蒲華燕，何文元，孫 翊，丁基恒，羅 均，謝少榮，彭 艷，王 敏

(上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院，上海 200444)

傳統(tǒng)被動隔振器通常是由彈簧和黏性阻尼器并聯(lián)組成的兩參數(shù)隔振系統(tǒng)。由于其具有控制簡單、穩(wěn)定性好，且不需要外部電源等優(yōu)點，廣泛用于航天工程[1-6]等領(lǐng)域。但近年來，隨著軌道衛(wèi)星、遙感衛(wèi)星搭載的任務(wù)載荷精度不斷提升，其對振動環(huán)境的要求也不斷提高。加之，軌道衛(wèi)星、遙感衛(wèi)星等在軌運行時存在極強的微振動、微重力環(huán)境，其具有振幅小、頻帶寬等特點，多為頻率范圍在0.1～300 Hz的諧波干擾[7-8]。因此，對高精度有效載荷免受微振動影響提出了更高的性能挑戰(zhàn)[9-18]。

傳統(tǒng)兩參數(shù)被動隔振系統(tǒng)通過阻尼調(diào)節(jié)消耗微振動能量實現(xiàn)隔振。當(dāng)阻尼較大時，共振峰處的振動得到有效抑制，但是高頻段隔振性能變差，無法有效保證太空載荷高頻振動衰減的快速性；當(dāng)阻尼較小時，高頻段隔振性能較好，但是共振峰不能得到有效抑制，從而誘發(fā)太空載荷低頻共振，甚至對載荷設(shè)備造成破壞。因此，對于航天器中的特殊微重力、微振動環(huán)境，兩參數(shù)被動系統(tǒng)在共振頻率和高頻的隔振性能存在固有的相互矛盾，無法有效滿足實際使用需求。

為了解決兩參數(shù)被動系統(tǒng)的相互矛盾，需要一種同時具有低頻大阻尼、高頻小阻尼的隔振系統(tǒng)，即系統(tǒng)阻尼會隨著頻率的增大而減小，從而實現(xiàn)低共振峰值和良好的高頻隔振性能，具備此特性的系統(tǒng)定義為頻變阻尼系統(tǒng)。頻變阻尼系統(tǒng)由于能夠同時保證共振區(qū)和高頻段的隔振性能，具有廣泛的研究前景。

因此，在兩參數(shù)被動系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，為了探索頻變阻尼特性，三參數(shù)被動系統(tǒng)的隔振器被設(shè)計和研究。三參數(shù)系統(tǒng)由彈簧和彈性支撐的阻尼器并聯(lián)組成，可以通過合理調(diào)節(jié)參數(shù)值調(diào)諧系統(tǒng)，使其隔振性能優(yōu)于兩參數(shù)系統(tǒng)。曾有學(xué)者對基于三參數(shù)的被動隔振系統(tǒng)進行了嘗試，初次嘗試結(jié)果表明，三參數(shù)系統(tǒng)在防沖擊方面表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢。但是，隨著主動反饋控制算法的提出[19-20]，有效的從源頭上克服了兩參數(shù)被動系統(tǒng)在低頻隔振性能與高頻衰減性能之間的矛盾，三參數(shù)被動系統(tǒng)的研究停滯了很長時間。

隨著航天技術(shù)的快速發(fā)展，航天器中的任務(wù)載荷對隔振器的可靠性、穩(wěn)定性要求越來越高，由于主動隔振技術(shù)需要輸入外部能量且控制結(jié)構(gòu)復(fù)雜、不穩(wěn)定，這兩點很大程度上限制了其在航天領(lǐng)域的應(yīng)用。于是，很多學(xué)者重新開始研究三參數(shù)被動系統(tǒng)。例如，Liu等[21]開發(fā)了一種基于三參數(shù)系統(tǒng)的流體黏性阻尼器，性能優(yōu)于傳統(tǒng)被動隔振器。Brennan等[22]研究了三參數(shù)系統(tǒng)在自由振動和強制振動下的動力學(xué)行為，確定和比較了系統(tǒng)在不同類型的激勵下的最佳阻尼值，作者指出，對于簡諧激勵來說，系統(tǒng)具有較好的隔振效果；當(dāng)系統(tǒng)被白噪聲激勵時，附加彈簧沒有表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢。王超新等[23]給出了一種三參數(shù)隔振系統(tǒng)在最優(yōu)阻尼下的設(shè)計方法。焦小磊等[24]提出了基于歸一化模型的三參數(shù)隔振系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計方法，對共振峰和高頻衰減率進行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。Zhang等[25-26]研究了基于三參數(shù)系統(tǒng)的隔振平臺的性能，提出了基于頻域特征的隔振平臺參數(shù)設(shè)計方法和流程。王杰等[27-28]提出一種確定三參數(shù)模型阻尼系數(shù)的機械阻抗等效理論與測試方法，將三參數(shù)模型簡化為等效的便于試驗測試的兩參數(shù)隔振模型，得到了以往傳統(tǒng)方法難以得到的動態(tài)阻尼系數(shù)隨頻率的變化規(guī)律。Silva等[29]研究了三參數(shù)模型中用非線性立方彈簧代替主彈簧的影響，結(jié)果表明，當(dāng)立方剛度屬于軟化類型時，可以改善隔振器在共振頻率附近和高頻的傳遞率。Wang等[30]指出了三參數(shù)模型中非線性次級彈簧的使用能夠較好地改善系統(tǒng)高頻和共振頻率處的隔振性能。以上研究主要側(cè)重于三參數(shù)系統(tǒng)隔振性能的優(yōu)化設(shè)計和分析，而很少考慮阻尼器和次彈簧之間實際存在的等效質(zhì)量對系統(tǒng)性能帶來的影響。

因此，提出了一種基于頻變阻尼特性的四參數(shù)隔振系統(tǒng)，并對其進行系統(tǒng)建模與參數(shù)分析。提出的四參數(shù)隔振系統(tǒng)是一種基于三參數(shù)系統(tǒng)的等效模型，在阻尼器和次彈簧之間附加一個中間等效質(zhì)量，從而疊加形成四參數(shù)系統(tǒng)。通過歸一化參數(shù)，建立四參數(shù)系統(tǒng)的理論模型，分析各參數(shù)對系統(tǒng)隔振性能的影響，提出一種基于四參數(shù)系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化的思路，并從頻域和時域上分析了系統(tǒng)的隔振性能，在掃頻信號激勵下，通過MATLAB/Simulink模擬仿真，驗證了系統(tǒng)理論計算模型的準(zhǔn)確性。

1 四參數(shù)系統(tǒng)模型

1.1 模型描述

本文研究的四參數(shù)系統(tǒng)為單自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)等效模型是基于兩參數(shù)系統(tǒng)模型和三參數(shù)系統(tǒng)模型，如圖1(a)和圖1(b)所示。

圖1 等效模型

四參數(shù)系統(tǒng)中負(fù)載質(zhì)量m由主彈簧k和黏性阻尼器c并聯(lián)組合支撐，阻尼器c、中間等效質(zhì)量m1和次彈簧k1依次串聯(lián)組合，如圖1(c)所示。

1.2 模型建立

根據(jù)牛頓運動定律，可以得到四參數(shù)系統(tǒng)的運動方程組

(1)

(2)

式中：x0為基礎(chǔ)位移；x1，x分別為中間等效質(zhì)量和負(fù)載質(zhì)量的位移。

對參數(shù)進行歸一化處理，令N=k1/k，P=m1/m，其中：N為剛度比；P為質(zhì)量比，且均為正實數(shù)。對式(1)變換，得到中間等效質(zhì)量的位移

(3)

對式(3)在時間上求導(dǎo)兩次，可得到

(4)

(5)

綜合式(2)～式(5)，得到四參數(shù)系統(tǒng)的四階常微分方程

(6)

(7)

對式(7)兩邊同時進行拉普拉斯變換，可以得到

(8)

根據(jù)傳遞率定義，將系統(tǒng)輸出信號X(s)與輸入信號X0(s)取比值，即可得到系統(tǒng)傳遞率

(9)

對式(9)進行傅里葉變換，將s=jω(其中j2=-1)代入式(9)中，則系統(tǒng)的傳遞率可表示為

(10)

式中，Ω=ω/ω0為頻率比，ω為外部激勵頻率。傳遞率的幅值可定義為

(11)

另外，四參數(shù)系統(tǒng)的傳遞率模型可等效為

(12)

綜合式(9)和式(12)，可得到四參數(shù)系統(tǒng)的等效阻尼

(13)

2 參數(shù)N，P和ζ0對系統(tǒng)性能的影響

根據(jù)以前的經(jīng)驗，初取ζ0=0.4，ω0=2π×7。首先，利用MATLAB軟件分析N和P對系統(tǒng)頻域性能的影響，得到N和P的較優(yōu)取值范圍；然后，保持N和P的優(yōu)化取值不變，分析阻尼比ζ0對系統(tǒng)傳遞率特性的影響。性能指標(biāo)為共振峰值大小和高頻衰減率。通過優(yōu)化參數(shù)，使四參數(shù)系統(tǒng)具有近似理想頻變阻尼系統(tǒng)的特性，如圖2所示。

圖2 頻變阻尼特性曲線

2.1 情況1：P不變，N增大

保持P不變，分析N對系統(tǒng)性能的影響。其中P分兩種情況考慮：01.0。

P分別等于0.5，2.0和5.0，N從0.1增大到5.0時系統(tǒng)的頻域響應(yīng)，如圖3所示。從圖3可知，當(dāng)N增大時，系統(tǒng)共振峰值降低，同時系統(tǒng)固有頻率右移。

對比圖3(a)、圖3(b)和圖3(c)，當(dāng)P增大時，相同N值下系統(tǒng)傳遞率幅值會隨之增大，并在低頻出現(xiàn)新的峰，這是由中間等效質(zhì)量m1增大引起的。當(dāng)P在0

當(dāng)N的取值范圍約為1.0

圖3 質(zhì)量比常值時的頻率響應(yīng)

2.2 情況2：N不變，P增大

分析N=1.5時，P(其中0

圖4 剛度比常值時的頻率響應(yīng)

圖4(a)為N= 1.5，P從0.1增大到0.9時系統(tǒng)的頻域響應(yīng)。從圖4(a)可知，共振峰值隨P的增大而降低，系統(tǒng)高頻衰減率隨P增大而增大。但是在共振頻率往右的某一頻率點后，當(dāng)P>0.3時出現(xiàn)一個新的峰，并且峰值隨著P的增大而增大；

由圖4(a)可知，為了使系統(tǒng)具有近似理想頻變阻尼的特性，P的取值范圍可縮小為0.1

當(dāng)P=0.2時，6～11 Hz頻段的峰值較高；當(dāng)P=0.4時，11～20 Hz頻段的峰值較高。因此，綜合以上兩種情況，為了使系統(tǒng)在整個頻段內(nèi)(6～20 Hz)的傳遞率幅值較低，選擇參數(shù)P=0.3。

當(dāng)P=0.3時，對N在1.0

2.3 情況3：N=1.5，P=0.3時，ζ0增大

由2.1節(jié)和2.2節(jié)可知，剛度比N主要影響系統(tǒng)共振處的性能，質(zhì)量比P主要影響系統(tǒng)高頻衰減性能。

系統(tǒng)在不同阻尼比ζ0下的傳遞率特性，如圖5所示。從圖5可知，系統(tǒng)共振峰值最初隨著ζ0的增大而減小，然后又增大，但共振峰出現(xiàn)在更高的頻率處。當(dāng)阻尼比ζ0趨于零時，系統(tǒng)傳遞率曲線出現(xiàn)兩個峰，并且峰值逐漸增大。出現(xiàn)雙峰是由于四參數(shù)系統(tǒng)屬于四階系統(tǒng)，當(dāng)參數(shù)取值通過臨界值時，系統(tǒng)頻域響應(yīng)表現(xiàn)出雙共振峰現(xiàn)象。雙峰的幅值大小受系統(tǒng)阻尼c變化的影響，當(dāng)系統(tǒng)阻尼c變小時，雙峰的幅值增大，此時四參數(shù)系統(tǒng)可等效為兩個二階系統(tǒng)的疊加，其中負(fù)載質(zhì)量m和主彈簧k組成主要二階系統(tǒng)，中間等效質(zhì)量m1和次彈簧k1組成次要二階系統(tǒng)，次要二階系統(tǒng)相當(dāng)于一個吸振器。

圖5 不同阻尼比ζ0下的系統(tǒng)傳遞率特性

根據(jù)圖5可得，當(dāng)N=1.5，P=0.3，阻尼比ζ0在0.4附近取值時，系統(tǒng)可同時實現(xiàn)低共振峰值和良好的高頻隔振性能，此時系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。

3 性能分析和模型驗證

3.1 頻域和時域性能仿真分析

經(jīng)過第2章的討論和分析，得到了N，P和ζ0的較優(yōu)取值范圍。本節(jié)從頻域和時域上對四參數(shù)系統(tǒng)進行性能分析。

兩參數(shù)被動系統(tǒng)的傳遞率為

(14)

取N=1.5,P=0.3,ζ0=0.4,ω0=2πf(f=7 Hz)，利用MATLAB軟件可得到不同系統(tǒng)的頻域響應(yīng)，如圖6所示。

圖6 不同系統(tǒng)的頻域響應(yīng)

從圖6可知，四參數(shù)系統(tǒng)能夠較好地解決被動系統(tǒng)的矛盾，并且同時保持低共振峰值和良好的高頻衰減率。由于四參數(shù)系統(tǒng)存在次彈簧k1，系統(tǒng)總剛度大于被動系統(tǒng)，因此，四參數(shù)系統(tǒng)的固有頻率發(fā)生了右移。

將各系統(tǒng)的頻域響應(yīng)數(shù)據(jù)根據(jù)圖6列于表1中。其中，7.00 Hz為被動系統(tǒng)的固有頻率，22.80 Hz，125.36 Hz，126.46 Hz分別為四參數(shù)系統(tǒng)與常值大阻尼被動系統(tǒng)、常值小阻尼被動系統(tǒng)、理想頻變阻尼系統(tǒng)的相交頻率。

表1 不同系統(tǒng)的頻域響應(yīng)

相較于常值小阻尼被動系統(tǒng)的共振峰幅值34.00 dB，常值大阻尼被動系統(tǒng)能夠明顯降低共振峰幅值至4.04 dB，衰減了29.96 dB，但高頻的隔振性能卻損失了，具體如：22.80 Hz處由-19.64 dB上升至-11.04 dB，性能下降了8.60 dB；125.36 Hz處由-49.57 dB上升至-26.96 dB，性能下降了22.61 dB；126.46 Hz處由-49.71 dB上升至-27.04 dB，性能下降了22.67 dB。

相較于常值小阻尼被動系統(tǒng)的共振峰幅值34.00 dB，四參數(shù)系統(tǒng)能夠明顯降低共振峰幅值至5.15 dB，衰減了28.85 dB，同時高頻的隔振性能隨頻率增大而變好，具體如：22.80 Hz處由-19.64 dB上升至-11.04 dB，性能下降了8.60 dB；125.36 Hz處兩個系統(tǒng)均為-49.57 dB，性能一致；126.46 Hz處由-49.71 dB下降至-49.73 dB，性能上升了0.02 dB。

相較于常值大阻尼被動系統(tǒng)的共振峰幅值4.04 dB，四參數(shù)系統(tǒng)的共振峰幅值僅上升了1.11 dB，但是高頻的隔振性能得到較大提升，具體如：22.80 Hz處兩系統(tǒng)均為-11.04 dB，性能一致；125.36 Hz處由-26.96 dB下降至-49.57 dB，性能上升了22.61 dB；126.46 Hz處由-27.04 dB下降至-49.73 dB，性能上升了22.69 dB。

綜上，相較于常值小阻尼被動系統(tǒng)，四參數(shù)系統(tǒng)共振峰幅值降低28.85 dB，比常值大阻尼被動系統(tǒng)共振峰幅值僅低約3.70%；相較于常值大阻尼被動系統(tǒng)，四參數(shù)系統(tǒng)在126.46 Hz的高頻隔振性能提升了22.69 dB，比常值小阻尼被動系統(tǒng)高頻處的性能高約0.09%。同時，以理想頻變阻尼系統(tǒng)頻域響應(yīng)作為參考，當(dāng)頻率從7.00 Hz增大至126.46 Hz時，兩個系統(tǒng)傳遞率幅值差值從6.48 dB先增大后減小至0，表明四參數(shù)系統(tǒng)隔振性能隨頻率增大而逐漸接近于理想頻變阻尼系統(tǒng)特性。因此，四參數(shù)系統(tǒng)能夠較好地解決被動系統(tǒng)高低頻隔振性能之間的固有矛盾，具有低頻大阻尼、高頻小阻尼的頻變阻尼特性。

正弦信號激勵時域響應(yīng)如圖7所示。圖7(a)為在共振頻率處，7.00 Hz正弦信號激勵下的時域響應(yīng)；圖7(b)為共振頻率處時域響應(yīng)的放大圖。從圖7可知，當(dāng)輸入信號幅值為±1.00 mm時，四參數(shù)系統(tǒng)和常值大阻尼被動系統(tǒng)的時域響應(yīng)基本一致，幅值在±1.00～±1.50 mm，常值小阻尼被動系統(tǒng)的時域幅值在±40.00～±60.00 mm，表明四參數(shù)系統(tǒng)和常值大阻尼被動系統(tǒng)在共振頻率處具有相似的振動抑制效果，即低頻大阻尼特性，與圖6中共振頻率處各系統(tǒng)的傳遞率特性相對應(yīng)。

圖7 7 Hz正弦信號激勵時域響應(yīng)

100 Hz正弦信號激勵時域響應(yīng)如圖8所示。圖8(a)為在高頻處，100 Hz正弦信號激勵下的時域響應(yīng)；圖8(b)為高頻處時域響應(yīng)的放大圖。從圖8可知，當(dāng)輸入信號幅值為±1.00 mm時，四參數(shù)系統(tǒng)和常值小阻尼被動系統(tǒng)的時域幅值為±0.005 mm，常值大阻尼被動系統(tǒng)的時域幅值在±0.010～±0.015 mm。四參數(shù)系統(tǒng)和常值小阻尼被動系統(tǒng)在高頻處具有相似的振動抑制效果，即高頻小阻尼特性，與圖6中高頻處各系統(tǒng)的傳遞率特性相對應(yīng)。

圖8 100 Hz正弦信號激勵時域響應(yīng)

將各系統(tǒng)的時域響應(yīng)數(shù)據(jù)根據(jù)圖7和圖8列于表2中。當(dāng)激勵頻率為7.00 Hz時，相比于輸入信號±1.00 mm，常值小阻尼被動系統(tǒng)、常值大阻尼被動系統(tǒng)和四參數(shù)系統(tǒng)的時域幅值分別放大了50倍、1.30倍和1.26倍；相對于常值小阻尼被動系統(tǒng)，四參數(shù)系統(tǒng)和常值大阻尼系統(tǒng)在共振頻率處具有大阻尼效果。當(dāng)激勵頻率為100.00 Hz時，相比于輸入信號±1.00 mm，常值小阻尼被動系統(tǒng)、常值大阻尼被動系統(tǒng)和四參數(shù)系統(tǒng)的時域幅值分別縮小了200倍、71.43倍和200倍；相對于常值大阻尼被動系統(tǒng)，四參數(shù)系統(tǒng)和常值小阻尼系統(tǒng)在高頻處具有小阻尼效果。因此，四參數(shù)系統(tǒng)能同時保證共振頻率和高頻處的低時域響應(yīng)，具有低頻大阻尼、高頻小阻尼的特性。

表2 不同系統(tǒng)的時域響應(yīng)

3.2 模型驗證

為了驗證四參數(shù)系統(tǒng)理論計算模型的準(zhǔn)確性，根據(jù)運動方程式(1)和式(2)，在MATLAB/Simulink中搭建仿真環(huán)境如圖9所示。仿真參數(shù)設(shè)置如表3所示。采用掃頻信號進行信號激勵，使用頻譜分析儀觀察系統(tǒng)輸出位移信號及傳遞率特性。理論計算結(jié)果與仿真結(jié)果的對比如圖10所示。

圖9 Simulink仿真

表3 仿真參數(shù)設(shè)置

圖10 理論計算與仿真對比

由圖10可知，當(dāng)頻率為7.00 Hz時，常值大阻尼被動系統(tǒng)和四參數(shù)系統(tǒng)的計算結(jié)果分別為4.04 dB和5.15 dB，仿真結(jié)果分別為4.05 dB和5.16 dB，誤差分別為0.01 dB和0.01 dB；當(dāng)頻率為100.00 Hz時，常值大阻尼被動系統(tǒng)和四參數(shù)系統(tǒng)的計算結(jié)果分別為-24.97 dB和-45.34 dB，仿真結(jié)果分別為-24.94 dB和-45.43 dB，誤差分別為0.03 dB和-0.09 dB。因此，四參數(shù)系統(tǒng)的仿真結(jié)果與理論計算結(jié)果基本吻合一致，驗證了理論計算模型的準(zhǔn)確性，表明了四參數(shù)系統(tǒng)具有頻變阻尼特性。

4 結(jié) 論

(1)定義了頻變阻尼特性，即低頻大阻尼、高頻小阻尼的系統(tǒng)特性；通過歸一化參數(shù)，建立了四參數(shù)隔振系統(tǒng)的傳遞率模型，得到了系統(tǒng)等效阻尼，將系統(tǒng)物理參數(shù)轉(zhuǎn)換為無量綱參數(shù)，更易于分析四參數(shù)系統(tǒng)的性能。

(2)提出了一種基于四參數(shù)系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化的思路，通過給定不同的初始條件ζ0和ω0，可以得到對應(yīng)參數(shù)N和P的較優(yōu)取值范圍。N和P的取值并非越大越好，均存在臨界點，臨界點之下越大系統(tǒng)性能越好，臨界點之上繼續(xù)增大會使系統(tǒng)性能變差?；谶@個思路，為設(shè)計不同指標(biāo)要求的微振動隔振器以及多參數(shù)隔振系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化提供基礎(chǔ)。

(3)從頻域和時域上對四參數(shù)系統(tǒng)進行性能分析；結(jié)果表明，四參數(shù)系統(tǒng)能夠較好地解決被動系統(tǒng)高低頻隔振性能之間的矛盾。利用MATLAB/Simulink對理論計算模型進行了模擬仿真驗證，仿真結(jié)果與理論計算基本一致。相較于被動隔振系統(tǒng)，四參數(shù)系統(tǒng)能夠?qū)? Hz固有頻率處的傳遞率幅值降低28.85 dB，證明低頻大阻尼效果顯著；同時，采用100 Hz單頻正弦信號激勵時，時域幅值從±1.00 mm衰減至±0.005 mm，衰減率達(dá)99.5%，證明高頻小阻尼作用凸顯，從而驗證了四參數(shù)系統(tǒng)的頻變阻尼特性，即低共振峰值和良好的高頻隔振性能。