熊娜，梅天宇，李飛

(1.南昌理工學院，江西 南昌 330044；2.湖北宜昌長江三峽游輪中心開發(fā)有限公司，湖北 宜昌 443000)

0 引言

隨著復雜系統(tǒng)朝著模塊化、集成化方向發(fā)展，傳統(tǒng)故障樹分析方法在復雜系統(tǒng)可靠性分析中的局限性逐漸凸顯出來[1-4]：①在故障樹模型中通常假設事件發(fā)生概率為精確值，對于大多數(shù)復雜系統(tǒng)而言，故障數(shù)據(jù)收集十分困難，尤其是新型高端設備壽命長、價格貴、可靠度高，難以通過試驗方式獲取足夠的失效數(shù)據(jù)；②在故障樹模型中假設各個事件只有正常運行與故障失效2種狀態(tài)，忽略了介于二者之間的退化狀態(tài)，根據(jù)劃分標準的不同，可能是一個狀態(tài)或多個狀態(tài)。針對數(shù)控刀架卡死故障樹模型中各事件發(fā)生概率難以確定的問題，劉英等[5]應用模糊數(shù)學建立了概率模糊數(shù)，進而確定頂事件發(fā)生的概率區(qū)間。鄧耀初等[6]應用D-S證據(jù)理論表征故障樹底事件發(fā)生概率的置信區(qū)間，依據(jù)區(qū)間算子確定了頂事件柱塞泵故障的概率范圍。為了準確描述故障退化過程，劉晨曦等[7]在傳統(tǒng)故障樹模型中引入多狀態(tài)事件和多狀態(tài)表決門，經最小路集法確定了系統(tǒng)可靠度及底事件重要度。

故障樹模型構建容易，但是，可靠性分析計算過程復雜、邏輯推理單向，難以根據(jù)新獲取信息進行模型更新。貝葉斯網絡具有表達事件多態(tài)性、模糊性和不確定性的優(yōu)勢，通過學習新樣本可以調整有向無環(huán)圖結構、修正條件概率值，并且可以根據(jù)新信息及時進行正向推理和反向推理[8-9]。鑒于現(xiàn)場數(shù)據(jù)缺乏、故障模式與失效機理多樣、工作環(huán)境多變等原因，貝葉斯網絡根節(jié)點故障率往往用具有一定模糊性的區(qū)間值表示，在某些特定情況下，區(qū)間值的上下限也無法用精確值進行描述。因此，本文將在故障樹模型基礎上構建基于區(qū)間貝葉斯網絡的復雜系統(tǒng)可靠性分析模型。

1 貝葉斯網絡建模過程

1.1 貝葉斯網絡概述

貝葉斯網絡[10-11]有向無環(huán)圖結構由一系列節(jié)點和節(jié)點之間的有向邊構成，有向無環(huán)圖中的每一個節(jié)點代表一個隨機變量，2個節(jié)點之間的有向邊代表節(jié)點之間的條件概率關系。沒有前續(xù)輸入的節(jié)點為根節(jié)點，沒有后續(xù)輸出的節(jié)點稱葉節(jié)點，既有前續(xù)輸入又有后續(xù)輸出的節(jié)點為中間節(jié)點。根節(jié)點具有表示該節(jié)點處于不同狀態(tài)的先驗概率，非根節(jié)點具有表征該節(jié)點與其父節(jié)點之間邏輯關系的條件概率，即該節(jié)點在給定父節(jié)點條件下處于不同狀態(tài)的概率。以故障樹結構為基礎構建的貝葉斯網絡模型不需要單獨處理不交化過程以及確定最小割集，從而省去了不交化過程中的繁瑣計算。貝葉斯網絡模型通過調整條件概率取值表達節(jié)點間的不確定邏輯關系，正向推理表達節(jié)點間的關聯(lián)故障，反向推理確定在給定系統(tǒng)故障信息條件下根節(jié)點處于各個狀態(tài)的概率，以便及時發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中的薄弱環(huán)節(jié)。

1.2 貝葉斯網絡雙向推理

正向推理，也稱預測推理，即根據(jù)貝葉斯網絡模型中根節(jié)點處于各種狀態(tài)的概率與條件概率關系確定葉節(jié)點處于各狀態(tài)的概率。假設節(jié)點x1,x2,…,xn對應于故障樹中的底事件、中間事件，則頂事件T處于狀態(tài)Tq的概率表示為[12-13]

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1.3 基于故障樹結構的貝葉斯網絡建模

典型的故障樹邏輯門包括與門、或門、表決門等，由與門、或門構成的故障樹結構與相應的貝葉斯網絡模型如圖1所示。故障樹中底事件V1,V2,V3轉換為貝葉斯網絡中的根節(jié)點v1,v2,v3，中間事件M和頂事件T轉換為貝葉斯網絡中的中間節(jié)點m和葉節(jié)點t。假設0表示正常運行狀態(tài)，1表示故障失效狀態(tài)，那么故障樹中與門、或門等布爾邏輯關系就可以通過條件概率值表現(xiàn)出來。在貝葉斯網絡與門邏輯關系中只有當父節(jié)點v2和v3都發(fā)生時，子節(jié)點m發(fā)生。在貝葉斯網絡或門邏輯關系中當

圖1 邏輯與門、或門及對應的貝葉斯網絡模型Fig.1 And gate,Or gate and corresponding BN model

父節(jié)點v1和m中有一個發(fā)生時，子節(jié)點t發(fā)生。多狀態(tài)節(jié)點的貝葉斯網絡結構與二狀態(tài)結構相同，區(qū)別在于條件概率值確定，相關方法前期已開展過相關研究，不在此展開，具體可參考文獻[4,14]。

2 基于區(qū)間模糊數(shù)的貝葉斯網絡推理

2.1 三角模糊隸屬函數(shù)

針對貝葉斯網絡根節(jié)點(即故障樹底事件)故障率難以用精確值描述的問題，引入具有一定模糊性的區(qū)間值表征。根節(jié)點從精確輸入拓展到模糊輸入，增強了貝葉斯網絡可靠性分析的工程實用性，有利于表達已知信息不足或者主觀判斷引起的不確定性。對于有n個節(jié)點的模糊貝葉斯網絡模型，假設第i個節(jié)點xi(i=1,2,…,n)有ki個模糊故障狀態(tài)，表示為xi,j=(xi(1),xi(2),…,xi(ki))(j=1,2,…,ki)，用μij(0≤μij≤1)描述節(jié)點xi處于模糊故障狀態(tài)j時的隸屬度。對于一個給定節(jié)點，所有故障狀態(tài)的隸屬度之和為1，即

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鑒于根節(jié)點失效概率往往在某一區(qū)間取值，越接近區(qū)間中值概率越大，因此，現(xiàn)有研究普遍采用運算簡單、使用廣泛的三角隸屬函數(shù)描述各個節(jié)點的故障模糊可能性大小。假設貝葉斯網絡節(jié)點xi在故障狀態(tài)為xi(ki)時的模糊可能性表示為P(xi(ki))，相應的模糊子集表示為{gl,gm,gu}，其三角隸屬函數(shù)表示如圖2所示，其中，gm為模糊子集中心，gm-gl為模糊子集左模糊區(qū)，gu-gm為模糊子集右模糊區(qū)。

圖2 P(xi(ki))的三角隸屬函數(shù)Fig.2 Triangular membership function of P(xi(ki))

P(xi(ki))隸屬函數(shù)表示為[15-16]

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式中：g為故障概率。

2.2 區(qū)間三角模糊隸屬函數(shù)

在工程實踐中，有時候難以確定三角模糊隸屬函數(shù)上下限，在此，引入?yún)^(qū)間變量表示三角模糊子集的上下限，則貝葉斯網絡節(jié)點xi在故障狀態(tài)為xi(ki)時的模糊可能性表示為

P′(xi(ki))=

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如圖3所示，P′(xi(ki))的隸屬函數(shù)表示為

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圖3 P(xi(ki))的區(qū)間三角隸屬函數(shù)Fig.3 Interval triangular membership function of P(xi(ki))

2.3 改進的貝葉斯網絡推理

在貝葉斯網絡模型中，假設n個根節(jié)點表示為xi(i=1,2,…,n)，m個中間節(jié)點表示為yj(j=1,2,…,m)，葉節(jié)點表示為T。在考慮貝葉斯網絡根節(jié)點的模糊輸入時，用xi(ki)(ki=1,2,…,li)表示根節(jié)點xi的故障狀態(tài)，用yj(kj)(kj=1,2,…,lj)表示中間節(jié)點yj的故障狀態(tài)，用Tv(v=1,2,…,l)表示葉節(jié)點T的故障狀態(tài)。假設根節(jié)點各故障狀態(tài)的區(qū)間模糊可能性表示為P′(xi,ki)，則葉節(jié)點T處于故障狀態(tài)Tv的區(qū)間模糊可能性表示為

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式中：π(T)為葉節(jié)點T的父節(jié)點集合；π(yj)為中間節(jié)點yj的父節(jié)點集合。

利用貝葉斯網絡模型的反向推理機理，經去模糊即可確定根節(jié)點處于各個故障狀態(tài)的后驗概率。當葉節(jié)點T處于故障狀態(tài)Tv時，根節(jié)點xi處于狀態(tài)xi(ki)的后驗概率表示為

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3 實例分析

3.1 控制系統(tǒng)故障樹模型

以文獻[14]中的導彈控制系統(tǒng)為研究對象建立故障樹模型，如圖4所示?？刂葡到y(tǒng)故障由平臺系統(tǒng)故障和姿態(tài)失去控制引起，前者由平臺初始對準失效、導航計算機故障和加速度計故障引起，后者由模擬控制機故障和電動舵系統(tǒng)故障引起。平臺初始對準失效由方位對準失效和水平對準失效引起。導航計算機故障由模擬控制機故障和無線電高度表故障引起。以部件的故障率為模糊子集的中心值，確定區(qū)間的端點值使得邊界值與中心值在同一個數(shù)量級，各根節(jié)點故障狀態(tài)為1時的模糊故障率、區(qū)間模糊故障率如表1所示。

圖4 控制系統(tǒng)失效故障樹模型Fig.4 FT model of control system in failure

表1 故障樹底事件及故障率Table 1 Failure rate of bottom events in FT model of control system (10-3 h-1)

3.2 控制系統(tǒng)貝葉斯網絡模型

根據(jù)1.3確定的故障樹結構向貝葉斯網絡轉化原則，構建控制系統(tǒng)失效時的貝葉斯網絡模型，如圖5所示。

圖5 控制系統(tǒng)失效貝葉斯網絡模型Fig.5 BN model of control system in failure

X4與X5為三狀態(tài)節(jié)點，即正常運行狀態(tài)0、故障失效狀態(tài)1外以及介于二者之間的中間狀態(tài)0.5， 2個節(jié)點之間為邏輯或關系，其條件概率關系如表2所示。其余節(jié)點為二狀態(tài)節(jié)點，X2與X6之間為邏輯與門，其余節(jié)點之間為邏輯或門。在故障樹結構中重復出現(xiàn)的事件X2在貝葉斯網絡中由一個節(jié)點表示。

表2 M3節(jié)點條件概率Table 2 Conditional probability of node M3

3.3 可靠性分析

當貝葉斯網絡中根節(jié)點故障率為精確值時，如表1第3列所示，假設X4與X5故障程度為0.5的概率數(shù)據(jù)與故障程度為1時相同，則葉節(jié)點發(fā)生故障的概率為

應用文獻[7]中計算多狀態(tài)故障樹失效率的方法可以得到相同的結果，這驗證了貝葉斯網絡建模的正確性。根節(jié)點與各中間節(jié)點的故障概率如表3所示。

(1) 根節(jié)點故障率為三角模糊子集

以表1中的三角模糊故障率為輸入，根據(jù)式(1),(5),(8)推理確定中間節(jié)點失效的模糊可能性，如表3所示，進而確定根節(jié)點的模糊可能性：

以貝葉斯網絡模型中精確故障率為故障率三角模糊子集的下限值、中心值、上限值，以根節(jié)點x1為例，其精確故障率對應的三角模糊子集為{16,16,16}(10-3/h)，經貝葉斯網絡推理，確定葉節(jié)點處于故障失效狀態(tài)的模糊概率子集上邊界與下邊界重合，驗證了三角模糊貝葉斯網絡模型的準確性與可行性。

(2) 根節(jié)點故障率為區(qū)間三角模糊子集

以表1中的區(qū)間三角模糊子集為輸入，根據(jù)式式(1),(6)～(8)推理確定中間節(jié)點失效的模糊可能性，如表3所示，進而確定根節(jié)點的模糊可能性：

以貝葉斯網絡模型中根節(jié)點故障率三角模糊子集的下限值為區(qū)間三角模糊子集下限變量區(qū)間的下邊界與上邊界，上限值為區(qū)間三角模糊子集上限變量區(qū)間的下邊界與上邊界，構建區(qū)間三角模糊變量。以根節(jié)點x1為例，三角模糊子集對應的區(qū)間三角模糊子集為{(6,6),16,(26,26)}(10-3/h)，經貝葉斯網絡推理，區(qū)間三角模糊子集下限變量區(qū)間的下邊界與上邊界重合，上限變量區(qū)間的下邊界與上邊界重合，驗證了區(qū)間三角模糊貝葉斯網絡模型的準確性與可行性。

貝葉斯網絡根據(jù)式(2),(3),(9)進行反向推理，經去模糊處理，確定各葉節(jié)點處于不同狀態(tài)的后驗概率，如圖6所示。由于貝葉斯網絡結構與條件概率關系沒有發(fā)生改變，因此，在三角模糊輸入和區(qū)間三角模糊輸入條件下的后驗概率值相同。當根節(jié)點故障狀態(tài)為1時，葉節(jié)點X1處于故障狀態(tài)的后驗概率最大，為0.288 12；其次是根節(jié)點X4和X5，處于故障狀態(tài)1的后驗概率為0.185 22，處于故障狀態(tài)0.5的后驗概率為0.099 29。因此，當控制系統(tǒng)發(fā)生故障失效時，應該對后驗診斷結果中失效概率較高的部件X1,X4和X5進行優(yōu)先排查。

表3 非葉節(jié)點故障失效概率Table 3 Failure rates of leaf node and intermediate nodes h-1

圖6 根節(jié)點失效時葉節(jié)點后驗概率分布(10-3/h)Fig.6 Posterior probabilities of leaf nodes when the root node in failure (10-3/h)

4 結束語

本文將區(qū)間模糊子集引入貝葉斯網絡中，提出了一種基于區(qū)間貝葉斯網絡的復雜系統(tǒng)可靠性分析方法，直觀明了地表征復雜系統(tǒng)可靠性指標的區(qū)間范圍，經反向推理有效識別出系統(tǒng)可靠性設計中的薄弱環(huán)節(jié)，為故障診斷與改進設計提供意見建議。

(1) 結合故障樹結構建模容易和貝葉斯網絡雙向推理的優(yōu)勢，構建了基于二者的可靠性分析模型，為多狀態(tài)復雜系統(tǒng)可靠性分析提供了研究思路。

(2) 通過引入三角模糊函數(shù)、區(qū)間模糊子集，有效解決了根節(jié)點輸入難以精確描述的問題，增強了基于貝葉斯網絡的復雜系統(tǒng)可靠性分析方法的工程實用性。