黃金超，楊穎穎，郭 棟

(滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 滁州 239000)

0 引 言

對(duì)單參數(shù)指數(shù)族未知參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes(EB)統(tǒng)計(jì)推斷已有相當(dāng)多的研究結(jié)果.如：基于獨(dú)立同分布(iid)樣本下，文獻(xiàn)[1]～[4]討論了單參數(shù)指數(shù)族EB估計(jì)和檢驗(yàn)問(wèn)題,并得到了一些有意義的結(jié)論；文獻(xiàn)[5]～[6]在iid樣本下分別討論了雙指數(shù)分布參數(shù)的EB檢驗(yàn)和估計(jì)問(wèn)題，但在相關(guān)樣本下對(duì)雙指數(shù)分布的參數(shù)EB估計(jì)問(wèn)題沒(méi)有進(jìn)行相關(guān)討論.在滲透理論、可靠性分析，以及某些多元分析等實(shí)際問(wèn)題中，遇到的樣本多具有相關(guān)性，常見(jiàn)的有正相關(guān)(PA)、負(fù)相關(guān)(NA).因此,在樣本相關(guān)的情形下研究雙指數(shù)分布參數(shù)的EB估計(jì)問(wèn)題是非常有意義的.本文基于“平方損失”PA樣本討論雙指數(shù)分布族數(shù)的EB估計(jì)，并構(gòu)造一個(gè)漸近最優(yōu)EB估計(jì)函數(shù)，在一定條件下獲得的EB估計(jì)為漸近最優(yōu)性，且收斂速度的階為O(n-(rs-2)/2(s+2))，其中s>1，s∈N,1/22，并對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)果進(jìn)行推廣.

下面給出PA樣本隨機(jī)變量(r.v.)序列的定義.

定義1隨機(jī)變量X1,X2…,Xn稱為正相關(guān)的(PA),如果對(duì)集合{1,2,…,n}任何兩個(gè)不交的非空子集A1與A2都有：

Cov(f1(Xi,i∈A1),f2(Xj,j∈A2))≥0,

(1)

其中，f1和f2為任何兩個(gè)使得協(xié)方差存在且對(duì)每個(gè)變?cè)墙祷蛲瑫r(shí)對(duì)每個(gè)變?cè)巧暮瘮?shù),則稱隨機(jī)變量序列{Xj,j∈N}是正相關(guān)的(PA).如果對(duì)任何自然數(shù)n>2,X1,X2…,Xn都是正相關(guān)的(PA)，則考慮如下雙指數(shù)分布:

(2)

其中，x∈χ=(-∞,+∞)，θ∈Ω=(-∞,+∞),Ω為位置參數(shù)空間.

與常見(jiàn)的指數(shù)分布族類似,雙指數(shù)分布族是一類應(yīng)用十分廣泛的分布族.雙指數(shù)分布族可用于構(gòu)造保險(xiǎn)精算模型，而各種經(jīng)濟(jì)模型經(jīng)常構(gòu)造雙指數(shù)模型，雙指數(shù)分布還用于工程技術(shù).因此，在PA樣本下研究雙指數(shù)分布族位置參數(shù)的EB估計(jì)有著重要的理論與實(shí)踐意義.

設(shè)G(θ)為參數(shù)θ的未知先驗(yàn)分布.隨機(jī)度量X的邊緣分布密度為：

(3)

其中，G(θ)為θ的未知先驗(yàn)分布.邊緣分布函數(shù)記作F(x),即

(4)

取損失函數(shù)為:

L(θ,d)=(θ-d)2.

(5)

在平方損失式(5)下,θ的Bayes估計(jì)為：

(6)

其中，

引理1[6]引理 1.1若f(x)>0,則θ的Bayes估計(jì)為：

其中，

(7)

(8)

(9)

1 經(jīng)驗(yàn)Bayes(EB)估計(jì)

設(shè)X1,X2,…,Xn和X為同分布PA樣本，密度函數(shù)如式(3)所示.通常稱X1,X2,…,Xn為歷史樣本，X為當(dāng)前樣本，令f(x)為X1的概率密度函數(shù).本文假定:

f(x)∈CS,α,x∈R1,

(10)

其中，Cs,α為R1中一族概率密度函數(shù),其s階導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)，絕對(duì)值不超過(guò)α,且α為任意固定有界正數(shù)，s>1,s∈N.我們將

(11)

定義為F(x)的估計(jì)量，其中I[A]為A的示性函數(shù).類似文獻(xiàn)[6]，定義g(x)的估計(jì)量為：

(12)

為估計(jì)f(x),引入核函數(shù).令K(x)(r=0,1,…,s-1)為有界Borel可測(cè)函數(shù)，在(0，1)之外為0，且滿足如下條件：

本文對(duì)PA序列的協(xié)方差作如下假定：

密度函數(shù)f(x)的核估計(jì)定義為：

(13)

定義θ的EB估計(jì)：

(14)

(15)

本文令c、c0、c1、c2…為不依賴n的正常數(shù).

2 若干引理與主要結(jié)果

引理2[8]引理 1令X、Y是PA樣本序列，且方差有限，則對(duì)任意的可微函數(shù)g1、g2有：

(16)

(17)

證明由Cr不等式可知：

(18)

由核函數(shù)性質(zhì)可知：

(19)

由Taylor展開(kāi)得：

(20)

將式(20)代入式(19)得：

(21)

由f(x)∈Cs,α和|K(t)|≤C可知：

當(dāng)取hn=n-1/(2s+4)時(shí)，可知：

(22)

(23)

由|K2(v)|≤c,f(x)∈Cs,α可知：

(24)

故由條件(D)和{Xn,n≥1}的弱平穩(wěn)性可知：

(25)

所以,當(dāng)hn=n-1/(2s+4)時(shí),將式(24)和式(25)代入式(23)可得：

(26)

故有：

(27)

將式(22)和式(27)代入式(18)可得引理3的結(jié)論.

引理5[3]引理3對(duì)隨機(jī)變量(Y,Z)和實(shí)數(shù)y,z≠0,0

證明由凸函數(shù)Jensen不等式可知：

引理7設(shè)g(x)和gn(x)分別由式(8)和式(12)定義,其中X1,X2…,Xn為PA樣本序列,則對(duì)0

(28)

證明由定義(12),記

則

其中，Yi=ex-XiI[Xi>x]-eXi-xI[Xi≤x],Y1,Y2,…,Yn為PA樣本序列，從而可知：

(29)

所以，gn1(x)、gn2(x)分別為g1(x)、g2(x)的無(wú)偏估計(jì).由Cr不等式可得：

(30)

由Jensen不等式可知：

(31)

其中，

(32)

記φ(Xi)=Var[ex-XiI[Xi>x]]，則

(33)

記g(x,y)=ex-yI[y>x]，當(dāng)x≠y時(shí)，g(x,y)為關(guān)于y可求偏導(dǎo)數(shù)，且

由引理2、條件(D)和{Xn,n≥1}的弱平穩(wěn)性可知：

(34)

將式(33)和式(34)代入式(32),再將式(32)代入式(31)可得：

(35)

同理可證：

(36)

將式(35)和式(36)代入式(30)引理得證.

則

(37)

(Ⅰ)f(x)∈CS,α；

證明由引理4和條件(Ⅱ)可知：

故引理4的條件成立.因此，有：

(38)

其中,

這里的I(x)為示性函數(shù)：I(x)=1，若x>0，否則I(x)=0.

(39)

將式(39)代入A(n)可得：

由條件(Ⅱ)和(Ⅲ)可得：

(40)

(41)

將式(40)和式(41)代入式(38)可得：

取An=n1/2(s+2),可得：

3 例 子

易見(jiàn)：

(Ⅰ)f(x)∈CS,α；

為第一類廣義積分.而

由(Ⅰ)～(Ⅲ)式知，定理2的條件均滿足.

4 結(jié) 語(yǔ)

本文在正相關(guān)(PA)樣本下采用“平方損失”和密度函數(shù)核估計(jì)，研究雙指數(shù)分布參數(shù)θ的經(jīng)驗(yàn)Bayes (EB)估計(jì)問(wèn)題，構(gòu)造參數(shù)θ的 EB估計(jì)函數(shù)，并在適當(dāng)?shù)臈l件下證明了所提出的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)函數(shù)的漸近最優(yōu)性，且收斂速度的階為O(n-(rs-2)/2(s+2)),其中s>1，s∈N,1/22，同時(shí)給出了滿足定理?xiàng)l件的一個(gè)例子，以推廣現(xiàn)有文獻(xiàn)研究雙指數(shù)分布參數(shù)θ的 EB估計(jì)的相應(yīng)結(jié)果.