當(dāng)今，“互聯(lián)網(wǎng)+教育”成為數(shù)學(xué)教學(xué)的必然之舉。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)須倡導(dǎo)以超越課堂面授的陪伴為途徑、以提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為宗旨、以錘煉數(shù)學(xué)思維為核心的謀略式培育。可視化無疑是一項(xiàng)行之有效的策略。林崇德認(rèn)為：“核心素養(yǎng)具有可教、可學(xué)的外顯部分，同時(shí)也存在無聲、無形，但可感、可知的內(nèi)隱部分。”^[1]核心素養(yǎng)的外顯部分，亦即知識(shí)層面，可以借助一些形式“教”出來;而內(nèi)隱部分，亦即思想層面，只有在教學(xué)過程“玩”數(shù)學(xué)中慢慢地滲透，只有在學(xué)習(xí)過程“玩味、聯(lián)想”中才能“悟”出來。如何借助可視化技術(shù)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？筆者應(yīng)用GeoGebra軟件，“仰望星空，腳踏實(shí)地”，做了一些教學(xué)層面上的實(shí)踐。

一、數(shù)學(xué)可視化與GeoGebra動(dòng)態(tài)演示工具

數(shù)學(xué)可視化就是將抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象（概念原理、結(jié)構(gòu)關(guān)系、思想方法等）用可看見的表征形式（圖形、圖象、動(dòng)畫等）清楚直白地呈現(xiàn)出來，使人們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象有一個(gè)形象、直觀、整體的認(rèn)識(shí)和理解^[2]。

在數(shù)學(xué)可視化教學(xué)中，教師借助“形”的“圖示”與“數(shù)”的“析理”、構(gòu)圖元素的“隱藏”與“虛實(shí)”、曲線的“色彩”與“動(dòng)畫”等，通過信息技術(shù)手段進(jìn)行表征，可以建立“可視”與“抽象”之間的內(nèi)在聯(lián)系，突破“只可意會(huì)，不可言傳”的交流障礙。這是理解信息元素的交互、洞悉數(shù)學(xué)本質(zhì)的美感的好辦法，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的捷徑。

GeoGebra軟件是數(shù)學(xué)可視化的重要“云梯”，是數(shù)學(xué)教學(xué)中的“詩意催化劑”。教師借助GeoGebra軟件可進(jìn)行“形”與“數(shù)”的自由轉(zhuǎn)換，建立“可見形式”與“抽象形式”的直接聯(lián)系。該軟件的應(yīng)用拓展了數(shù)學(xué)的學(xué)與教的空間，有效地改進(jìn)了“誘思探究”的方式，有利于激發(fā)學(xué)生潛能，調(diào)動(dòng)學(xué)生讀懂?dāng)?shù)學(xué)“玄妙”的渴望，提高學(xué)與教的有效性，實(shí)施更多具有探索性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。GeoGebra軟件是教師課堂教學(xué)的動(dòng)態(tài)演示工具，也是學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究“遨游”的“隱形的翅膀”，其手機(jī)版的推廣更為學(xué)生課后深度學(xué)習(xí)、思維深化，提供了在“玩”數(shù)學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的空間。寓教于樂是該軟件保持活力的關(guān)鍵所在。

二、數(shù)學(xué)可視化提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)踐

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面。在知識(shí)模塊的教學(xué)中，教師可以滲透一項(xiàng)或多項(xiàng)素養(yǎng)的培養(yǎng)。在GeoGebra軟件的支持下，指向?qū)W科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)融合度和效能將大大提高。筆者結(jié)合實(shí)例側(cè)重從如下幾個(gè)方面闡述思路與做法。

（一）透徹理解數(shù)學(xué)概念，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓，是數(shù)學(xué)課程“四基”和“四能”教與學(xué)的核心。學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念才能形成對(duì)數(shù)學(xué)的基本的、概括性的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)概念教學(xué)有賴于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的透徹理解。GeoGebra軟件支持“人機(jī)交互”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可幫助學(xué)生高效理解數(shù)學(xué)概念，助力學(xué)生在情境中用數(shù)學(xué)眼光“看”世界，抽象數(shù)學(xué)概念和思想方法，積累從客觀到主觀的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);養(yǎng)成觀察問題、思考問題的素養(yǎng)，用數(shù)學(xué)思維“探”世界，把握事物的本質(zhì)，以簡(jiǎn)馭繁;運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維研析問題、思考問題，進(jìn)而提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

【例1】異面直線的理解：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線。

理解：選取直線工具構(gòu)建異面直線，，選取旋轉(zhuǎn)工具使得經(jīng)過直線的平面繞直線旋轉(zhuǎn)，并構(gòu)建滑動(dòng)條，拖動(dòng)滑動(dòng)條改變旋轉(zhuǎn)角度的大小。仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)：無論如何旋轉(zhuǎn)平面都不會(huì)經(jīng)過直線（如圖1）。

同理，經(jīng)過直線的平面也無論如何不會(huì)經(jīng)過直線。

【例2】導(dǎo)數(shù)的幾何意義：設(shè)曲線上一點(diǎn)（， （）），過點(diǎn)的一條割線交曲線于另一點(diǎn)（ +Δ， （ +Δ）），如圖2所示，則割線的斜率為：

。

當(dāng)點(diǎn)沿曲線向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并無限靠近點(diǎn)時(shí)，割線的斜率逼近的切線的斜率，即當(dāng) Δ無限趨近于0時(shí)， 無限趨近于點(diǎn)處的斜率，有：

理解：首先，在指令欄輸入指令 （）=- ³

+2+ ，選取直線工具構(gòu)建割線，選取切線工具構(gòu)建曲線在點(diǎn)處的切線，選取斜率工具分別求出切線、割線的斜率;然后，選取文本工具分別創(chuàng)建相應(yīng)的文本，選取移動(dòng)工具拖動(dòng)點(diǎn)的位置，使之無限逼近點(diǎn)，觀察割線的斜率的變化;最后，選取移動(dòng)工具拖動(dòng)點(diǎn)的位置，觀察點(diǎn)處的切線與曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)（如圖3）。

感悟：異面直線是立體幾何教學(xué)的“說不清道不明”的數(shù)學(xué)概念。以往不管教師怎么闡述總是詞不達(dá)意，學(xué)生因剛接觸空間對(duì)象，直觀想象素養(yǎng)有待于強(qiáng)化，理解起來頗有“行走在云端”之感。教師借助GeoGebra軟件的“3D功能”進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生對(duì)這一概念能輕松、透徹理解。導(dǎo)數(shù)的幾何意義涉及無限逼近思想，數(shù)學(xué)可視化使學(xué)生在操作體驗(yàn)中，經(jīng)歷變化率從“平均”到“瞬時(shí)”、直線從“割”到“切”的過程，增加了更多的真實(shí)體驗(yàn)。學(xué)生感知割線“無限逼近”與“量變到質(zhì)變”的哲學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)“向技術(shù)學(xué)習(xí)”，這是傳統(tǒng)教學(xué)無法做到的。在導(dǎo)數(shù)的幾何意義的動(dòng)態(tài)演示中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生觀察曲線的切線的不同形式，認(rèn)識(shí)到切線與曲線的公共點(diǎn)未必只有一個(gè)，真正地理解切線的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（二）高效破解教學(xué)難點(diǎn)，提高數(shù)學(xué)思辨能力

高效破解難點(diǎn)是衡量教師教學(xué)素養(yǎng)的標(biāo)尺。教學(xué)難點(diǎn)之所以成為難點(diǎn)，原因在于數(shù)學(xué)的抽象不易理解，或者推理的技能技巧不易掌握，又或者是模型的構(gòu)建經(jīng)驗(yàn)不足。

數(shù)學(xué)思辨能力指學(xué)生通過對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行分析、思考、推理和辨析等思維活動(dòng)，透徹認(rèn)知數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，包括準(zhǔn)確分析、明晰推理和清楚表達(dá)三項(xiàng)具體要素。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》所設(shè)定的核心素養(yǎng)的本質(zhì)就是抽象、推理和模型^[3]?！俺橄蟆⑼评砗湍Ｐ汀睂?duì)應(yīng)的哲學(xué)思考就是“三會(huì)”，而直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析已經(jīng)融入“抽象、推理和模型”之中“結(jié)伴而行”。明晰推理就是數(shù)學(xué)思辨素養(yǎng)追求的目標(biāo)，模型意識(shí)是數(shù)學(xué)思辨素養(yǎng)表達(dá)層面的四項(xiàng)要素之一。

數(shù)學(xué)可視化可以幫助學(xué)生破解學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)，還能幫助教師高效地提高課堂教學(xué)的專業(yè)素養(yǎng)。GeoGebra軟件是一個(gè)超級(jí)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”。教師應(yīng)用該軟件建立幾何直觀與抽象概念之間的印證關(guān)系，體現(xiàn)知識(shí)的多元聯(lián)系，體現(xiàn)實(shí)證與抽象的和諧統(tǒng)一，讓學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣和欣喜，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的高度融合，有效地破解了傳統(tǒng)教學(xué)遇到的困局，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)方式的不足，減輕了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷。

【例3】同底數(shù)的指數(shù)函數(shù) （） = （>0， ≠1）與對(duì)數(shù)函數(shù) （） = log （>0，≠1）最多有 個(gè)交點(diǎn)。

破解：首先，選取滑動(dòng)條工具構(gòu)建底數(shù)的滑動(dòng)條，指令欄輸入函數(shù) （） = （>0，≠1）、=與 （） = log （>0，≠1） ，選取交點(diǎn)工具構(gòu)造指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的公共點(diǎn)。然后，拖動(dòng)滑動(dòng)條改變底數(shù)的大小，引領(lǐng)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)>1時(shí)，隨著的增大，兩個(gè)函數(shù)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)先后出現(xiàn)2個(gè)、1個(gè)、0個(gè)的情形，此時(shí)，兩者至多有兩個(gè)公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)都在直線=上。當(dāng) 0<<1時(shí)，隨著的減小，兩個(gè)函數(shù)的公共點(diǎn)先是出現(xiàn)1個(gè)，且在直線=上，而后放大繪圖區(qū)，再點(diǎn)擊滑動(dòng)條上的，用放大工具縮放繪圖區(qū)（也可以使用鍵盤方向鍵微調(diào)，還可用鼠標(biāo)滾輪變焦）使得值緩緩減小，小于0.065時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)又增加了兩個(gè)，且這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線=對(duì)稱（如圖4）。

感悟：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)須做到“腦中有形，心中有數(shù)”。教師利用GeoGebra軟件可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)畫漸變效果，細(xì)致入微地“看圖說話”，可以很容易地破解教學(xué)難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生“向技術(shù)學(xué)數(shù)學(xué)”?！凹埳系脕斫K覺淺，絕知此事要躬行”，看見“不可見”，這樣的理性認(rèn)識(shí)才是有“根基”的。

（三）漸進(jìn)發(fā)展空間觀念，提升直觀想象素養(yǎng)

相對(duì)于其他數(shù)學(xué)教育軟件而言，GeoGebra軟件擁有簡(jiǎn)約的外觀，但在立體幾何方面具有非?！皬?qiáng)悍”的表現(xiàn)力，不僅能直觀地“3D動(dòng)畫”演示立體圖形，真實(shí)地刻畫“色彩可視”的三維空間，將“只可意會(huì)不可言傳”的問題（如圖形的割補(bǔ)、展開、折疊，幾何體的內(nèi)切球、外接球等問題）“暴露”得“迎刃而解”，而且可以發(fā)揮繪圖區(qū)、運(yùn)算區(qū)、表格區(qū)等多區(qū)域聯(lián)動(dòng)表征的優(yōu)勢(shì)，將數(shù)學(xué)模型意識(shí)、直觀想象素養(yǎng)實(shí)現(xiàn)得“酣暢淋漓”。

【例4】（2020年廣東省佛山市普通高中高二質(zhì)量檢測(cè)）在棱長為2的正方體-中，點(diǎn)是正方體棱上一點(diǎn)，丨丨+丨丨=。

（1）若=4，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ;

（2）若滿足丨丨+丨丨=的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6，則的取值范圍是 。

發(fā)展：選取正六面體工具構(gòu)建正方體-，構(gòu)建直線與平面，在該平面內(nèi)選取一點(diǎn)，并構(gòu)建焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過點(diǎn)的橢圓;創(chuàng)建繪圖區(qū)2，構(gòu)建底數(shù)=的滑動(dòng)條，將橢圓繞直線旋轉(zhuǎn)角度，在指令欄輸入序列指令構(gòu)建橢圓序列，輸入曲面指令構(gòu)建橢球面，并選取復(fù)選框工具創(chuàng)建相應(yīng)的復(fù)選框;移動(dòng)點(diǎn)改變橢圓的大小，觀察橢球面與正方體的各棱的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)行如下演示。

（1）若2 <<4，如圖5所示，可得點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6。

（2）若=4，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4。

（3）若4<<2+2 ，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4。

（4）若=2+2 ，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為8。

（5）若2+2 <<4 ，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6，如圖6所示。

（6）若=4 ，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2。

（7）若>4 ，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0。

感悟：數(shù)學(xué)可視化蘊(yùn)含著神奇、孕育著創(chuàng)造。動(dòng)態(tài)解析立體幾何問題是教與學(xué)的難點(diǎn)，它滲透著“動(dòng)”與“靜”的哲學(xué)思想和直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)。教師借助GeoGebra軟件將抽象的立體幾何問題用“看得見”的多種表征形式呈現(xiàn)出來，虛實(shí)清晰，層次鮮明。學(xué)生感嘆：GeoGebra軟件就是數(shù)學(xué)魔術(shù)師。

（四）多維啟迪問題探究，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成效如何，教師需要對(duì)學(xué)生學(xué)業(yè)水平進(jìn)行檢測(cè)。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握往往通過分析問題、解決問題來完善和體現(xiàn)。數(shù)學(xué)問題是錘煉數(shù)學(xué)思維的重要載體。解題教學(xué)非常重要，在增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值，樹立善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神等方面有積極作用。GeoGebra軟件充當(dāng)超級(jí)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”的角色，讓學(xué)生擁有動(dòng)手操作的愉悅感受，經(jīng)歷“感知—感悟—新知”“實(shí)驗(yàn)操作—大膽猜想—推理驗(yàn)證”的過程，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，將獲取知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為認(rèn)識(shí)世界的智慧。

【例5】（2019年浙江卷）已知點(diǎn) （1， 0）為拋物線²=2 （ >0）的焦點(diǎn)（如圖7）。過點(diǎn) 的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，使得△的重心在軸上，直線交軸于點(diǎn)，且在點(diǎn)的右側(cè)，記△， △的面積分別為，。

（1）求的值及拋物線的準(zhǔn)線方程;

（2）求 的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。

啟迪1：已知=2，拋物線方程為²=4，其準(zhǔn)線方程為=-1。

首先，在運(yùn)算區(qū)，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為=+1，代入拋物線方程得²-4-4=0。

設(shè) （，）， （，）則+= 4，= -4，+= （+）+2=4²+2。

設(shè)（，），由于△的重心在軸上，則 ，即=-4。

因?yàn)? =4²，所以 。

因?yàn)樵邳c(diǎn)的右側(cè)，所以在點(diǎn)的右側(cè)， >1，即²> 。

為了研究的需要，需滿足=-4，²> 。

啟迪2：教師應(yīng)用GeoGebra軟件，首先，在指令欄輸入拋物線的方程，以及直線的方程=+1，并創(chuàng)建的滑動(dòng)條，設(shè)置范圍 ，步長為0.001;然后，構(gòu)建△及其重心，選取面積工具分別計(jì)算出△，△的面積，;最后，創(chuàng)建繪圖區(qū)2，在指令欄賦值=，= ，構(gòu)造點(diǎn)，選取文本工具創(chuàng)建文本與的比值，拖動(dòng)滑動(dòng)條可以發(fā)現(xiàn)“牽一發(fā)而動(dòng)全身”。結(jié)合動(dòng)畫演示，可以“看”到比值 的變化，并“慢動(dòng)作”地尋求 最小值為1.866時(shí)，=0.707。

啟迪3：=0.707是近似值，準(zhǔn)確值是多少呢？它是哪個(gè)常見實(shí)數(shù)的近似值呢？是 嗎？ 最小值1.866呢？是1+ 嗎？

感悟：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)旨在讓學(xué)生“知其然”，幫助學(xué)生直觀感知，培育學(xué)生的合情推理的素養(yǎng)，但“知其所以然”尚需推理論證，這個(gè)數(shù)學(xué)化過程則是培育學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維、錘煉邏輯推理素養(yǎng)的極好路徑。兩者之間需尋求恰當(dāng)合理的動(dòng)態(tài)均衡，各得其所，一體考量方能相得益彰。

三、總結(jié)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是新課程教學(xué)改革深化的重大成果，基于GeoGebra軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)可視化教學(xué)是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑，有著巨大的應(yīng)用空間，還有待于在學(xué)習(xí)中挖掘，在教學(xué)中熟練，在探究中提煉。只有將信息技術(shù)深度融合于數(shù)學(xué)內(nèi)容中，并將可視化操作從教師手中轉(zhuǎn)移到學(xué)生手中，才能實(shí)現(xiàn)從形式到內(nèi)涵的轉(zhuǎn)變。學(xué)生通過直觀感知，展開想象，通過操作積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐漸提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)是以計(jì)算和推理為主的一門學(xué)科，數(shù)學(xué)可視化僅是教學(xué)的輔助手段，不能為“可視化”而可視化，應(yīng)該在學(xué)生獨(dú)立思辨、擁有困惑的基礎(chǔ)上，對(duì)手動(dòng)難以作圖或用語言難以表述清楚的內(nèi)容進(jìn)行及時(shí)展現(xiàn)，解惑。

“馬不伏歷，不可以趨道;士不素養(yǎng)，不可以重國?！睌?shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生先天條件和后天學(xué)習(xí)的綜合素質(zhì)的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何培養(yǎng)呢？t0yklyCwtJNLIM7S0JxChwz+7sMervwhJWQyP6xHCso=正如史寧中教授所言：“信息技術(shù)正在通過與學(xué)科的融合來改造我們的教學(xué)，形成一種全新的教學(xué)模式。”^[4]基于GeoGebra軟件的數(shù)學(xué)可視化之路，必然是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效路徑之一。廣大同仁且行且探索。

注：本文系安徽省教育信息技術(shù)研究課題“基于GeoGebra的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與可視化教學(xué)的實(shí)踐研究”（立項(xiàng)號(hào)：AH2019210）的階段性成果;阜陽市教育科學(xué)規(guī)劃課題“核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生反思能力有效性實(shí)踐的研究”（立項(xiàng)號(hào)：FJK043）的成果。

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（作者系安徽省太和中學(xué)高級(jí)教師，華中師范大學(xué)考試研究院特聘研究員）

責(zé)任編輯：祝元志