鐘淑燕

“找次品”是人教版五年級數(shù)學(xué)下冊第八單元的內(nèi)容。本單元以“找次品”這一探索性操作活動為載體，讓學(xué)生通過觀察、猜測、試驗等方式探索解決問題的策略。同時，進(jìn)一步理解隨機(jī)事件（如2個零件中有1個較重的次品，只要把這2個零件放在天平兩端，天平一定不平衡。如果3個零件中有1個較重的次品，任意取2個放在天平兩端，天平可能平衡，也有可能不平衡），感受解決問題策略的多樣性和優(yōu)化思想，培養(yǎng)觀察、分析、邏輯推理的能力，并學(xué)習(xí)如何用直觀的方式清晰、簡潔、有條理地表示邏輯推理過程。在教學(xué)中，如何清晰地表達(dá)數(shù)學(xué)思維的過程，如何理解解決問題策略的多樣化和優(yōu)化，如何運(yùn)用“比較—猜想—驗證”的策略發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，如何把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，如何把具體問題推廣為一般問題，都是在解決問題過程中需要考慮的。這些蘊(yùn)含在解決問題過程之中的隱性的“形成性能力”或許恰恰是過去數(shù)學(xué)教育中容易忽視的，教師在日常教學(xué)中能否重視這些能力的培養(yǎng)，直接決定了學(xué)生綜合能力的高低。并且，這些能力的獲得不僅局限于促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，甚至可以延伸至其他學(xué)科，乃至未來學(xué)習(xí)、生活和工作的方方面面。在設(shè)計教學(xué)時，我們要注意以下“誤區(qū)”：

誤區(qū)一：利用實物天平進(jìn)行試驗，可以使教學(xué)過程更直觀

某教師在教學(xué)時，為了使教學(xué)過程直觀形象，課堂開始就讓學(xué)生4個一組用實物天平稱“零件”，從3個“零件”中找出較輕的“次品零件”。學(xué)生在試驗過程中，每一次稱時，都需要對天平進(jìn)行調(diào)節(jié)與處理，一個簡單的試驗，耽誤了一半的課堂時間，而且有的小組看不清楚，實驗效果也不明顯。很多教師在教學(xué)本課之初，受課本情境圖的影響，或多或少都走過類似的誤區(qū)。由此，教師在教學(xué)時，都需要考慮一個問題：我們需要的工具應(yīng)該是一架什么樣的天平？

“找次品”問題中的天平，只能通過零件之間的稱量進(jìn)行比較，并不是一定要通過天平稱，而是利用天平平衡的原理通過邏輯推理確定出次品。所以，在教學(xué)時，教師所用的天平并不是一架實物天平，而是一種抽象的數(shù)學(xué)化形式的天平。在解決問題的過程中，實際上是用頭腦中建立的天平表象，反復(fù)地進(jìn)行“如果平衡，那么……”“如果不平衡，那么……”的邏輯推理過程。當(dāng)物品總量比較多時，步驟相應(yīng)增加，很容易表述不清，如果僅用文字表達(dá)式，由于前后步驟之間的層層套疊關(guān)系，表述起來也顯得冗長煩瑣。教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用直觀圖或流程圖，配以相應(yīng)的文字說明，可以比較簡潔而又清晰地表示出邏輯推理的整個過程，讓人一目了然。如：9個零件怎樣稱的次數(shù)最少找出次品呢？先可以這樣分3份，即（4，4，1）：

還可以平均分成3份，即（3，3，3）：

讓學(xué)生利用天平模型來直觀演示和操作，這樣不僅可以節(jié)約課堂教學(xué)時間，同時又訓(xùn)練了學(xué)生的邏輯推理，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，為后面脫離具體的實物操作，實現(xiàn)從具體形象思維到抽象邏輯思維的過渡奠定了良好的基礎(chǔ)。而如果用實物天平進(jìn)行試驗，不僅麻煩費(fèi)時，也不會出現(xiàn)“假如平衡，那么……”“假如不平衡，那么……”的情況，只會出現(xiàn)其中一種，要么平衡，要么不平衡，達(dá)不到預(yù)期的教學(xué)目的。

誤區(qū)二：“至少”“能保證”次數(shù)等于“運(yùn)氣好”的偶然次數(shù)

“至少稱幾次能保證找出次品”是理解的難點。在教學(xué)時，教師要幫助學(xué)生理解“至少”“能保證”的含義是關(guān)鍵，而不少教師則很糾結(jié)于如何向?qū)W生說清二者的含義，“至少”表示最少，但為了“保證找出次品”又要考慮不湊巧的情況——所需次數(shù)更多。要往“最少”想，又要考慮次數(shù)更多的情況，似乎有點矛盾，怎么向?qū)W生說清楚呢？如，找5個零件的次品問題中，第一次可以“1┬1”，也可以“2┬2”，如果在天平兩端各放1個零件，假如不平衡，1次可以找出次品，假如平衡，2次可以找出次品;如果是第二種方法，在天平兩端各放2個零件，假如天平平衡，次品就是外面的那個，1次就能找出次品。假如不平衡，次品就在翹起的2個中。再把翹起的托盤中的兩個零件放在天平兩邊，翹起的那個就是次品。教師根據(jù)學(xué)生的椎理，板書“5（221）→2（11）”，稱2次才能找出次品。呈現(xiàn)兩種稱法的兩種結(jié)果，讓學(xué)生思考：找出5個零件中的次品，至少要稱幾次才能保證找到次品？此時學(xué)生會出現(xiàn)爭議：有的學(xué)生認(rèn)為1次，有的學(xué)生認(rèn)為2次。結(jié)合爭議與思考，學(xué)生很容易理解，雖然1次比2次少，而稱1次就找到次品是“運(yùn)氣好”，“運(yùn)氣不好”就找不到次品，屬于偶然情況。而這里要求的是保證找到次品所用的最少次數(shù)，不能只考慮偶然情況，所以要“至少”稱2次才能“保證找出次品”。進(jìn)一步讓學(xué)生明確“能保證”就是指每一條“可能的路徑”都要考慮到，不能僅停留在“運(yùn)氣好”的情況;“至少”就是指在保證一定能找出次品的各種方法中，稱量次數(shù)最少的那種方案。

“找次品問題”是數(shù)學(xué)中一類經(jīng)典智力問題，吸引著眾多數(shù)學(xué)愛好者孜孜不倦地尋求一般性解決方法?！罢掖纹穯栴}”又細(xì)分為許多類型，有的類型解決起來相當(dāng)復(fù)雜，在探究過程中，教師要認(rèn)真思考，引導(dǎo)學(xué)生“從簡單問題入手”，會用符號記錄問題解決的過程，將思維過程外顯化，便于學(xué)生、教師之間的溝通交流，使不同層次的學(xué)生以符號語言為依托，為研究更為復(fù)雜的“找次品問題”提供了有效的交流保證。