán)，所以由文獻(xiàn)[11]定理6.6.4知，M是不可分解子模的直和．而不可分解模是G-D3模，所以M是G-D3模，再由定理5知，R是半單環(huán)．

(2)?(1).若R是半單的，則由文獻(xiàn)[6]知，所有R-模是內(nèi)射模;再由定理5可知，所有R-模是G-D3模，從而內(nèi)射R-模的直和仍為內(nèi)射模．因此由文獻(xiàn)[10]命題18.13易知，環(huán)R是Noetherian環(huán)，且G-D3模的直和仍為G-D3模． 】

引理2[6]設(shè)R是環(huán),則下列條件等價(jià)：

(1)R是右V-環(huán)；

(2)每個(gè)有限余生成R-模是半單模；

(3)每個(gè)有限余表示R-模是內(nèi)射模．

定理6設(shè)R是遺傳環(huán),則下列條件等價(jià)：

(1)R是右V-環(huán)；

(2)每個(gè)有限余生成R-模是G-D3模；

(3)每個(gè)有限余表示R-模是G-D3模．

證明(1)?(2).由文獻(xiàn)[6]可得．

(2)?(3).由定義可得．

(3)?(1).設(shè)M是有限余表示R-模．由文獻(xiàn)[6]知，E(M)和E(M)/M是有限余生成的．因?yàn)镽是遺傳環(huán)，所以內(nèi)射模的商模是內(nèi)射模，從而E(M)/M是內(nèi)射模．又因?yàn)橛邢抻嗌蓛?nèi)射模是有限余表示的，所以由假設(shè)和文獻(xiàn)[6]知，E(M)⊕E(M)/M是G-D3模．設(shè)f:E(M)→E(M)/M是滿同態(tài)，則由定理1知，Kerf=M同構(gòu)于E(M)⊕E(M)/M的直和項(xiàng)．因?yàn)閮?nèi)射模的直和項(xiàng)仍為內(nèi)射模，所以M同構(gòu)于內(nèi)射模．因此由引理2知，R是右V-環(huán)． 】

命題6如果遺傳環(huán)R滿足“G-D3模的直和仍為G-D3?！?，那么R是右V-環(huán)．

證明設(shè)M是有限余生成R-模，則由文獻(xiàn)[6]知，M是不可分解模的直和．因?yàn)椴豢煞纸饽Ｊ荊-D3模，所以M是G-D3模的直和，進(jìn)而由假設(shè)知，M是G-D3模．因此由定理6知，R是右V-環(huán)． 】