吳汪霞，王兵，王曉亮，劉青泉,*

1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081 2.清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084

火箭燃料泵中發(fā)生的空化及其潰滅[1-2]、超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)激波串與油氣混合物的相互作用[3-4]，以及生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的體外沖擊波療法中[5]均存在著多重沖擊波與空泡的作用問題。空泡在多重波系的作用下會(huì)發(fā)生復(fù)雜而劇烈的動(dòng)力學(xué)瞬變行為，這一過程還伴隨著流動(dòng)狀態(tài)的劇烈變化，其對(duì)設(shè)備穩(wěn)定性與作用效果等影響顯著，這一問題也是可壓縮多相流中的一個(gè)重要問題。

空化現(xiàn)象在工業(yè)生產(chǎn)與工程應(yīng)用中廣泛存在且應(yīng)用前景廣闊，是兩相流體力學(xué)的一個(gè)物理基礎(chǔ)問題，一直以來受到各個(gè)領(lǐng)域?qū)W者們的密切關(guān)注[6-9]?？栈莼绕涫强张轁邕^程往往伴隨著復(fù)雜的現(xiàn)象且引起流場(chǎng)物理量劇烈變化[10]，學(xué)者們對(duì)此展開了大量研究。研究發(fā)現(xiàn)，空化泡的潰滅大致分為2類：對(duì)稱潰滅(也稱為瑞利潰滅)與非對(duì)稱潰滅。當(dāng)空化泡處于各向同性的流場(chǎng)中，則整個(gè)空泡均勻地受到周圍流場(chǎng)作用而引發(fā)其發(fā)生對(duì)稱變形行為，即空泡演化過程中一直維持其初始的形狀，對(duì)于初始球形空泡其潰滅過程中一直保持球形。對(duì)于空泡的對(duì)稱潰滅行為，早期的學(xué)者開展了一系列的理論研究[11-13]，由動(dòng)量方程出發(fā)給出了空泡界面隨時(shí)間變化的理論表達(dá)式(R-P方程)[7]，并描述了空泡壓縮到最小半徑而后發(fā)生反彈、釋放壓力波等現(xiàn)象。

然而，在實(shí)際情況中往往由于存在多重波系、相鄰空泡、流體界面以及壁面等引起流場(chǎng)非對(duì)稱的因素，因此很難保證空泡的完全對(duì)稱潰滅，絕大多數(shù)情況下空泡為非對(duì)稱潰滅[14-16]。在非對(duì)稱潰滅情況下，由對(duì)稱條件推導(dǎo)得到的界面演化理論表達(dá)式失效，并且潰滅壓力波的產(chǎn)生機(jī)制也與對(duì)稱工況明顯不同。因此，對(duì)于空泡的非對(duì)稱潰滅行為學(xué)者們開展了一系列實(shí)驗(yàn)與數(shù)值研究。借助于高速攝影和紋影技術(shù)，Tomita等[17-18]觀測(cè)了壁面附近空泡的潰滅過程，并討論了其非對(duì)稱潰滅行為可能對(duì)壁面造成的損傷；Blake和Gibson[16]研究了自由表面附近空泡的非對(duì)稱潰滅；Dear[19]和Bourne[20]等則對(duì)空泡在單一沖擊波作用下空泡的非對(duì)稱潰滅過程進(jìn)行了觀測(cè)，他們均觀測(cè)到空泡非對(duì)稱潰滅過程中會(huì)存在內(nèi)卷現(xiàn)象并產(chǎn)生局部射流。而后，得益于計(jì)算機(jī)計(jì)算水平的進(jìn)步，Ball[21]和Hawker[22-23]等通過數(shù)值方法模擬了單一沖擊波等非對(duì)稱因素作用下空泡的整個(gè)潰滅過程，解釋并分析了流場(chǎng)中各介質(zhì)中各種波系的產(chǎn)生、演化機(jī)理，揭示了空泡非對(duì)稱潰滅以及潰滅波的產(chǎn)生機(jī)制。

很多實(shí)際問題中，通常存在不只一個(gè)空泡，甚至出現(xiàn)密集的空泡云，空泡群潰滅過程中會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜波系，因此空泡會(huì)受到不只一道沖擊波的作用[24]，此外，在體外沖擊波治療中更是需要一系列沖擊波連續(xù)作用于肌體以達(dá)到治療效果[25]，因此有必要開展空泡在多重波系作用下潰滅演化機(jī)理的研究。然而，迄今為止，針對(duì)空泡在多重沖擊波作用下潰滅特性的研究仍然十分不足。本文基于可壓縮兩相流模型，分別對(duì)液體中空泡在單一沖擊波以及多重沖擊波作用下的演化潰滅問題進(jìn)行數(shù)值模擬研究，探討單一/多道沖擊波作用下空泡潰滅機(jī)制的異同，并進(jìn)一步宏觀地解析多道沖擊波的作用效果。

1 物理系統(tǒng)

對(duì)于沖擊波與空泡作用問題，本文考慮的物理模型如圖1所示。初始時(shí)刻，半徑R0=0.32 mm的空氣泡靜置于液態(tài)水中，流場(chǎng)初始?jí)毫0為1個(gè)大氣壓，初始溫度T0為293 K。隨后，由氣泡右側(cè)由右向左傳播而來一系列沖擊波。對(duì)于每一道沖擊波，參考Johnsen和Colonius[26]的工作，沖擊波波形的解析式為

圖1 不同分布沖擊波與液體中空泡作用示意圖

p(t)=p0+2pWe-αtcos(ωt+π/3)

(1)

式中：p0為初始環(huán)境壓力；pW為沖擊波鋒面壓力值；其他參數(shù)的設(shè)置參考文獻(xiàn)[27]。本文考慮了單一、2道和3道沖擊波分別與空泡作用的3種工況，每道沖擊波的寬度均為Δl(Δl=R0)。對(duì)于單一沖擊波作用的情況(W1)，沖擊波幅值pW1=420 MPa，波鋒面對(duì)應(yīng)的激波馬赫數(shù)為1.14；對(duì)于2道沖擊波作用的情況(W2)，沖擊波幅值pW2=210 MPa，其波鋒面對(duì)應(yīng)的激波馬赫數(shù)為1.07，其幅值為pW1/2；對(duì)于3道沖擊波作用的情況(W3)，沖擊波幅值pW3=140 MPa，其波鋒面對(duì)應(yīng)的激波馬赫數(shù)為1.05，其幅值為pW1/3。

2 模型方法

為了有效模擬液體中多個(gè)空泡在波系作用下的非對(duì)稱潰滅現(xiàn)象，并捕捉各個(gè)空泡的界面變形，本文采用歐拉框架下的多組分可壓縮兩相流模型[28-29]，控制方程為

(2)

式中：αk和ρk分別表示k組分的體積分?jǐn)?shù)和密度；u、p、E和e分別表示速度、壓力、總能和內(nèi)能，總能表示為E=ρe+ρ|u|2/2，各組分體積分?jǐn)?shù)之間滿足約束條件：

(3)

本文采用的狀態(tài)方程為剛性氣體狀態(tài)方程(SG-EOS)，狀態(tài)方程的詳細(xì)表達(dá)式以及各組分狀態(tài)參數(shù)的設(shè)置參見文獻(xiàn)[28]。由于本文考慮的空泡為空氣泡，且主要研究沖擊波作用下空泡變形潰滅的演化行為，因此忽略相變過程的影響。關(guān)于考慮相變情況下激波與空泡作用問題的研究可以參考文獻(xiàn)[30]。

本文采用了有限體積方法對(duì)控制方程進(jìn)行離散，使用高精度的變模板點(diǎn)加權(quán)基本無振蕩差分(Incremental Stencil Weighted Essentially Non-Oscilatiory, WENO-IS)算法[31]進(jìn)行重構(gòu)，使用Harten-Lax-van Leer-Contact(HLLC)近似黎曼求解器求解黎曼問題[32]，時(shí)間方向采用三階Runge-Kutta方法求解。由于本文研究對(duì)象的雷諾數(shù)Re與韋伯?dāng)?shù)We均為103以上的量級(jí)，因此忽略黏性與表面張力的影響，如果想要模擬更加寬泛的物理問題并得到更精確的結(jié)果，需要使用 Navier-Stokes 模型或者其他動(dòng)理學(xué)模型[33-34]。由于該問題為軸對(duì)稱問題，因此本文的數(shù)值計(jì)算中只考慮一半的計(jì)算區(qū)域，所有算例初始時(shí)刻每個(gè)空泡半徑有340個(gè)網(wǎng)格，并采用軸對(duì)稱坐標(biāo)進(jìn)行所有算例的計(jì)算。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 單一沖擊波作用下空泡潰滅行為

本文首先研究了液體中單一沖擊波與空氣泡的作用問題。圖2為考慮軸對(duì)稱效應(yīng)的二維數(shù)值結(jié)果，氣液界面由黑色實(shí)線標(biāo)出，液體區(qū)域顯示了壓力云圖，氣體區(qū)域則給出了密度紋影圖。圖2(a)～圖2(f)分別對(duì)應(yīng)無量綱時(shí)間t·(R0/cl)-1=0, 0.96, 2.44, 5.10, 5.68，6.43，其中cl為初始狀態(tài)下液體的聲速。

如圖2(a)所示，初始時(shí)刻一道強(qiáng)度為pW1的沖擊波(S)自空泡右側(cè)傳播而來。沖擊波與空泡作用后使得空泡被壓縮變形，同時(shí)沖擊波在界面處發(fā)生了反射和透射，分別產(chǎn)生液相的反射稀疏波(R)和氣相的透射激波(T)，如圖2(b)所示。液體側(cè)稀疏波的作用使得空泡右側(cè)液體進(jìn)一步加速，加劇空泡變形的同時(shí)伴隨著液體側(cè)再入射流的形成，同時(shí)，透射激波伴隨著空泡的進(jìn)一步變形在空泡內(nèi)相互作用并來回反射，使得氣相壓力逐步升高[20]。在再入射流的作用下，空泡左右兩側(cè)界面發(fā)生撞擊(圖2(d))，而后空泡破碎并伴隨著一系列壓力波的產(chǎn)生(圖2(e)～圖2(f))，該過程即稱為空泡潰滅，空泡潰滅過程產(chǎn)生的壓力波即為潰滅波。

3.2 多道沖擊波作用下空泡潰滅行為

本節(jié)進(jìn)一步研究了2道、3道沖擊波與空泡的作用問題，并與單一沖擊波作用過程進(jìn)行對(duì)比，分析不同工況下空泡變形潰滅機(jī)制的異同。圖3～圖5分別展示了2道強(qiáng)度為pW2的沖擊波、3道強(qiáng)度為pW3的沖擊波與空泡作用時(shí)不同時(shí)刻的數(shù)值結(jié)果，與圖2類似，圖中黑色實(shí)線為兩相界面，液體相給出了壓力場(chǎng)云圖，氣體相則給出了密度紋影結(jié)果。圖3(a)～圖3(f)分別對(duì)應(yīng)無量綱時(shí)間t·(R0/cl)-1=0, 1.05, 2.05, 5.86, 6.29，7.13，圖5(a)～圖5(f)分別對(duì)應(yīng)無量綱時(shí)間t·(R0/cl)-1=0, 1.61, 2.64, 6.48, 6.90, 7.66。

圖2 強(qiáng)度為pW1的單一沖擊波與空泡的作用過程

圖3 2道強(qiáng)度為pW2的沖擊波與空泡的作用過程

圖4 2道強(qiáng)度為pW2的沖擊波與空泡作用過程的局部放大圖

圖5 3道強(qiáng)度為pW3的沖擊波與空泡的作用過程

如圖3所示，2道沖擊波S1、S2由空泡右側(cè)由右至左傳播并先后作用于空泡。與圖2(b)類似，圖3(b)顯示當(dāng)沖擊波S1與空泡作用后使得空泡被壓縮變形，同時(shí)沖擊波在界面處發(fā)生反射與透射，液相側(cè)產(chǎn)生向空泡外法線方向擴(kuò)展傳播的反射稀疏波(R1)，而氣相側(cè)則產(chǎn)生透射激波(T1)。此外，擴(kuò)張傳播的R1還會(huì)與隨后的第2道沖擊波S2相遇，使得S2被一定程度地削弱。隨后，第2道沖擊波S2與空泡作用，其在進(jìn)一步加劇空泡變形的同時(shí)也在空泡界面處發(fā)生反射與透射，并產(chǎn)生反射稀疏波R2與透射激波T2。如圖3(c)所示，此時(shí)在液體中共存著R1、R2這2道反射稀疏波，氣泡內(nèi)存在著T1、T2這2道透射激波。

隨后，與圖2中單一沖擊波作用的工況類似，空泡在卷曲變形的同時(shí)伴隨著液相側(cè)再入射流的產(chǎn)生，最終在再入射流作用下空泡兩側(cè)界面發(fā)生撞擊，空泡潰滅并產(chǎn)生一系列的潰滅壓力波(圖3(d)～圖3(f))。通過對(duì)圖2與圖3的空泡潰滅及潰滅波的產(chǎn)生過程進(jìn)行對(duì)比，可以看到，雖然2組工況下，空泡受不同分布沖擊波作用，但是最終空泡從潰滅形態(tài)到潰滅的強(qiáng)度都十分相近。

為了更詳細(xì)分析空泡在多道沖擊波作用下空泡內(nèi)波系的演化行為，圖4進(jìn)一步給出了2道沖擊波作用下空泡變形過程的局部放大圖(圖3中紅色虛線框區(qū)域)。圖4(a)～圖4(h)分別對(duì)應(yīng)無量綱時(shí)間t·(R0/cl)-1=0.37, 1.07, 1.57, 2.68, 3.15, 3.79, 4.58, 5.40。如圖4(a)～圖4(c)所示，S1作用于空泡后，在R1及空泡的變形作用下流體加速，因此S2的鋒面在作用于空泡前即發(fā)生了輕微彎曲變形。而后，S2作用于空泡并在空泡內(nèi)部產(chǎn)生2道向下游傳播的透射激波(T1、T2)。由圖4(c)～圖4(f)所示的透射激波在空泡內(nèi)的傳播演化過程可見，2道透射激波在空泡內(nèi)傳播時(shí)發(fā)生追趕，T2逐漸趕上T1并最終合并為1道更強(qiáng)的透射激波T0。而后，如圖4(f)～圖4(h)所示，T0繼續(xù)傳播，并在空泡界面來回反射，產(chǎn)生一次反射透射激波(R1-T0)、二次反射透射激波(R2-T0)等，直至空泡兩側(cè)界面在再入射流的作用下發(fā)生撞擊?？张輧?nèi)兩道透射激波合并后的演化行為，與3.1節(jié)中較強(qiáng)的單一沖擊波作用下波系的演化行為十分相似，這也解釋了2個(gè)工況下空泡最終從潰滅形態(tài)到潰滅的強(qiáng)度都十分相近的原因。

進(jìn)一步對(duì)空泡在S1、S2、S3這3道強(qiáng)度為pW3的沖擊波作用下的演化過程進(jìn)行分析。空泡首先受到?jīng)_擊波S1的作用，并伴隨著反射稀疏波R1與透射激波T1的產(chǎn)生。如圖5(b)所示，R1在擴(kuò)張傳播的過程中會(huì)與沖擊波S2、S3相遇，其強(qiáng)度均被一定程度地削弱。類似地，S2、S3分別先后作用與空泡，并在液相產(chǎn)生反射稀疏波R2、R3，氣泡內(nèi)產(chǎn)生透射激波T2、T3，同樣地，先產(chǎn)生的反射稀疏波會(huì)與后續(xù)的沖擊波相遇，并發(fā)生一定程度的相互削弱。如圖5(c)所示，此時(shí)在液體中共存著R1、R2、R3這3道反射稀疏波，氣泡內(nèi)存在著T1、T2、T3這3道透射激波。

由圖5(d)～圖5(f)可以看到，在3道強(qiáng)度為pW3的沖擊波作用下，空泡的潰滅過程與之前2個(gè)工況均十分相似，均為在再入射流作用下兩側(cè)界面撞擊空泡潰滅，并產(chǎn)生一系列潰滅波?？梢钥吹?，在3個(gè)工況下，雖然空泡受到3組不同分布的沖擊波的作用，最終空泡潰滅時(shí)的潰滅波分布與強(qiáng)度均基本相同。

當(dāng)沖擊波掃過氣泡時(shí)，會(huì)在氣液界面誘發(fā) Richtmyer-Meshkov不穩(wěn)定性[35]，這一現(xiàn)象在本文的數(shù)值結(jié)果中也有所體現(xiàn)，在圖2～圖5中均可看到激波與空泡作用后，空泡界面出現(xiàn)了Richtmyer-Meshkov不穩(wěn)定性誘發(fā)的小的不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，然而對(duì)于本文所考慮的問題，這一結(jié)構(gòu)對(duì)空泡潰滅強(qiáng)度的影響并不顯著，因此在此不對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)討論。

3.3 空泡潰滅強(qiáng)度分析

為了進(jìn)一步探討分析沖擊波與空泡潰滅強(qiáng)度的影響規(guī)律，本節(jié)分別給出了2組不同分布、不同強(qiáng)度沖擊波與空泡作用時(shí)流場(chǎng)最大壓力隨時(shí)間的詳細(xì)分布曲線。圖6(a)展示了與第1節(jié)對(duì)應(yīng)的3個(gè)工況下的壓力最大值(pmax)曲線，圖6(b)則展示了沖擊波幅值為630 MPa的單一沖擊波作用(W1′)、沖擊波幅值為315 MPa的2道沖擊波作用(W2′)和沖擊波幅值為210 MPa的3道沖擊波作用(W3′)3個(gè)工況下的壓力最大值曲線。

圖6 不同分布、不同強(qiáng)度沖擊波與空泡作用時(shí)流場(chǎng)的最大壓力隨時(shí)間變化曲線

由2組壓力最大值分布曲線均可以看到，當(dāng)pW1=2pW2=3pW3時(shí)，單一沖擊波與多道沖擊波作用時(shí)壓力最大值分布曲線十分相似，空泡潰滅誘發(fā)的壓力峰值也基本相當(dāng)。此外，空泡潰滅的時(shí)間差距也不大，具體而言，單一沖擊波作用下空泡最早潰滅，2道沖擊波作用下空泡潰滅又早于3道沖擊波作用的工況。在空泡潰滅之前，多道沖擊波與空泡作用的效果近似等于強(qiáng)度為多道沖擊波強(qiáng)度之和的單一沖擊波的作用。然而，對(duì)于單一沖擊波工況，空泡更早地受高強(qiáng)度沖擊波作用，因此空泡變形相對(duì)于多波累積作用工況稍快，空泡潰滅也稍早。

4 結(jié) 論

本文對(duì)單一、2道、3道沖擊波分別與液體中空泡的作用問題進(jìn)行了數(shù)值研究，結(jié)論如下：

1)各道沖擊波與空泡作用后會(huì)依次在空泡界面發(fā)生反射與透射，并依次產(chǎn)生相應(yīng)的反射稀疏波與透射激波。

2)無論是單一或多次沖擊波的作用，空泡均會(huì)發(fā)生內(nèi)卷變形并伴隨著液體側(cè)再入射流的產(chǎn)生，在再入射流作用下空泡最終潰滅并產(chǎn)生一系列的潰滅壓力波。

3)在空泡發(fā)生潰滅前所受到多道沖擊波作用下的潰滅行為及潰滅波強(qiáng)度，均近似于強(qiáng)度為多道沖擊波強(qiáng)度之和的單一沖擊波的作用。