劉金鋼，郝 鋼

(黑龍江大學 電子工程學院，哈爾濱 150080)

0 引 言

在實際控制系統(tǒng)中，大多數(shù)系統(tǒng)是非線性的，深入分析和研究非線性系統(tǒng)可有效解決實際生活中的非線性問題。非線性濾波算法作為非線性系統(tǒng)理論的重要分支，受到了學者們的關(guān)注并被廣泛應用到目標跟蹤，信號處理，導航制導等工程領(lǐng)域[1]。

為了解決非線性系統(tǒng)濾波問題，擴展卡爾曼濾波算法(EKF)[2-3]最早被提出。EKF算法采用泰勒級數(shù)展開的方式對非線性方程線性化，然后利用雅可比矩陣代替狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，最后利用卡爾曼濾波方法進行估計。EKF算法容易實現(xiàn)，但需要計算雅可比矩陣，計算量大，同時在線性化時舍棄了高階項會造成信息缺失，可能導致結(jié)果發(fā)散。隨后UKF[4-5]算法被提出。UKF算法并沒有直接近似非線性方程而是利用UT變換生成Sigma點來逼近非線性函數(shù)的后驗分布。采用UT變換獲得Sigma采樣點，通過非線性函數(shù)傳遞，用新的采樣點近似非線性函數(shù)的后驗均值和方差。相比于EKF，它不需要計算雅可比矩陣并且濾波精度可以達到二階泰勒級數(shù)展開的精度。近幾年，CKF算法[6]被提出。CKF算法從數(shù)值積分的角度出發(fā)近似高斯積分。三階球面-相徑容積規(guī)則[7]通過容積規(guī)則得到容積點，經(jīng)過非線性函數(shù)傳遞，用這些傳遞后的容積點近似狀態(tài)后驗分布。與EKF、UKF相比，CKF不僅濾波精度高而且穩(wěn)定性更好。

隨著科學技術(shù)的發(fā)展，單一的傳感器很難滿足人們的需求，因此多傳感器信息融合濾波理論被提出。融合估計通常分為集中式融合和分布式融合[8]。相比于集中式融合，分布式融合不是最優(yōu)的，但在計算成本，魯棒性和靈活性等方面的良好性能使其被廣泛應用。通常為了求得最優(yōu)分布式融合估計需要已知各個傳感器的互協(xié)方差，但在實際應用中互協(xié)方差未知或很難得到，因此協(xié)方差交叉融合(CI融合)[9-13]算法被提出。該算法不僅不需要已知協(xié)方差就可以得到滿意的融合效果，而且具有魯棒性，但也因此過于保守。為了改進CI融合算法，橢圓交叉(EI)[14]算法被提出，該算法減小了估值間公共信息的重復計算，但它不具有一致性。因此在EI算法的基礎上提出了逆協(xié)方差交叉(ICI)[15-16]算法，該算法不僅具有一致性而且精度高于CI融合[17]。為了降低計算量并提高融合效率，序貫ICI算法被提出并被廣泛應用[18-21]。該算法不需要解決高維的權(quán)系數(shù)凸優(yōu)化問題,但是當傳感器數(shù)量太多時，序貫ICI算法會因為多次順序融合消耗大量的時間。

本文針對互協(xié)方差未知的多傳感器非線性融合估計問題，提出了基于序貫逆協(xié)方差交叉和并行逆協(xié)方差交叉的兩種容積卡爾曼濾波算法。子系統(tǒng)濾波器采用CKF不僅可以避免因求解雅可比矩陣而帶來的巨大的計算量，且具有較高的濾波效果。在對局部估計進行融合時采用序貫ICI和并行ICI兩種算法，不僅可以避免高維的權(quán)系數(shù)凸優(yōu)化問題，而且當傳感器數(shù)量特別多時，并行ICI可以有效縮短融合時間。仿真結(jié)果證明了兩種算法的有效性。

1 問題闡述

考慮多傳感器非線性離散系統(tǒng)：

xk+1=fk(xk)+wk

(1)

(2)

(3)

其中:E為數(shù)學期望；T為轉(zhuǎn)置，Kronecker函數(shù)滿足：δii=1,δij=0(i≠j)。

2 容積卡爾曼濾波算法(CKF)

容積卡爾曼濾波算法[6]如下：

1) 初始化：

(4)

2)時間更新：

分解：

(5)

計算容積點：

(6)

其中：

(7)

容積點經(jīng)過非線性函數(shù)傳遞：

(8)

一步預測的估計與誤差方差：

(9)

(10)

3)量測更新：

分解：

(11)

計算容積點：

(12)

容積點經(jīng)過非線性函數(shù)傳遞：

(13)

量測一步預測，誤差方差及互協(xié)方差：

(14)

(15)

(16)

濾波增益：

(17)

狀態(tài)估計與誤差方差：

(18)

(19)

3 基于序貫ICI和并行ICI融合的容積卡爾曼濾波器

3.1 CI融合和ICI融合

引理1協(xié)方差交叉融合算法[9-10，22]

(20)

(21)

其中ω∈[0，1]極小化性能指標:

(22)

引理2逆協(xié)方差交叉融合算法[15-16]

(23)

(24)

(25)

(26)

其中ω∈[0，1]并且滿足極小化性能指標：

(27)

引理3[15]對于任意一個ωCI∈[0，1]，總存在一個ωICI=1-ωCI使得PICI[ωICI]≤PCI[ωCI]

3.2 序貫逆協(xié)方差交叉容積卡爾曼濾波(SICI-CKF)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

SICI-CKF估值器融合結(jié)果為

(36)

其中:ω1,ωi∈[0，1]滿足極小化性能指標：

(37)

(38)

序貫逆協(xié)方差交叉容積卡爾曼濾波器的結(jié)構(gòu)見圖1。

圖1 SICI-CKF結(jié)構(gòu)Fig.1 SICI-CKF fusion structure

3.3 并行逆協(xié)方差交叉融合容積卡爾曼濾波(PICI-CKF)

當系統(tǒng)中存在L個傳感器時，采用序貫ICI算法需要進行L-1次兩兩融合，當L較大時需要消耗大量的時間。因此基于并行協(xié)方差交叉(PCI)[23]算法提出了并行逆協(xié)方差交叉的容積卡爾曼(PICI-CKF)濾波融合算法。PICI融合算法是由多個并行的兩傳感器ICI融合算法估值器構(gòu)成的，以5個傳感器為例，其結(jié)構(gòu)見圖2。

圖2 PICI-CKF結(jié)構(gòu)Fig.2 PICI-CKF fusion structure

(39)

(40)

(41)

(42)

其中：Lj為第j層濾波器個數(shù)；Lp為最終層數(shù)。初值：

(43)

(44)

注1：當有L個傳感器需要融合時，假設每次融合時間為τ，則SICI算法需要時間(L-1)τ，而采用PICI算法時，由于每層都是多個兩傳感器ICI融合同步進行，若有Lp層，則需要時間Lpτ。例如當L=100時，SICI算法需要的融合時間為99τ，而PICI算法將100個估計分成7個并行層進行融合，僅需要時間7τ。與PCI算法[23]相同，傳感器個數(shù)L不變，第j層兩傳感器ICI融合器的個數(shù)會隨著j的增大成指數(shù)遞減。因此當L特別大時，PICI算法可以節(jié)約大量的計算時間。

注2：由引理3可知兩傳感器估計融合時ICI的精度高于CI的精度。因此所提出的PICI的融合精度高于PCI。

4 仿真分析

為了驗證算法的有效性，采用在水平平面上的常轉(zhuǎn)彎率模型：

(45)

(46)

Q(1)=diag(0.52m2·s-4,0.003 32mrad·s-4);Q(2)=diag(0.522m2·s-4,0.0032mrad·s-4);

Q(3)=diag(0.532m2·s-4,0.003 12mrad·s-4);Q(4)=diag(0.552m2·s-4,0.003 42mrad·s-4);

估計性能指標為k時刻位置的累積均方根誤差(ARMSE)[20,21]

(47)

真實運動曲線和基于PICI-CKF估計跟蹤曲線見圖3。由圖3可見，基于PICI-CKF的融合估計器具有較高的融合精度。為驗證算法有效性進行50次蒙特卡羅實驗，傳感器1-4局部估計,集中式(CF),SCI-CKF,SICI-CKF,PCI-CKF和PICI-CKF估計的ARMSE見圖4。由圖4可見，SICI-CKF和PICI-CKF的融合精度明顯高于SCI-CKF和PCI-CKF的融合精度，低于集中式的融合精度。且PICI-CKF的融合精度與SICI-CKF的融合精度幾乎一致。結(jié)果表明所提出的算法具有較高的融合估計精度。

圖3 真實和PICI估計跟蹤Fig.3 True and estimated tracks of PICI

圖4 傳感器1-4，CF,SCI-CKF,SICI-CKF,PCI-CKF和 PICI-CKF的ARMSE曲線Fig.4 ARMSEs of sensors 1-4, CF, SCI-CKF, SICI-CKF, PCI-CKF and PICI-CKF

5 結(jié) 論

針對多傳感器非線性系統(tǒng)提出了基于SICI和PIC的兩種CKF融合濾波算法。相比于其他算法SICI-CKF融合算法和PICI-CKF融合算法都可以處理在互協(xié)方差未知情況下的非線性融合估計問題，同時可以避免處理高維的權(quán)系數(shù)凸優(yōu)化問題，降低了計算量;當傳感器數(shù)量不多時，兩種算法的計算時間差距不大，但當傳感器數(shù)量較大時，PICI-CKF融合算法可大幅度提高融合速度；仿真結(jié)果證明SICI-CKF融合算法和PICI-CKF融合算法具有較高的融合精度。