胥強榮 沈承2)? 韓峰3) 盧天健?

1) (南京航空航天大學，機械結(jié)構(gòu)力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

2) (西安交通大學，機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

3) (上海飛機設(shè)計研究院功能結(jié)構(gòu)部，上海 201210)

在傳統(tǒng)彈簧-振子局域共振基礎(chǔ)上，本文并聯(lián)傾斜彈簧負剛度機構(gòu)，提出一種新型的準零剛度局域共振型聲學超材料板，以實現(xiàn)低頻寬頻帶有效隔聲.首先，從動力學角度推導準零剛度結(jié)構(gòu)的歸一化等效剛度;然后，基于等效介質(zhì)法建立聲學超材料板的隔聲理論模型，并通過理論分析和數(shù)值模擬(有限元)結(jié)果，討論其在正負等效剛度區(qū)的隔聲效果;最后，為驗證理論預測的準確性，制備準零剛度超材料板樣件并采用阻抗管對其進行測試.結(jié)果表明:在正剛度區(qū)，增大彈簧的剛度比或預壓縮量可顯著降低超材料板的局域共振頻率，如在10 Hz 附近獲得30 dB 的傳輸損失，實現(xiàn)了超低頻隔聲.在負剛度區(qū)，超材料板不產(chǎn)生局域共振現(xiàn)象，且可避免“吻合效應”引起的隔聲低谷現(xiàn)象，故可在53—1500 Hz 寬頻段內(nèi)實現(xiàn)大寬帶隔聲(大于30 dB)，相較傳統(tǒng)材料或類似的超材料具有顯著優(yōu)勢.進一步利用理論模型，從等效質(zhì)量面密度、反射系數(shù)和聲阻抗率等多個角度，分析了超材料板的隔聲機理，在隔聲峰處發(fā)現(xiàn)了負的等效質(zhì)量密度，且隔聲谷處產(chǎn)生了低頻“吻合效應”.本文提出利用準零剛度局域共振思想實現(xiàn)低頻寬帶隔聲的方法，克服了傳統(tǒng)超材料需減小剛度或增大附加質(zhì)量的不利特性，對低頻隔聲結(jié)構(gòu)的設(shè)計具有重要的理論指導意義.

1 引言

中高頻噪聲通常可采用吸音棉、穿孔板等方案進行有效控制.相較而言，由于低頻聲波(20—400 Hz)在傳播過程中的穿透能力強，難以衰減，目前對低頻甚至超低頻聲波的抑制尚未形成較好的方法[1，2].近年來，聲子晶體和聲學超材料在國內(nèi)外實現(xiàn)了快速發(fā)展，為解決該難題提供了新的思路.作為一種亞波長復合微結(jié)構(gòu)[3]，通過巧妙設(shè)計結(jié)構(gòu)單元的微結(jié)構(gòu)排布位置和方式，聲學超材料可在宏觀上表現(xiàn)出天然材料所不具備的聲學性能，如負等效質(zhì)量密度[4]、負等效模量[5]、負折射和平面聚焦[6]等，進而實現(xiàn)“聲隱身”[7]、“完美透鏡”[8]和“低頻吸聲”[9]等新穎應用.

基于對聲波的控制機理，可將聲學超材料分為Bragg 散射和局域共振兩大類.Bragg 散射指的是微結(jié)構(gòu)周期變化的材料和彈性波相互作用，會使某些頻率的波在材料中無法傳播，即產(chǎn)生Bragg 散射帶隙[10].但是，波長和晶格尺寸處在同一量級才產(chǎn)生Bragg 帶隙，故Bragg 散射僅能抑制高頻聲波.2000 年，Liu 等[11]以黏彈性軟材料包裹鉛球組成簡單立方晶格結(jié)構(gòu)鑲嵌于環(huán)氧樹脂中，構(gòu)建了一種三組元聲子晶體，其禁帶的對應波長大于晶格尺寸兩個量級，突破了Bragg 散射機理的限制.目前，雖然采用三組元聲學超材料可取得較好的低頻隔聲性能，但其制備和使用均存在較大局限.

相較而言，二維薄膜/薄板型聲學超材料具有更大的應用價值，獲得了廣泛關(guān)注[12-16].梅軍等[17]發(fā)現(xiàn)，在薄膜中央附加一質(zhì)量塊，可在兩個最低本征頻率之間的某個特定頻率處實現(xiàn)聲波的全反射，且該頻率附近具有負的等效動態(tài)質(zhì)量密度，實驗結(jié)果表明，該設(shè)計在100—1000 Hz 頻段內(nèi)具有良好隔聲效果.賀子厚等[18]設(shè)計了一種帶附加質(zhì)量的薄膜底面Helmholtz 腔吸聲結(jié)構(gòu)，基于有限元法預測了其在20—1200 Hz 內(nèi)的傳輸損失，發(fā)現(xiàn)其隔聲性能較單一Helmholtz 腔或薄膜聲學超材料更好.賀子厚等[19]還將壓電質(zhì)量塊嵌入薄膜，設(shè)計了一種共振頻率可調(diào)的聲學超材料，并分析了其隔聲機理.與薄膜型聲學超材料類似，可大致將薄板型聲學超材料分為三種形式:1)在薄板上穿孔，構(gòu)造穿孔板結(jié)構(gòu);2)在薄板上構(gòu)造Helmholtz 共振腔;3)在薄板表面附加彈簧-質(zhì)量塊.通過在薄板上附加周期性的“彈簧-質(zhì)量”共振單元，Xiao 等[20]構(gòu)造了一種局域共振型板結(jié)構(gòu)，運用平面波展開法計算了其局域共振帶隙，分析了帶隙的產(chǎn)生機理和調(diào)控規(guī)律;在此基礎(chǔ)上，Xiao 等[21]進一步分析了這種局域共振板的低頻隔聲性能，發(fā)現(xiàn)其在共振頻率處具有超乎尋常的隔聲量.值得指出的是，采用局域共振型薄膜/薄板結(jié)構(gòu)降低隔聲峰值頻率，一般通過增大質(zhì)量塊的質(zhì)量或減小彈簧的剛度實現(xiàn)，但增大質(zhì)量會提高整體的面密度，過度減小剛度則使彈簧無法滿足基本的承載功能.因此，基于這類局域共振板，如何實現(xiàn)低頻甚至超低頻隔聲仍然是一個難點，有必要探索新的低頻寬帶隔聲方法.

針對低頻彈性波的控制，學者們提出了一種非線性準零剛度隔振器，其基本原理是將正剛度結(jié)構(gòu)與負剛度機構(gòu)并聯(lián)，該組合系統(tǒng)在靜平衡位置的組合剛度為零，但其初始組合剛度并未降低.準零剛度系統(tǒng)具有高的靜態(tài)剛度和低的動態(tài)剛度，亦稱“高靜低動”系統(tǒng)，其構(gòu)造形式多樣化，如“壓桿屈曲系統(tǒng)”[22]、“雙傾彈簧系統(tǒng)”[23]、“扭轉(zhuǎn)磁力彈簧系統(tǒng)”[24]等.

目前，國內(nèi)外多采用準零剛度系統(tǒng)抑制振動，未見基于準零剛度隔振器概念構(gòu)建低頻寬帶隔聲板結(jié)構(gòu)的相關(guān)研究.本文在薄板上周期性布置準零剛度諧振單元，創(chuàng)新地提出一種準零剛度局域共振型聲學超材料板，采用理論、仿真和實驗相結(jié)合的研究手段，對其隔聲特性和機理進行系統(tǒng)分析和討論，以期對低頻乃至超低頻隔聲提供新的概念和方法.

2 模型建立

2.1 準零剛度局域共振結(jié)構(gòu)

如圖1 所示，本文提出一種準零剛度局域共振型聲學超材料板，由方形金屬薄板(鋁板)及周期分布其上的準零剛度諧振單元組合而成.其中，A 為鋁板，厚度h=4 mm，元胞尺寸a=25 mm;B 為準零剛度諧振單元的外圍框架，材質(zhì)為環(huán)氧樹脂，尺寸H=8 mm，l2=2 mm，壁厚t=1 mm;C 為質(zhì)量單元，質(zhì)量m=0.1 kg，材質(zhì)為鉛，尺寸l1=3 mm;D 為彈簧(包括豎直彈簧和傾斜彈簧，剛度分別為k1=10000 N/m 和k2=8000 N/m)，彈簧端部與質(zhì)量塊和框架、框架與基板均采用膠接的方式連接.無外力作用下，取系統(tǒng)的平衡態(tài)位置為初始靜平衡位置，此時，傾斜彈簧處于水平位置，其壓縮后的長度為d，原長為l，豎直彈簧的壓縮力與質(zhì)量塊重力相平衡.聲學超材料板的相關(guān)材料參數(shù)(密度、楊氏模量和泊松比)列于表1.

表1 材料參數(shù)Table 1. Material parameters.

如圖1(c)所示，在z方向施加外力F時，質(zhì)量塊相較于初始靜平衡位置的位移為z，二者間的關(guān)系為

圖1 準零剛度局域共振結(jié)構(gòu)[25] (a)結(jié)構(gòu)示意圖;(b)單胞結(jié)構(gòu);(c)主要幾何參數(shù);(d)準零剛度單元俯視圖Fig.1.Quasi-zero stiffness local resonance structure[25]:(a) Schematic of whole structure;(b) unit cell;(c) main geometric parameters;(d) top view of quasi-zero stiffness element.

其無量綱形式為

由(2)式和(3)式可見，準零剛度系統(tǒng)歸一化恢復力和等效剛度均與結(jié)構(gòu)力學參數(shù)密切相關(guān)，圖2 給出了歸一化恢復力和等效剛度隨預壓縮量和剛度比的影響規(guī)律曲線.具體討論如下:

1)如圖2(a)和圖2(b)所示，保持剛度比γ0.4不變，調(diào)節(jié)彈簧的預壓縮量可顯著影響恢復力，進而使靜平衡位置處的系統(tǒng)等效剛度減小至0 乃至負值.具體而言，0 時，歸一化等效剛度為1 (即1)，準零剛度諧振單元等效剛度與豎直彈簧剛度k1相等，傾斜彈簧的負剛度效應可忽略不計;≈0.385 時，0; 0＜時，0 ≤1，即實現(xiàn)了系統(tǒng)的動態(tài)剛度小于靜剛度的目標;繼續(xù)增大預壓縮量使＜1，系統(tǒng)的等效動剛度可為負值，即實現(xiàn)了負剛度的效果.

2)調(diào)節(jié)彈簧的剛度比γ產(chǎn)生類似效果.保持預壓縮量0.2 不變，圖2(c)和圖2(d)分別給出歸一化恢復力和等效剛度隨γ的變化趨勢.可以看出，增大γ可使減小為0 乃至負值，例如γ1 時，0 .相關(guān)變化規(guī)律與預壓縮量類似，不再贅述.

圖2 彈簧剛度比保持不變(γ=0.4)，(a)歸一化恢復力和(b)等效剛度隨彈簧預壓縮量的變化趨勢;彈簧預壓縮量保持不變(=0.2)，(c)歸一化恢復力和(d)等效剛度隨彈簧剛度比的變化趨勢Fig.2.(a) Normalized reacting force and (b) equivalent stiffness plotted as functions of pre-compression of springs for γ=0.4 ;(c) normalized reacting force and (d) equivalent stiffness plotted as functions of spring stiffness ratio for =0.2 .

2.2 隔聲理論

小擾動線性聲波激勵下，薄板的彎曲響應屬于微幅振動.就圖1 所示模型而言，薄板振動引起的質(zhì)量塊位移極小，準零剛度系統(tǒng)局域共振結(jié)構(gòu)近似處于靜平衡位置，則其歸一化等效剛度((3)式)可線性化為

本文考慮的低頻聲波頻率范圍為1—1000 Hz，故超材料元胞尺寸與最小波長比a/λmin≈0.073，滿足長波假設(shè)(a ＜λ/10)，可近似將元胞視為一集中質(zhì)量，其動態(tài)等效質(zhì)量為[26]

元胞內(nèi)的框架僅起支撐作用，其質(zhì)量遠小于基板，根據(jù)等效介質(zhì)理論，考慮框架結(jié)構(gòu)的等效可忽略(等效密度不足基板的1/10)，同時質(zhì)量塊尺寸約為基板尺寸的1/10，對聲場的擾動較小，故可忽略其對隔聲的影響.將元胞的其余部分等效為與基板等厚度的均質(zhì)板材料，則均質(zhì)板材的等效密度為

其中，S為元胞面積，h為厚度，ρt

假設(shè)入射聲波為平面簡諧波，即

相應的反射波、透射波及超材料板橫向位移可分別表示為

其中，pi，pr，pt和W為入射聲壓幅值、反射聲壓幅值、透射聲壓幅值和超材料板的橫向位移幅值;kx，ky和kz是x，y和z方向的波矢，由下式給出:

式中，k0ω/c0為波數(shù)，c0為聲速，θ為入射角，φ為方位角.

基于無能量損失、靜態(tài)、連續(xù)、均勻理想介質(zhì)等假設(shè)，聲場介質(zhì)受擾動的動力學方程為

式中，ρ0為空氣密度，v為聲質(zhì)點速度.

板兩側(cè)界面的聲質(zhì)點速度與板質(zhì)點速度連續(xù).將(7)式和(8)式代入(10)式中，可得

將(7)式和(8)式代入(11)式中，可得反射聲壓幅值和透射聲壓幅值分別為

基于Kirchhoff 經(jīng)典薄板假設(shè)[27]，等效超材料板的聲振耦合控制方程可表示為

將(8)式和(12)式代入(13)式中，可得橫向位移幅值:

將(14)式代入(12)式中，可得透射聲壓幅值:

斜入射條件下，結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)和透射系數(shù)分別為

采用傳輸損失(sound transmission loss)評價隔聲性能，定義變量TL如下:

2.3 有限元模型

利用超材料板的周期性，建立如圖3 所示的有限元模型開展數(shù)值仿真，計算其反射系數(shù)、透射系數(shù)和傳輸損失等聲學特性，以驗證理論模型的準確性.模型整體采用實體化建模，計算域分三部分，其中I 為入射聲場、II 為超材料板固體域、III 為透射聲場，聲場介質(zhì)為空氣.定義S1和S2所在兩端域為完美匹配層，完美匹配層尺寸M0.5a，同時定義I，II，III 和完美匹配層域的四周為Floquet 周期性邊界以模擬無限大結(jié)構(gòu).采用聲-結(jié)構(gòu)耦合模塊，諧振單元則采用集總機械系統(tǒng)建模(見圖3(b))，節(jié)點1 和節(jié)點2 之間為等效彈簧，節(jié)點2 和節(jié)點3之間為質(zhì)量塊，節(jié)點1 與基板中心耦合傳遞力與位移，節(jié)點3 為自由節(jié)點.為保證計算精度，計算域尺度取L4a，聲場網(wǎng)格最大單元尺寸取聲波最小波長的1/6，固體域采用自由四面體網(wǎng)格，同時對超材料板的界面網(wǎng)格進行加密.

圖3 周期性元胞有限元模型 (a)有限元模型;(b)集總機械系統(tǒng)原理圖Fig.3.Finite element model of periodic cell:(a) Finite element model;(b) schematic diagram of lumped mechanical system.

反射系數(shù)R和透射系數(shù)T的定義分別為

其中，pin為S1平面入射聲壓，pre為S1平面反射聲壓，ptr為S2平面透射聲壓.

因此，在有限元軟件中，傳輸損失變量TL的定義如下:

其中，Win和Wtr分別為入射聲功率和透射聲功率，TL的單位為分貝.

3 數(shù)值仿真與討論

3.1 隔聲機理

采用理論計算和數(shù)值模擬，分析了三種結(jié)構(gòu)的隔聲性能，包括:1)準零剛度局域共振型聲學超材料板(quasi zero stiffness plate，QZS);2)傳統(tǒng)彈簧振子板(mass spring plate，MSP);3)無振子板(non-oscillator plate，NOP).假設(shè)聲激勵的入射角θ60°，方位角φ0°，入射聲壓幅值pi1 Pa，空氣的密度ρ01.2kg/m3，聲速c0343 m/s，計算所用結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2 所列.

表2 三種聲學板結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2. Structural parameters of the three structures.

圖4 給出三種板結(jié)構(gòu)的隔聲曲線，可見本文理論模型(equivalent medium method，EMM)結(jié)果與數(shù)值仿真(finite element method，F(xiàn)EM)結(jié)果非常符合，驗證了理論模型的正確性.對比三種結(jié)構(gòu)的隔聲效果發(fā)現(xiàn)，基體參數(shù)保持一致的情況下，準零剛度超材料板和傳統(tǒng)彈簧振子板在低頻段的隔聲效果更好，前者還可顯著降低局域共振頻率.預壓縮量調(diào)節(jié)為0.2 時，準零剛度超材料板的局域共振頻率為22.5 Hz，較傳統(tǒng)彈簧振子板(50 Hz)減小了一半，故更具優(yōu)勢.

圖4 三種聲學板結(jié)構(gòu)的傳輸損失:理論預測與數(shù)值模擬對比Fig.4.Comparison of sound transmission loss among three different plate structures:Analytical model prediction versus numerical simulation.

為進一步分析準零剛度超材料板的隔聲機理，圖5(a)給出三種聲學板結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量面密度.特定頻率下，相較于無振子板，準零剛度超材料板和傳統(tǒng)彈簧振子板均可顯著增加系統(tǒng)的等效動態(tài)質(zhì)量面密度，進而實現(xiàn)低頻段的超常隔聲效果.圖5(a)中藍實線顯示，在22.5 Hz 附近(圖4 中的隔聲峰處)，準零剛度超材料板的等效質(zhì)量面密度趨于無窮.結(jié)合(6)式可知，此時入射聲激勵頻率與準零剛度諧振單元的固有頻率一致(即 1-ω2/0)，局域共振單元發(fā)生共振.振子在平衡位置上下往復劇烈振動，導致聲能集中于諧振單元.此時，結(jié)合圖5(b)三種結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)曲線可知，準零剛度超材料板的反射系數(shù)趨近于1，聲波呈現(xiàn)近乎完美的全反射，和圖6(a)的聲壓云圖反映一致.在局域共振處，圖5 結(jié)果還顯示等效質(zhì)量面密度趨于無窮，且由正變負.負的等效質(zhì)量密度表明其具有偶極子振動模式(見圖5(a))，此時彈簧振子相當于一質(zhì)量塊，局域共振時，質(zhì)量塊與薄板反相位振動，系統(tǒng)總的外力與總的加速度反相，故產(chǎn)生負的等效質(zhì)量密度.從振幅上看，圖5(a)表明在局域共振附近，振子的振幅相比薄板更大，吸收了基板的能量，從而表現(xiàn)出超乎尋常的隔聲效果.

圖5 三種板結(jié)構(gòu)對比 (a)等效質(zhì)量面密度和超材料板的偶極子振動模式;(b)反射系數(shù)Fig.5.Comparison among three different plate structures:(a) Equivalent mass surface density and dipole vibration mode of QZS;(b) reflection coefficient.

圖5(a)的藍實線表明，在90 Hz 處，準零剛度超材料板的等效質(zhì)量面密度為零，趨近于圖4 中的隔聲谷頻率.根據(jù)彈性波理論，結(jié)構(gòu)彎曲波的波數(shù)為

同時，(15)式適當變形后的表達式為

(21)式 表明，D(k0sinθ)4/ω-ρeffhω0 時，透 射系數(shù)趨近于1，結(jié)合圖5(b)的藍實線，此時的聲波幾乎全透射，和圖6(b)的聲壓云圖反映一致.在局域共振頻率處產(chǎn)生局域共振帶隙，導致結(jié)構(gòu)彎曲波波數(shù)與入射聲波波數(shù)沿板面的投影相等(即keqk0sinθ)，由此激發(fā)結(jié)構(gòu)內(nèi)的本征彎曲波.這種彎曲振動與空氣之間發(fā)生強烈的聲耦合，從而在透射端輻射出強烈的聲能量，該現(xiàn)象也稱局域共振引起的低頻“吻合效應”[28]，此時出現(xiàn)隔聲谷值現(xiàn)象.值得注意的是，雖然這種吻合效應類似于普通板結(jié)構(gòu)(不帶振子)在聲波斜入射激勵下的吻合效應[29]，但區(qū)別在于這是由于附加振子改變了板結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量密度，導致出現(xiàn)新的吻合效應.

圖6 聲壓云圖(單位:Pa) (a) 22.5 Hz;(b) 90 HzFig.6.Sound pressure cloud diagram (unit:Pa):(a) 22.5 Hz;(b) 90 Hz.

3.2 參數(shù)調(diào)控

如前所述，調(diào)節(jié)彈簧的剛度比或預壓縮量，均可使準零剛度單元的等效動剛度從正變化為負.首先，基于理論計算，討論等效動剛度為正的情形.分別固定預壓縮量和剛度比，選取五種參數(shù)組合開展討論，具體調(diào)控參數(shù)見表3，其余參數(shù)與前文保持不變，圖7(a)和圖7(b)給出相應的隔聲曲線.保持預壓縮量0.2 不變，增大剛度比可使局域共振頻率向低頻移動.在39 Hz 局域共振頻率處，峰值隔聲量達80 dB，具有顯著隔聲效果.類似地，固定剛度比γ0.4不變，當預壓縮量0.376 時，局域共振頻率降低為10 Hz，隔聲量達30 dB，實現(xiàn)了20 Hz 以下的超低頻隔聲.總體而言，在正等效剛度范圍內(nèi)，增大預壓縮量或剛度比均可使局域共振頻率向低頻偏移.相較于剛度比，系統(tǒng)對預壓縮量的敏感度更高，且后者更易于調(diào)節(jié).

圖7 正剛度區(qū)傳輸損失對比 (a)剛度比的影響(=0.2 );(b)預壓縮量的影響(γ=0.4)Fig.7.Comparison of transmission loss versus frequency curves in positive equivalent stiffness zone:(a) Influence of stiffness ratio at =0.2 ;(b) influence of pre-compression at γ=0.4 .

表3 準零剛度單元在正等效剛度區(qū)的調(diào)節(jié)參數(shù)Table 3. Selected values of spring stiffness and precompression in the regime of positive equivalent stiffness.

其次，討論等效動剛度為負的情形;選取的四種代表參數(shù)列于表4，其余參數(shù)仍與前文保持不變，計算結(jié)果見圖8.可以看出，在結(jié)構(gòu)的負剛度區(qū)，可實現(xiàn)低頻大寬帶隔聲效果.剛度比或預壓縮量越大，隔聲效果越好，且整個頻段未出現(xiàn)明顯的隔聲峰值及谷值.

圖8 負剛度區(qū)傳輸損失對比Fig.8.Comparison of transmission loss versus frequency curves in negative equivalent stiffness zone.

表4 準零剛度單元在負等效剛度區(qū)的調(diào)節(jié)參數(shù)Table 4. Selected values of spring stiffness and precompression in the regime of negative equivalent stiffness.

進一步，在正/負等效剛度區(qū)，圖9(a)對比了準零剛度超材料板和無振子板的隔聲曲線.結(jié)果顯示，在正等效剛度區(qū)(0.2且γ0.8)，雖然超材料板可實現(xiàn)任意低頻段的超常隔聲，但僅在局域共振頻率附近隔聲效果良好，且由于出現(xiàn)低頻“吻合效應”，引發(fā)顯著的隔聲谷值現(xiàn)象，低頻隔聲的有效帶寬較窄.與此相反，在負等效剛度區(qū)(0.8且γ0.8)，超材料板不產(chǎn)生局域共振現(xiàn)象及低頻“吻合效應”，可實現(xiàn)低頻大寬帶的隔聲目標.相較于無振子板，處于負等效剛度區(qū)的超材料板可在53—1500 Hz 的寬帶范圍產(chǎn)生大于30 dB 的隔聲量，優(yōu)勢明顯.需要強調(diào)的是，傳統(tǒng)彈簧振子板無法通過改變彈簧剛度和質(zhì)量實現(xiàn)負等效剛度效應，該效應是本文提出的準零剛度超材料板的獨有特性.

為進一步分析負剛度區(qū)的低頻大寬帶隔聲機理，圖9(b)對比了超材料板和無振子板的等效聲阻抗率和反射系數(shù)，其中等效聲阻抗率定義如下:

圖9(b)中藍實線、紅虛線和黑點劃線分別表示正剛度區(qū)超材料板、負剛度區(qū)超材料板和無振子板的等效聲阻抗率.結(jié)果表明，在53—1500 Hz 的大寬帶范圍，負剛度區(qū)超材料板的聲阻抗率遠大于空氣:Z/Z0≥128，其 中Z0ρ0c0408 Pa·s·m—1，為空氣的聲阻抗率.

圖9(b)給出的結(jié)果還表明，相較于超材料板在正剛度區(qū)的反射系數(shù)(圖中的綠雙點劃線)，負剛度區(qū)的反射系數(shù)(紫雙虛線)呈現(xiàn)大寬帶反射效果.這種由于阻抗失配引起的聲波近乎全反射，在中低頻范圍極大拓寬了隔聲帶寬，為低頻大寬帶隔聲提供了新的思路.

圖9 正/負等效剛度區(qū)超材料板和無振子板對比 (a)傳輸損失;(b)等效阻抗和反射系數(shù)Fig.9.Metamaterial plate compared with non-oscillator plate in both positive regime (=0.2 and γ=0.8) and negative regime (=0.8 and γ=0.8) of equivalent stiffness:(a) Transmission loss;(b) equivalent impedance and reflection coefficient.

圖10 給出了QZS 模型在不同聲波入射角下的隔聲響應曲線.結(jié)果表明，隨著入射角的增大，傳輸損失會減小;入射角不影響局域共振頻率，對低頻吻合頻率的影響可忽略.局域共振頻率(對應隔聲峰值)只與等效剛度和質(zhì)量塊質(zhì)量相關(guān)，低頻吻合頻率(對應隔聲谷值)近似為等效質(zhì)量密度零值點.由(6)式等效密度為零，可得谷值頻率近似為，兩者均與入射角無關(guān)，總的來說，入射角度對基于無限大周期模型的QZS模型隔聲結(jié)果影響較小.

圖10 傳輸損失隨入射角變化曲線Fig.10.Comparison of transmission loss under different incident angle.

4 實驗驗證

為進一步驗證理論及仿真計算的正確性，采用圖11(a)所示BSWA SW422 阻抗管開展實驗，基于VA-Lab 測試系統(tǒng)及傳遞函數(shù)法，分別對有限大四振子超材料板及無振子板樣件在63—1600 Hz頻段內(nèi)的傳輸損失進行測試.為減少試驗結(jié)果的離散性誤差，采用12 組實驗結(jié)果取平均.阻抗管的管徑為100 mm，將四個準零剛度諧振單元黏合于圓形鋁板，如圖11(b)所示.諧振單元中的質(zhì)量塊和框架均采用環(huán)氧樹脂材料3D 打印而成，由于質(zhì)量塊的質(zhì)量過小，所以在質(zhì)量塊上附加鉛塊;鋁材的密度為2700 kg/m3，泊松比為0.3，楊氏模量為70 GPa，厚度為2 mm;四個諧振單元的力學參數(shù)列于表5，k1為豎直彈簧剛度，k2為傾斜彈簧剛度，將樣件四周用生料帶進行邊緣密封，然后將其安裝在阻抗管內(nèi)，如圖11(c)所示.

圖11 (a)實驗裝置;(b)超材料板樣件;(c)樣件置于阻抗管內(nèi)Fig.11.(a) Experimental facility;(b) metamaterial plate sample;(c) sample positioned in impedance tube.

除了實驗測試，分別對有限大無振子板(finite non-oscillator plate，F(xiàn)_NOP)和有限大四振子超材料板(finite quasi zero stiffness plate，F(xiàn)_QZS)進行仿真分析，此處的仿真分析指的是在有限元軟件里建立駐波管實驗中對應的圓形有限大結(jié)構(gòu)模型，并非前文中的無限大周期結(jié)構(gòu)模型.此外，可基于前文的無限大周期結(jié)構(gòu)隔聲理論對同晶格尺寸的2 mm 厚無振子板和四振子超材料板模型進行垂直入射響應預測.圖12 給出了有限大結(jié)構(gòu)的實驗及仿真結(jié)果(紅線和藍線所示)和基于無限大結(jié)構(gòu)的理論結(jié)果(黑線所示).

結(jié)果表明:對于無振子板，仿真和實驗符合較好，初步驗證了測試方法的有效性，理論和實驗在1400 Hz 頻率以下的誤差較大，主要原因在于駐波管中的樣品隔聲性能主要受邊界條件約束，處于剛度控制區(qū)，而理論解無法考慮邊界影響.對于有限大四振子超材料板，圖12(b)表明有限元仿真得到的局域共振頻率與實際測量值基本一致(見表5)，其中諧振單元A 與B 相比，增大剛度比會使局域共振頻率減小;同樣諧振單元C 與D 相比，增大預壓縮也可使局域共振頻率減小，驗證了本文理論模型的正確性.實驗與仿真結(jié)果之間的誤差較無振子板大一些，換句話說，振子的引入增加了仿真和實驗的誤差，誤差主要來源于樣件本身的加工誤差、樣件在阻抗管內(nèi)的安裝定位誤差和測量誤差.理論結(jié)果可較為準確地捕捉到由于局域共振引起的四個隔聲峰值，但在其他頻段和仿真及實驗有較大差距，主要原因同樣在于無限大模型無法考慮結(jié)構(gòu)有限尺寸帶來的邊界效應.

圖12 實驗測量與數(shù)值仿真得到的傳輸損失對比 (a)無振子板;(b) 4 振子超材料板Fig.12.Comparison of transmission loss between experimental measurement and numerical simulation:(a) Non-oscillator plate;(b) four-oscillator metamaterial plate.

表5 有限大四振子超材料板的力學參數(shù)及局域共振頻率Table 5. Mechanical parameters and local resonance frequencies of finite four-oscillator metamaterial plate.

5 結(jié)論

在傳統(tǒng)彈簧-振子局域共振基礎(chǔ)上，本文并聯(lián)傾斜彈簧負剛度機構(gòu)，首次提出一種準零剛度局域共振型聲學超材料板，通過調(diào)整組合彈簧的預壓縮量和剛度比，實現(xiàn)了低頻寬頻帶有效隔聲，主要結(jié)論如下:

1)準零剛度諧振單元的歸一化等效剛度與力學結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān)，增大剛度比或預壓縮量，均可在不改變諧振單元靜剛度的前提下降低其等效動態(tài)剛度.

2)在局域共振頻率處，準零剛度諧振單元發(fā)生諧振，其等效質(zhì)量面密度趨于無窮，反射系數(shù)趨近于1，實現(xiàn)了聲波近乎全反射，隔聲曲線上呈現(xiàn)峰值.

3) 局域共振頻率附近，結(jié)構(gòu)彎曲波波數(shù)與入射聲波波數(shù)沿板面投影相等，引發(fā)低頻“吻合效應”，聲波近乎全透射，隔聲曲線上呈現(xiàn)谷值.

4)準零剛度諧振單元的等效動態(tài)剛度可正，亦可負.在正剛度區(qū)，增大剛度比或預壓縮量使局域共振頻率向低頻移動，故可實現(xiàn)任意低頻乃至超低頻有效隔聲;在負剛度區(qū)，諧振單元因不產(chǎn)生局域共振而避免了低頻吻合效應，故可實現(xiàn)低頻大寬帶隔聲，且剛度比或預壓縮量越大，隔聲效果越好.

本文提出的準零剛度局域共振超材料結(jié)構(gòu)不僅具有低頻大寬帶隔聲的獨有特性，還克服了傳統(tǒng)聲學超材料需減小剛度或增大附加質(zhì)量的不利特性，未來可在此基礎(chǔ)上進一步開展相關(guān)優(yōu)化及設(shè)計研究.