王遠帆

一、項目式學(xué)習(xí)研究背景

初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〔2021年版〕中指出數(shù)學(xué)課程應(yīng)致力于實現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目的，要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個性開展的需要，使得：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的開展。學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除承受學(xué)習(xí)外，動手理論、自主探究與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。

2021年7月24日，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負擔(dān)和校外培訓(xùn)負擔(dān)的意見》。切實提升學(xué)校育人水平，持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)（包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)），有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生校內(nèi)外過重作業(yè)負擔(dān)和培訓(xùn)負擔(dān)。陸續(xù)有政策出臺限制學(xué)校布置作業(yè)的時間，要將作業(yè)進行公示等措施，逼迫學(xué)校減輕學(xué)生的作業(yè)負擔(dān)。然而，作業(yè)是學(xué)校教育教學(xué)管理工作的重要環(huán)節(jié)，是課堂教學(xué)活動的必要補充，做作業(yè)，是個學(xué)生就跑不了。但問題是一些學(xué)校作業(yè)數(shù)量過多、質(zhì)量不高、功能異化，既達不到溫故知新的效果，又占用了學(xué)生正常的鍛煉、休息、娛樂時間?！半p減”政策的落地，進一步倒逼學(xué)校提升教學(xué)質(zhì)量，提升作業(yè)效率，不能一味地布置重復(fù)性作業(yè)。作業(yè)“減負增效”刻不容緩。

項目學(xué)習(xí)（projet-based learning）作為一種新型的學(xué)習(xí)方式，與當(dāng)下的教育改革趨勢不謀而合，為建構(gòu)初中數(shù)學(xué)活動提供的新的視野。項目式學(xué)習(xí)對于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題能力意義深遠，同時也有助于學(xué)生的邏輯和數(shù)學(xué)抽象能力，形成模型思想，提升其應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。下面以“四邊形角平分線探究”探討初中幾何項目式學(xué)習(xí)的設(shè)計與開展。

二、初中幾何項目式學(xué)習(xí)案例

（一）項目背景

在學(xué)習(xí)人教版《12.3 角的平分線的性質(zhì)》時，發(fā)現(xiàn)在三角形三個內(nèi)角和三個外的角平分線所成夾角有一定的規(guī)律，但是若將所有的角平分線都組合一次，將會有30種情況。經(jīng)過探究，這些角平分線的組合只有以下的三種情況：兩條內(nèi)角平分線相交、兩條外角平分線相交、一條內(nèi)角平分線與其相鄰內(nèi)角的外角平分線（的反向延長線）相交。我們將三種情況的發(fā)現(xiàn)歸納到以下的表格，為了方便后續(xù)的說明，我們對于一些特殊的角作以下定義：

1.夾角：指一個多邊形中兩條角平分線相交所形成的夾角。

2.孤立角：指一個多邊形中與兩條角平分線無關(guān)的角。

類型 兩條內(nèi)角平分線 兩條外角平分線 一條內(nèi)角平分線與其相鄰內(nèi)角的外角平分線（的反向延長線）

3.結(jié)論：

（1）在三角形三個內(nèi)角和三個外的角平分線所成夾角只有以上三種情況，每一種情況中，孤立角與夾角都能通過計算得到它們的數(shù)量關(guān)系。

（2）將夾角頂點與孤立角頂點相連，能得到孤立角（或其外角）的角平分線。

（二）問題提出

1.在三角形中存在以上規(guī)律，四邊形是否也有相同的規(guī)律？

2.與三角形研究方式的異同。

（三）項目分工

第一組——整理已有結(jié)論，提煉共性部分

整理三角形的研究方法，用表格匯總、呈現(xiàn)（項目背景部分）。

第二組——探究推演

探究四邊形角平分線的分類，對每一類角平分線夾角與孤立角的關(guān)系并進行邏輯推演，得出初步結(jié)論。

第三組——審核結(jié)論

對第二組同學(xué)得出的結(jié)論進行審核，并討論推演過程是否存在漏洞，是否所有情況都考慮到了。

第四組——匯總

將前四組同學(xué)的結(jié)論匯總，形成最終項目學(xué)習(xí)報告。

（四）探究結(jié)果

1.對于四邊形中的角平分線，有以下規(guī)律：

類型 是否有規(guī)律 兩條內(nèi)角平分線 兩條外角平分線 一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線（的反向延長線）

2.結(jié)論：

（1）對于四邊形的分類，我們發(fā)現(xiàn)由于存在兩個孤立角，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)與三角形的有所異同，在按照三角形兩條內(nèi)角平分線相交、兩條外角平分線相交、一條內(nèi)角平分線與其相鄰內(nèi)角的外角平分線（的反向延長線）相交的分類標(biāo)準(zhǔn)上一級，再加上孤立角是否相鄰。

（2）孤立角相鄰的情況能發(fā)現(xiàn)孤立角與平分線夾角的關(guān)系，但若孤立角不相鄰，則孤立角與夾角之間不存在數(shù)量關(guān)系。

（3）由于四邊形具有不穩(wěn)定性，因此將夾角頂點與孤立角頂點的連線不一定是孤立角（或其外角）的角平分線。

三、初中幾何項目學(xué)習(xí)

（一）項目解構(gòu)

初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〔2021年版〕中指出通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：

1.獲得適應(yīng)社會生活和進一步開展所必需的數(shù)學(xué)的根底知識、根本技能、根本思想、根本活動經(jīng)歷。

2. 體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)絡(luò)，運用數(shù)學(xué)的思維方式進展考慮，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的才能、分析和解決問題的才能。

3.理解數(shù)學(xué)的價值，進步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識和實事求是的科學(xué)態(tài)度。

（二）“角平分線探究”與數(shù)學(xué)素養(yǎng)

可行合理的PBL學(xué)習(xí)項目，允許學(xué)生從事基于設(shè)計或項目的任務(wù)，營造以學(xué)生為中心的學(xué)習(xí)氛圍，促進體驗式學(xué)習(xí)并鼓勵同伴互動和協(xié)作。支持學(xué)生協(xié)作建構(gòu)知識，通過思想碰撞實現(xiàn)創(chuàng)新思考解決問題。

在數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)中，包括三個要素：驅(qū)動性問題、探究成果及評價。在本次數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生們“探究四邊形角平分線性質(zhì)”的主題的推動下，需要運用所學(xué)的或沒有學(xué)過的四邊形知識去完成項目任務(wù)，在運用知識解決活動任務(wù)的過程中也全面地展示了其綜合數(shù)學(xué)能力。此項目需要學(xué)生進行交流、表征、作圖、分析、證明、簡化、建模、求解、發(fā)現(xiàn)、反思等不同的活動，在各方面數(shù)學(xué)素養(yǎng)的協(xié)調(diào)下，最終合作完成“探究成果”。在此期間，各種數(shù)學(xué)素養(yǎng)皆會得到一定的體現(xiàn)與提升。

（責(zé)任編輯：安馨）