吳卓倫，商彥英

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715

本文中，我們研究如下問題：

(1)

近年來，帶有Sobolev-Hardy臨界指數(shù)的奇異橢圓方程受到廣泛關(guān)注.當(dāng)s=1時，方程即是整數(shù)階方程，文獻(xiàn)[1-3]利用山路引理得到了這類整數(shù)階方程存在正解，文獻(xiàn)[4]利用極大極小值原理得到了其變號解.文獻(xiàn)[5-6]在g(x，u)滿足關(guān)于u是奇函數(shù)的條件下，得到了這類整數(shù)階方程無窮多解的存在性.

當(dāng)0

條件(G)保證了PS序列的有界性.我們在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，考慮了分?jǐn)?shù)階橢圓方程在Sobolev-Hardy臨界情況下無窮多解的存在性.在Sobolev-Hardy臨界情況下不需要條件(G)也能證明PS序列有界.本文通過文獻(xiàn)[11]的方法，在沒有條件(G)的情況下，證明了能量泛函在某一范圍內(nèi)滿足(PS)c*條件，運(yùn)用對偶噴泉定理，得到了方程(1)存在無窮多個弱解.

(g3)g(x，-t)=-g(x，t)對所有t∈R和x∈Ω成立.

我們用Hs(Ω)表示分?jǐn)?shù)階Sobolev空間[12]，其范數(shù)定義為

泛函空間為

記空間的范數(shù)為

當(dāng)γ<γh時，Sobolev-Hardy最佳常數(shù)[13]定義為

(2)

方程(1)對應(yīng)的能量泛函為

方程的解與泛函的臨界點(diǎn)一一對應(yīng).本文中用C，Ci表示各種正常數(shù).

我們的主要結(jié)果如下：

引理3假設(shè)g滿足條件(g1)，則存在常數(shù)C>0，使得

(3)

證由條件(g1)可以得到

所以

記

則(3)式成立.

(4)

(5)

(6)

由(5)式和(6)式可知

因?yàn)棣?RN是有界區(qū)域，所以存在常數(shù)C0>0，使得Ω?B(0，C0)，且

(7)

由(3)式和(7)式可得

(8)

由條件(g1)可得

因?yàn)?/p>

所以

故

結(jié)合(8)式可得

‖unj‖2≤C6‖unj‖+C7

根據(jù)Vitali定理和引理1，有

(9)

由Brezis-Lieb引理和引理1，可以得到

(10)

結(jié)合(3)式和(8)式可得

(11)

令

則對任意λ∈(0，λ*)，有

J(u)≥-β0

(12)

(13)

根據(jù)(9)式和(10)式可得

根據(jù)Λγ，s，α的定義，有

定理1的證明

(B1) 根據(jù)條件(g1)，存在常數(shù)C8>0，滿足

所以

(14)

由Sobolev不等式和Sobolev-Hardy不等式，存在常數(shù)R1，R2>0，使得

(15)

則對u∈Yk，‖u‖=rk，有J(u)<0.選取rk<ρk，(B2)成立.

(B3) 根據(jù)(15)式，當(dāng)k≥k0時，u∈Zk且‖u‖≤ρk，滿足

J(u)≥-λC8φk‖u‖≥-λC8φkρk