徐方慧,王祝文,王文華,齊興華,崔裔曈,韓銳羿

(1.吉林大學(xué)地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長春 130026;2.吉林大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院,吉林長春 130021)

火成巖儲層中裂縫是重要的儲集空間,裂縫的發(fā)育情況與儲層的滲透性和儲集性息息相關(guān)[1-2]。地層中縫洞構(gòu)造會影響陣列聲波測井信號的能量、頻率和時差[3-4],故掌握聲波信號對裂縫的響應(yīng)規(guī)律是非常重要的。在實際應(yīng)用中,陣列聲波測井信號成分復(fù)雜,同時包含高頻的縱、橫波和低頻的斯通利波,屬于非平穩(wěn)、非線性的復(fù)雜信號,為了同時獲得聲波信號頻域和時域的特征,時頻分析方法被引入到信號處理中。王祝文等[5]利用Choi-Williams時頻分布,分析了以巖性為變量的構(gòu)造破碎帶聲波信號的能量特征。向旻[6]提取了不同角度和充填類型的裂縫的聲波信號時頻分布,結(jié)果顯示Choi-Williams分布能夠直觀地顯示裂縫對各組分波在時間和頻率上的影響?？v波和橫波會受到地層裂縫不同程度的影響[7-11]。陣列聲波測井信號中不同組分的波在能量和頻率上相差大,縱波和橫波的幅值往往較小(特別是縱波),在同一個時頻分布圖中很難將所有信號同時展現(xiàn)出來,所以需要將縱波和橫波分別提取出來單獨研究。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解[12-13](empirical mode decomposition,EMD)由希爾伯特-黃提出,可從非平穩(wěn)的待處理信號中分解得到數(shù)量不固定的較為平穩(wěn)的固有模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function,IMF),它能夠有效地從陣列聲波數(shù)據(jù)中將縱波和橫波整體提取出來,但不能徹底分離縱、橫波[7]。為了將縱波和橫波信號有效分離,考慮利用濾波手段從頻域入手。Fourier變換受到原始信號平穩(wěn)性的限制,直接采用Fourier變換對聲波濾波不能取得好的效果。為了改善該問題,學(xué)者們引入了一種較新的、應(yīng)用較為廣泛的數(shù)學(xué)方法——分?jǐn)?shù)階Fourier變換(FRFT)[14-15]。Almeida[16]將FRFT解釋為一種“角”Fourier變換,即一種由信號沿著時頻平面內(nèi)的坐標(biāo)軸繞其原點旋轉(zhuǎn)任意角度后構(gòu)成的分?jǐn)?shù)階Fourier域上的表示方法。Qzaktas等[17]通過公式推導(dǎo)得出一個結(jié)論,若核函數(shù)關(guān)于原點旋轉(zhuǎn)對稱,那么FRFT的Cohen類分布[18]可以由原信號的Cohen類分布旋轉(zhuǎn)得到,再一次有力地印證了FRFT作為一種旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子的觀點。縱波和橫波信號存在較強的時頻耦合,若利用FRFT的旋轉(zhuǎn)特性,根據(jù)實際需求把聲波信號在時頻平面旋轉(zhuǎn)某個角度,在新的FRFT域中消除縱波和橫波的時頻耦合,從而通過濾波實現(xiàn)分離縱波和橫波的目的。Choi-Williams分布[19-21]作為一種典型的Cohen類雙線性時頻分布,能有效抑制交叉項的影響。筆者利用EMD把縱波和橫波從原始聲波信號中整體提取出來,然后根據(jù)FRFT的旋轉(zhuǎn)特性對聲波信號的時頻分布進行濾波,選擇Choi-Williams分布處理裂縫性火成巖地層的陣列聲波測井信號。

1 EMD原理

EMD的分解模式受信號頻率控制,能從復(fù)雜的非平穩(wěn)信號中提取若干頻率逐漸降低的相對穩(wěn)定的IMF。對任意陣列聲波測井信號s(t)進行EMD分解的步驟[12-13]為:

(1)找出信號極值點并確定極值點的上下包絡(luò)線。記上下包絡(luò)均值為m1(t),則有

s(t)-m1(t)=h1(t).

(1)

式中,h1(t)為聲波測井信號s(t)與上下包絡(luò)均值m1(t)的差,h1(t)和m1(t)的下標(biāo)數(shù)字表示篩選次數(shù),此時為第一次篩選。首先判斷h1(t)是否為一個有效的IMF。判斷一個IMF是否有效可以參考以下依據(jù)[12-13]:一是在一個IMF所有時間點上極值點與零點的個數(shù)差值不大于1;二是一個IMF在任意時間點局部最值的上、下包絡(luò)均值為0。

(2)假如h1(t)判斷為不是有效的IMF,則把h1(t)作為原始信號,重復(fù)步驟(1),反復(fù)篩選k次,得到hk(t)=h(k-1)(t)-mk(t),使得hk(t)滿足IMF的條件。令c1(t)=hk(t),則c1(t)為信號s(t)的第一個頻率最高的IMF。

(3)將c1(t)從原始信號s(t)中分離出來,得到

r1(t)=s(t)-c1(t).

(2)

式中,r1(t)為聲波測井信號s(t)與第一個IMF的差。將r1(t)作為原始信號重復(fù)步驟(1)和(2),循環(huán)n次得到信號s(t)的第n個IMF分量。最終

(3)

經(jīng)過整理有

(4)

式中,cj(t)為IMF分量,j表示第j個IMF;rn(t)為殘量,一般是一個單調(diào)函數(shù)，其下標(biāo)數(shù)字n表示循環(huán)次數(shù)。IMF包含原信號的固有物理性質(zhì)。由于不同組分的聲波信號頻率上有一定的差異,所以EMD適合用來處理聲波信號。高頻的IMF往往包含原始信號大量的信息。

2 FRFT的原理

一般在u域的函數(shù)f(u)的p階的FRFT定義為

(5)

其中

Kp(u,u′)=Aαexp[jπ(u2cotα-2uu′cscα+u′2cotα)],

圖1 (t,ω)平面旋轉(zhuǎn)α角度到(u,υ)平面Fig.1 (t,ω)plane to (u,υ)plane after rotateing α degrees

FRFT有如下幾個重要性質(zhì)[15]:

(1)線性變換。FRFT是線性變換,它滿足疊加原理,即

(6)

式中,cn為任意復(fù)常數(shù);n為任意整數(shù)。

(7)

通過以上分析可知FRFT屬于廣義Fourier變換,是一種重要的時頻分析工具,特別是利用FRFT的旋轉(zhuǎn)特性處理來信號,可以揭示該信號在不同階數(shù)下的時頻分布特征。本文中將利用FRFT的性質(zhì)(式(2)和(3)),同時結(jié)合EMD對聲波信號濾波最終提取縱波和橫波時頻特征。

3 Choi-Williams分布

信號x(t)的Cohen類時頻分布[18]為

exp(-i2π(iυ+fτ-uυ))dudυdτ.

(8)

式中,p(t,f)為信號x(t)的Cohen類時頻分布;υ為頻移;u為時間積分變量;t為時間;f為頻率;g(τ,υ)為核函數(shù),核函數(shù)不同,則可以用來表示不同的Cohen類時頻分布。Cohen類時頻分布的本質(zhì)屬性是二維傅里葉變換,其存在一個不可消除的交叉項。

(9)

(10)

4 裂縫性火成巖地層縱波和橫波的時頻特征

本文中選擇遼河?xùn)|部凹陷盆地火成巖地層的多極子陣列聲波測井?dāng)?shù)據(jù)。圖2給出了致密火成巖地層中某一深度的陣列聲波信號及其部分IMF的Choi-Williams分布。

圖2(a)中從下到上8條曲線分別為單極子陣列聲波測井中8個探頭接收的不同源距的聲波信號。探頭1的源距為3.658 m,每個探頭之間的距離為0.152 m。圖2(b)中原始聲波信號signal為探頭1接收的聲波信號,對其進行EMD分解后得IMF1-6和殘量res,可以看出每個IMF包含原始聲波信號signal不同組分的波。圖2(c)為原始聲波信號signal的Choi-Williams分布,致密火成巖地層中聲波信號的幅值很高。圖2(c)中顯示能量主要分布在波峰時間2.8 ms、主頻4 kHz的斯通利波中;由于縱波和橫波的幅值很小,在圖2(c)中不可見。圖2(d)為IMF1的Choi-Williams時頻分布。由圖2(b)和(d)可知,IMF1很好地對應(yīng)原始聲波信號signal中的縱波和橫波。圖2(d)中縱波輕微可見,主頻為10.5 kHz,波峰時間為1 ms;橫波主頻為10 kHz,波峰時間為1.8 ms。圖2(e)和(f)中分別給出了IMF2和IMF3的Choi-Williams時頻分布,主要包含高頻和低頻斯通利波。圖2說明EMD能夠有效地將聲波信號中頻率相差較大的波分開,即可將縱、橫波與斯通利波分離,但不能分離頻率接近的縱波和橫波。本文中利用FRFT旋轉(zhuǎn)特性對IMF1濾波來提取縱波和橫波。

圖3(a)和(b)為致密火成巖地層中IMF1的Choi-Williams分布,其中圖3(a)為三維立體圖,圖3(b)為平面等值線圖。圖3(a)和(b)中顯示橫波周圍存在很多干擾波,甚至覆蓋了整個頻率域。有3個原因:一是Choi-Williams分布算法雖能抑制交叉干擾項,但不能完全將其消除;二是偽瑞利波帶來的干擾;三是可能聲波測井儀器本身或井孔環(huán)境形成的干擾波。由圖3(a)和(b)可知,縱波的主頻為10.5 kHz,橫波頻率低于縱波,高于斯通利波和偽瑞利波,而且橫波到時在縱波之后。為了降低這些干擾波對后續(xù)濾波過程的影響,同時保留圖3(b)紅框中的橫波,選擇截止頻率8～12 kHz對IMF1分量做帶通濾波。圖3(c)和(d)為經(jīng)過帶通濾波的IMF1的Choi-Williams分布。由圖3(c)和(d)可知,經(jīng)過濾波的IMF1中干擾波明顯減少,且橫波幅值沒有降低,縱波和橫波已清晰可見。

圖3 致密火成巖地層IMF1和濾波IMF1的Choi-Williams分布Fig.3 Choi-Williams distributions of IMF1 and filtered IMF1 in tight igneous formation

圖4為濾波IMF1經(jīng)過不同階數(shù)FRFT處理的Choi-Williams分布。圖4(a)為濾波IMF1的Choi-Williams分布,可看作經(jīng)過0階FRFT處理,此時縱波和橫波在頻率域耦合非常嚴(yán)重,進行頻域濾波不可能將它們分開。圖4(b)～(d)分別為濾波IMF1經(jīng)過0.15、0.3和0.45階FRFT處理得到的。隨著FRFT階數(shù)的增加,濾波IMF1的Choi-Williams分布旋轉(zhuǎn)的角度也隨之增加。圖4(b)中FRFT的階數(shù)為0.15,縱波主頻為16 kHz,橫波主頻為13 kHz,頻率域中縱波和橫波的耦合不再嚴(yán)重;圖4(c)中FRFT的階數(shù)為0.3,縱波主頻為21 kHz,橫波主頻為16 kHz;圖4(d)中FRFT階數(shù)為0.45,縱波主頻為25 kHz,橫波主頻為18 kHz。隨著FRFT的階數(shù)增加,縱波和橫波主頻的分離程度增大,在頻率域使用濾波器完全能夠?qū)⒖v波和橫波分離。

值得注意的是,濾波時FRFT階數(shù)的選擇不是固定的。利用FRFT的旋轉(zhuǎn)特性是為了消除縱波和橫波頻率域的耦合現(xiàn)象,同時使縱波和橫波盡可能大地分開,以達到通過濾波器將其提取出來的目的。縱波和橫波頻率接近,若FRFT階數(shù)太小,縱波和橫波不能完全分開,它們的濾波參數(shù)可能會重疊,從而影響濾波結(jié)果,所以處理過程中需要選擇合適的FRFT階數(shù)。圖5(a)和(b)分別為濾波IMF1經(jīng)過0.3和0.45階FRFT的結(jié)果。圖5(a)中縱波的帶通濾波頻率為20～23 kHz,圖5(b)中縱波的帶通濾波頻率為23～26 kHz,濾波結(jié)束后對信號分別進行0.3和-0.45的FRFT逆運算將其反方向旋轉(zhuǎn)回來。圖5(c)和(d)分別為經(jīng)過0.3和0.45階FRFT的縱波濾波結(jié)果。經(jīng)過0.3和0.45階FRFT后的去噪IMF1中縱波和橫波分離均比較明顯,所以二者除了波峰形狀有細(xì)微的差別,主頻、到時和波峰幅值沒有差別,這也進一步驗證了FRFT作為旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子的合理性。若選擇0.15階的FRFT進行濾波,提取的縱波仍會受到橫波的影響。

圖4 濾波IMF1不同階數(shù)FRFT的Choi-Williams分布Fig.4 Choi-Williams distributions of filtered IMF1 of FRFT with different orders

圖5 不同階數(shù)FRFT的縱波Choi-Williams分布Fig.5 Choi-Williams distributions of P wave of FRFT with different orders

選擇FRFT的階數(shù)為0.45。致密地層中縱波設(shè)置帶通濾波的截止頻率為23～26 kHz,橫波設(shè)置帶通濾波的截止頻率為16～21 kHz。圖6(a)和(b)為提取的縱波的Choi-Williams分布。圖6(a)中濾除橫波后只顯示縱波峰值,圖6(b)顯示縱波的主頻為10.5 kHz,到時為1 ms,幅值為1 000,與IMF1分量中的縱波對應(yīng)很好。圖6(c)中濾除縱波后只顯示橫波峰值,圖6(d)顯示橫波的主頻為10 kHz,到時為1.6 ms,幅值為7 000,同樣與IMF1分量中的橫波對應(yīng)很好,這說明聯(lián)合EMD和FRFT對聲波信號濾波是有效的。

探究裂縫的縱、橫波時頻特征時需要在其他影響因素保持一致的前提下進行。在數(shù)據(jù)選擇過程中,為了盡可能減少其他因素的影響,在地層巖性、井徑相同的情況下,選擇同一口井中裂縫傾角不同的兩條聲波曲線與致密地層的聲波時頻特征進行對比。圖7為低角度裂縫火成巖地層陣列聲波信號的IMF及其Choi-Williams分布。觀察圖7(a)原始聲波信號signal和IMF1可知,橫波幅值已經(jīng)低于縱波。圖7(b)中縱波和橫波幅度微弱,圖7(c)中只能觀察到斯通利波。

圖6 致密火成巖地層縱波和橫波的Choi-Williams分布Fig.6 Choi-Williams distributions of P and S wave in tight igneous formation

圖8(a)和(b)為低角度裂縫火成巖地層IMF1的Choi-Williams分布。能看出縱波和橫波頻率耦合現(xiàn)象嚴(yán)重,按照上述方法對低角度裂縫的IMF1進行濾波處理,得到縱波的Choi-Williams分布(圖8(c)和(d))以及橫波的Choi-Williams分布(圖8(e)和(f))。圖8(c)和(d)中縱波的主頻為9 kHz,波峰時間為1.15 ms,幅值為700,與IMF1中縱波對應(yīng)好;圖8(e)和(f)中橫波的主頻為8.5 kHz,波峰時間為1.9 ms,幅值為250,與IMF1中橫波對應(yīng)好。

圖9為高角度裂縫火成巖地層陣列聲波信號的IMF及Choi-Williams分布。圖9(b)中顯示有橫波可見,縱波幅度很小,圖9(c)中除了斯通利波也可見橫波。

圖10(a)和(b)為高角度裂縫火成巖地層IMF1的Choi-Williams分布。同理對高角度裂縫火成巖地層IMF1進行濾波處理,得到圖10(c)和(d)縱波的Choi-Williams分布以及圖10(e)和(f)橫波的Choi-Williams分布。圖10(c)和(d)中縱波的主頻為9.5 kHz,波峰時間為1.05 ms,幅值為450,與IMF1中縱波對應(yīng)很好;圖10(e)和(f)中橫波的主頻為8.5 kHz,波峰時間為1.75 ms,幅值為3 000,與IMF1中橫波對應(yīng)很好。

圖7 低角度裂縫陣列聲波信號的IMF和Choi-Williams分布Fig.7 IMF and Choi-Williams distribution of array acoustic signal with low angle fractures

圖9 高角度裂縫陣列聲波信號的IMF和Choi-Williams分布Fig.9 IMF and Choi-Williams distribution of array acoustic signal with high angle fractures

圖10 高角度裂縫火成巖地層IMF1、縱波和橫波的Choi-Williams分布Fig.10 Choi-Williams distributions of IMF1,P and S wave in igneous formation with high angle fractures

5 分析與討論

由上述結(jié)果可知,聲波信號IMF1的Choi-Williams分布在Fourier域中縱波和橫波時頻耦合嚴(yán)重,但在FRFT域中縱波和橫波能有效分離,說明FRFT能夠有效解決信號時頻耦合的問題。圖4中FRFT階數(shù)越大,縱波和橫波主頻分離程度越大,更有利于信號的濾波處理。在實際應(yīng)用中,需要根據(jù)信號自身特征與處理需求來選擇FRFT正變換、逆變換以及最合適的階數(shù)。

相對于致密火成巖地層,無論低角度還是高角度裂縫都會使地層縱波和橫波的幅值、頻率和波峰時間發(fā)生不同程度的變化。在幅值方面,圖6中致密地層中縱波幅值為1 000,橫波幅值為7 000。圖8中低角度縫對應(yīng)的縱波幅值為700,相對于致密地層衰減較小;橫波幅值為250,衰減相當(dāng)嚴(yán)重。圖10中高角度縫對應(yīng)的縱波幅值為450,相對于低角度縫來說,縱波幅值衰減反而增大了;橫波幅值為3 000,與低角度縫相比,橫波幅值的衰減變小。因為致密火成巖地層滲透性低且無有效孔隙和縫洞,對聲波信號影響很小,故聲波幅值大且穩(wěn)定。當(dāng)?shù)貙又写嬖诹芽p時,縱、橫波穿過裂縫時有模式波轉(zhuǎn)換,故透射能量發(fā)生衰減。透射系數(shù)決定透射能量的大小,而透射系數(shù)直接受到裂縫傾角的影響,縱、橫波跨越裂縫帶時,由裂縫傳遞的能量一般由裂縫分界面波的模式轉(zhuǎn)換效率控制。假設(shè)裂縫飽含水,地層傳播的縱、橫波在遇到第一個巖石-水分界面時,會發(fā)生第一次模式波轉(zhuǎn)換,即轉(zhuǎn)換成流體中的波;在第二個水-巖石分界面處發(fā)生第二次模式波轉(zhuǎn)換,故裂縫的傾角能夠直接對縱、橫波產(chǎn)生影響。Morris等[22]研究指出,當(dāng)縱波通過水平縫時幾乎沒有衰減,隨著裂縫角度的增加,縱波衰減逐漸增加;橫波通過低角度縫時,衰減最嚴(yán)重,隨著裂縫傾角的增加,橫波衰減反而減小。這種解釋適用于本文的結(jié)果,縱波幅值在高角度縫中衰減更多,而橫波幅值在低角度縫中衰減更多。

在頻率方面,圖6中致密火成巖地層縱波主頻為10.5 kHz,橫波主頻為10 kHz。圖8中低角度裂縫地層縱波主頻為9 kHz,橫波主頻為8.5 kHz。圖10中高角度裂縫地層縱波主頻為9.5 kHz,橫波主頻為8.5 kHz。裂縫使縱波和橫波的主頻降低,說明縱、橫波的高頻能量更容易衰減?？v波和橫波主頻在低角度和高角度裂縫地層中降低程度差別不大。

聲波信號成分復(fù)雜,不同組分波在頻域和時域上都有一定差異,對聲波信號的解釋無論是小波變換、小波包變換還是短時傅里葉變換等,其本質(zhì)都是利用傅里葉變換將聲波信號完全轉(zhuǎn)換到頻率域。FRFT的出現(xiàn)為聲波時頻分析與解釋提供了新的思路,在FRFT域中不同性質(zhì)地層的聲波信號可能會呈現(xiàn)出新的差異,而這些差異可以為儲層的解釋和評價提供更多的依據(jù)。利用FRFT探索陣列聲波信號在不同地層中的時頻特征是具有潛力且有意義的,同時聲波測井記錄的為陣列信號,如何將FRFT提取的縱、橫波信息應(yīng)用到陣列聲波數(shù)據(jù)中也是值得研究的課題。

6 結(jié) 論

(1)EMD分解得到的高頻IMF分量對應(yīng)陣列聲波測井信號的高頻組分波(縱波和橫波);低頻IMF分量對應(yīng)低頻組分波(斯通利波)。利用EMD可以實現(xiàn)對陣列聲波信號粗略分離。

(2)FRFT的旋轉(zhuǎn)特性在時頻域濾波具有獨特的優(yōu)勢。對信號濾波時,FRFT階數(shù)不是一成不變的,可根據(jù)實際情況靈活選擇。

(3)在縱波的Choi-Williams時頻分布中,相對于致密地層,幅值在高角度裂縫火成巖地層中衰減更多,主頻在低角度和高角度裂縫火成巖地層相近;由于縱波在地層中的傳播特性,其速度在低角度裂縫火成巖地層中降低更明顯。

(4)在橫波的Choi-Williams時頻分布中,相對于致密地層,幅值在低角度裂縫火成巖地層中降低更多,主頻在低角度和高角度地層中差別不大,速度在低角度裂縫地層中降低更明顯。

(5)縱波和橫波對不同傾角裂縫的響應(yīng)特征不同,這些響應(yīng)特征可以為裂縫識別提供一定的依據(jù)和參考。