周群益

(廣州理工學(xué)院通識教育學(xué)院 廣東 廣州 510540)

莫云飛

(長沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院 湖南 長沙 410022)

周麗麗

(贛南醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 江西 贛州 341000)

侯兆陽

(長安大學(xué)理學(xué)院 陜西 西安 710064)

1 引言

文獻(xiàn)[1]用MATLAB輔助電動力學(xué)教學(xué)做了有益的探索．將導(dǎo)體球放在勻強電場中，利用電磁場的邊值關(guān)系，用二維彩色圖片和色棒說明電場強度的分量和合場強的分布規(guī)律．不過，文獻(xiàn)[1]中并沒有介紹場強的數(shù)學(xué)模型，彩色圖片變成黑白圖片后并不鮮明．有一些教師已經(jīng)在電磁學(xué)和電動力學(xué)的教學(xué)和研究中應(yīng)用MATLAB[2,3]，取得了顯著的成績．這些文獻(xiàn)并沒有計算和繪圖程序．文獻(xiàn)[3]采用三維等高線表示電勢，用曲面表示場強大小，用電場線和等勢線表示電場，用動畫演示電磁波傳播的過程和電偶極子發(fā)射電磁波的過程．這些都是常用的方法，在筆者10年前出版的著作中就已經(jīng)廣泛采用了[4]．許多電場問題都可以表示為直角坐標(biāo)系中的二元函數(shù)，將公式無量綱化，即可用MATLAB的surf指令或mesh指令畫曲面，用二維和三維等高線指令contour和contour3畫等勢線，用流線指令streamline畫電場線[5～7]．

本文以導(dǎo)體球放在勻強電場中形成的電場為例，根據(jù)電動力學(xué)理論建立數(shù)學(xué)模型，將公式無量綱化，用柱坐標(biāo)系中的曲面表示場強的分量，用直角坐標(biāo)系的曲面表示電勢，用等高線指令畫電場線和等勢線，顯示電場和電勢的分布規(guī)律．文本附加的程序說明了實現(xiàn)方法和指令，程序設(shè)計的技巧很有啟示作用．

2 勻強電場中放置導(dǎo)體球后的電場

在真空中有一勻強電場E0，放置一個半徑為a的導(dǎo)體球，圖1所示為未發(fā)生靜電感應(yīng)時的狀態(tài)，靜電感應(yīng)之前，電場線穿過導(dǎo)體球．由于靜電感應(yīng)，導(dǎo)體球的左右兩邊會產(chǎn)生感應(yīng)電荷，使球內(nèi)的場強為零，球外的電場會發(fā)生形變．由于電場具有軸對稱性，取球心為原點O，取E0方向為極軸的方向建立極坐標(biāo)系，并建立直角坐標(biāo)系．

圖1 單獨的勻強電場和導(dǎo)體球的截面圖

導(dǎo)體球內(nèi)部的場強為零，球心電勢取為零．球外沒有自由電荷，電勢滿足拉普拉斯方程，其通解為[8]

(1)

U→-E0ρP(cosθ) = -E0ρcosθ

(2)

所以

a1= -E0an= 0 (n≠ 1)

(3)

在ρ=a的表面上有U= 0，所以

所以

b1= -a1a3=a3E0bn= 0 (n≠ 1)

(4)

球外的電勢為

(5)

其中，第一項是外電場產(chǎn)生的電勢，第二項是感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電勢，等效于一個電偶極子產(chǎn)生的電勢．由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以電勢可用直角坐標(biāo)表示

(6)

其中，極徑ρ是x和y的二元函數(shù)

(7)

當(dāng)U取常數(shù)時，式(5)和(6)就是等勢線方程．當(dāng)式(5)和(6)不取第一項時，可得

(8)

當(dāng)Up取常數(shù)時，上式就是感應(yīng)電荷電場的等勢線方程．

場強在直角坐標(biāo)系中兩個分量分別為

(9)

(10)

當(dāng)y= 0時，可得軸線上的場強

(11)

當(dāng)x= 0時，可得中垂線上的場強

(12)

合場強大小為

(13)

其方向與x軸正向夾角為

(14)

場強在極坐標(biāo)系中的兩個分量分別為

(15)

(16)

由于電場線的切線方向與場強的方向相同，二者的斜率相同，故可在極坐系中建立電場線的微分方程

(17)

分離變量得

即

積分可得

電場線在極坐標(biāo)系中的隱函數(shù)方程為

(18)

其中c=eC．由于y=ρsinθ，所以電場線在直角坐標(biāo)系中的隱函數(shù)方程為

(19)

(20)

3 公式的無量綱化

取a為坐標(biāo)單位，E0為場強單位，則無量綱的場強分量分別為

(9*)

(10*)

(7*)

無量綱的合場強和方向分別為

(13*)

取U0=E0a為電勢單位，則無量綱的電勢為

(6*)

當(dāng)電勢U*為常數(shù)時，上式就是等勢線方程．電場線的隱函數(shù)方程為

(19*)

常數(shù)由電場線的坐標(biāo)決定．同理可以將感應(yīng)電荷的等勢線方程和電場線方程無量綱化．

4 電場的可視化

根據(jù)無量綱公式，利用MATLAB的指令即可設(shè)計程序，繪制電場強度的曲面以及電場線和等勢線[4],程序見附錄．當(dāng)導(dǎo)體球放置在勻強電場中時，由于導(dǎo)體球的截面是圓，所以在柱坐標(biāo)系中畫電場強度的曲面比較理想，可以避免直角坐標(biāo)系中的曲面在分界面上出現(xiàn)參差不齊的現(xiàn)象．應(yīng)用等高線指令contour畫等勢線是一種常用的方法，用同一指令畫電場線的方法則十分巧妙．

如圖2所示，當(dāng)導(dǎo)體球放到勻強電場中時，球內(nèi)場強的x分量Ex為零，分界面上的Ex發(fā)生了躍變，球外場強分量Ex隨著極角θ的增加而波浪形的變化，在上下外表面(0,±a±)處Ex最小，最小為零；在左右外表面(±a±,0)處Ex最大，最大為3E0；在距離ρ很大處，Ex→E0．圖2的俯視圖是一個彩色的圓面，網(wǎng)格線是圓和射線，極大值及其附近的顏色比較紅，極小值及其附近(包括圓內(nèi)部分)的顏色比較藍(lán)．

圖2 導(dǎo)體球在勻強電場中場強的x分量

圖3 導(dǎo)體球在勻強電場中場強的y分量

如圖4所示，合場強E的曲面與Ex的曲面類似，這是因為Ex是場強的主要部分．

圖4 導(dǎo)體球在勻強電場中的合場強

圖5 導(dǎo)體球在勻強電場中合場強的方向

如圖6所示，勻強電場的等勢線本來是分布在一個與x軸有一定夾角的斜面上的平行線，放入導(dǎo)體球之后，該斜面變成帶水平圓面的曲面，水平圓面表示導(dǎo)體是零勢面，三維等勢線分布在曲面上．除了U= 0的直線與圓面相交外，圓面附近的三維等勢線都繞過了圓面；距離越遠(yuǎn)，等勢線越直．

如圖7所示，勻強電場中的導(dǎo)體球在右表面出現(xiàn)正電荷，在左表面出現(xiàn)負(fù)電荷，感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生勻強電場，與外電場抵消后使導(dǎo)體球內(nèi)部的場強為零，導(dǎo)體球變成一個等勢體．電場線從左邊無窮遠(yuǎn)處發(fā)出，終止于導(dǎo)體球左表面上的負(fù)電荷；電場線從導(dǎo)體球右表面的正電荷發(fā)出，終止于右邊的無窮遠(yuǎn)處．等勢線是圖6中三維等勢線在Oxy平面上的投影，電場線與等勢線正交．電場線和等勢線在導(dǎo)體球上下外表面附近比較稀疏，說明這些地方的場強比較??；在導(dǎo)體球左右外表面附近比較密集，說明這些地方的場強比較大．

圖6 導(dǎo)體球在勻強電場中的電勢

圖7 導(dǎo)體球在勻強電場中的電場線和等勢線

如圖8所示，如果不考慮外電場，感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生勻強電場，電場線的方向從右邊指向左邊；感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外的電場線從正電荷出發(fā)，終止于負(fù)電荷．感應(yīng)電荷的電場與外電場E0疊加，其電場線和等勢線如圖7所示．

圖8 導(dǎo)體球感應(yīng)電荷的電場線和等勢線

5 結(jié)束語

為了研究電場，根據(jù)物理定律建立數(shù)學(xué)模型是十分必要的．為了畫圖，通常需要將表達(dá)式無量綱化．場強曲面既可以在直角坐標(biāo)系中繪制，也可以在柱坐標(biāo)系中繪制，由具體問題決定．電場線一般用流線指令繪制，許多電場問題都可以推導(dǎo)出電場線的隱函數(shù)方程，用等高線指令畫電場線是一種十分巧妙的方法．如果勻強電場中放置的不是球形導(dǎo)體，而是球形電介質(zhì)，其電場也可以用完全相同的方法研究并繪制圖形．曲面、等勢線和電場線以及動畫是描述電場的3種基本方法．

我們10年前出版了MATLAB與大學(xué)物理學(xué)相結(jié)合的教材，共有300多個各類程序，其中有40多個電磁學(xué)程序，相信對于讀者具有一定的參考價值．如果有更多的高校師生將MATLAB與電磁學(xué)和電動力學(xué)結(jié)合起來，探索教學(xué)規(guī)律，將會進(jìn)一步提高研究和教學(xué)水平．