文|孫麗燕

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版五年級(jí)上冊(cè)第108、109 頁(yè)。

【教學(xué)過(guò)程】

一、激活探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從“要我學(xué)”到“我要學(xué)”

1.激活經(jīng)驗(yàn)，故事趣導(dǎo)。

師：同學(xué)們，釘子板大家都很熟悉了，如果把釘子板抽象成點(diǎn)子圖，相鄰2 枚釘子的距離是1厘米，每相鄰的4 枚釘子構(gòu)成的正方形面積就是1 平方厘米。

師：這些圖形面積是多少？你是怎么知道的？

（學(xué)生活動(dòng)并口答）

師：真棒！用面積計(jì)算公式或割補(bǔ)數(shù)方格的方法，很快找到了這些圖形的面積。有個(gè)奧地利數(shù)學(xué)家叫喬治·皮克，他發(fā)現(xiàn)除了用割補(bǔ)數(shù)方格、公式計(jì)算多邊形的面積，還有一個(gè)實(shí)用且有趣的數(shù)學(xué)規(guī)律。我們今天來(lái)一起研究。（板書(shū)：釘子板上的多邊形）

2.深入溯源，引發(fā)猜想。

師：（指其中一個(gè)圖形）同學(xué)們，這一位置的釘子就叫多邊形邊上的釘子。圖形內(nèi)部的釘子就叫多邊形內(nèi)的釘子。數(shù)一數(shù)，邊上的釘子、形內(nèi)的釘子數(shù)各是多少？猜想：釘子板上多邊形的面積大小可能會(huì)與哪些因素有關(guān)？如果不用公式計(jì)算，有什么規(guī)律呢？

（學(xué)生討論后交流）

生1：多邊形邊上的釘子數(shù)越多，面積一定越大。

師：有點(diǎn)道理，你們同意他的意見(jiàn)嗎？按照你的猜想，如果邊上的釘子數(shù)相等，面積是不是一定相等？請(qǐng)看第②、⑤、⑧圖，邊上都是8 枚釘子，面積怎么樣？

眾生：不同。

生2：說(shuō)明面積的大小，肯定不光是由邊上的釘子數(shù)決定的。

生3：我同意，多邊形的面積應(yīng)該與形內(nèi)的釘子數(shù)也有關(guān)。

生4：老師，形內(nèi)的釘子數(shù)越多，面積可能越大。

生5：不一定，你看第②、⑥圖，形內(nèi)都是2 枚釘子，但面積不同。

師：真棒，你們學(xué)會(huì)了反思。通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)邊上的釘子數(shù)相等，面積不一定相等；形內(nèi)的釘子數(shù)相等，面積也不一定相等。那釘子板上的多邊形面積到底與什么因素有關(guān)呢？大家可以交流一下。

生：我認(rèn)為應(yīng)該與邊上的釘子數(shù)和形內(nèi)的釘子數(shù)都有關(guān)。

小結(jié)：很有道理，那么釘子板上多邊形的面積，與邊上的釘子數(shù)和形內(nèi)的釘子數(shù)，到底有怎樣的關(guān)系？我們一起深入研究。

3.整體思考，把握方法。

師：多邊形邊上釘子數(shù)是一個(gè)變量、形內(nèi)釘子數(shù)是另一個(gè)變量，這個(gè)問(wèn)題似乎有些復(fù)雜，你準(zhǔn)備怎樣研究？

生：先從簡(jiǎn)單的開(kāi)始研究，可以先研究形內(nèi)1 枚釘子的情況。

師：是啊，有兩個(gè)變量，要先確定一個(gè)變量——形內(nèi)的釘子數(shù)，從只有1 枚的情況開(kāi)始研究，再研究更多的情況。那我們是不是要對(duì)這八個(gè)圖形分分類(lèi)？

明確：按照形內(nèi)有1 枚釘子（第①③④⑤圖）、2 枚釘子（第②⑥圖）、3 枚釘子（第⑦圖）、4 枚釘子（第⑧圖）的圖，分成四類(lèi)。

【思考：激活探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，明確“學(xué)什么”“為什么學(xué)”“為什么這樣學(xué)”，從“要我學(xué)”自然變成“我要學(xué)”。本內(nèi)容是一種既有趣又有挑戰(zhàn)性的活動(dòng)，要解決“釘子板上多邊形的面積大小可能會(huì)與哪些因素有關(guān)？有什么規(guī)律呢？”的問(wèn)題，有兩個(gè)變量，先確定其中一個(gè)變量進(jìn)行探究規(guī)律是學(xué)習(xí)難點(diǎn)。過(guò)程中制造認(rèn)知沖突，激發(fā)相互評(píng)價(jià)，用“疑”激發(fā)說(shuō)理“欲”，在“辯”中啟發(fā)說(shuō)理“智”。學(xué)生通過(guò)動(dòng)口說(shuō)理，把每一次思考中蘊(yùn)含著的個(gè)體的數(shù)學(xué)理解、個(gè)性化見(jiàn)解進(jìn)行傳遞。解惑中清晰，解疑中深化，積累確定某變量的情況下探求其余變量規(guī)律的科學(xué)探究經(jīng)驗(yàn)?！?/p>

二、積累問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)，從“點(diǎn)狀”到“結(jié)構(gòu)”

1.嘗試探究，形成結(jié)構(gòu)。

活動(dòng)1：探索形內(nèi)只有1 枚釘子的多邊形面積。（第①③④⑤圖）

活動(dòng)要求：（1）填一填，把多邊形的面積和邊上釘子數(shù)記錄在《研究單》上；（2）想一想，形內(nèi)只有1 枚釘子時(shí)，多邊形的面積可能與邊上釘子數(shù)有怎樣的關(guān)系？

師：哪個(gè)小組來(lái)交流一下你們的發(fā)現(xiàn)？

生：①號(hào)多邊形面積是2 平方厘米，邊上釘子數(shù)是4 枚；③號(hào)多邊形面積是3 平方厘米，邊上釘子數(shù)是6 枚……

生：我發(fā)現(xiàn)在形內(nèi)都是1 枚釘子的情況下，多邊形邊上的釘子數(shù)越多，面積越大。

生：當(dāng)多邊形內(nèi)只有1 枚釘子時(shí)，多邊形的面積是多邊形邊上釘子數(shù)的一半，你看4÷2=2，6÷2=3，7÷2=3.5，8÷2=4。

師：同學(xué)們真厲害，從不同的數(shù)據(jù)中找到相同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)了關(guān)系。但我們只是通過(guò)四個(gè)例子有所發(fā)現(xiàn)，這個(gè)猜想是不是對(duì)所有的多邊形都適用呢？（板書(shū)：猜想）還需要怎么樣？

生：舉更多的例子來(lái)驗(yàn)證。（板書(shū)：舉例驗(yàn)證）

師：在點(diǎn)子圖上任意畫(huà)幾個(gè)形內(nèi)只有1 枚釘子的多邊形，迅速驗(yàn)證，看看是否符合剛才的發(fā)現(xiàn)，并找找有沒(méi)有反例。

（學(xué)生舉例并交流）

師：如果多邊形的面積用S 表示，多邊形邊上的釘子數(shù)用n 表示，剛才發(fā)現(xiàn)的關(guān)系你能用一個(gè)字母式子表示嗎？寫(xiě)一寫(xiě)。

（學(xué)生回答并板書(shū)：S=n÷2）

師：回顧探索過(guò)程，咱們是怎樣找到這個(gè)規(guī)律的呢？（板書(shū)：仔細(xì)觀察、提出猜想、舉例驗(yàn)證，歸納結(jié)論）

【思考：?jiǎn)栴}解決經(jīng)驗(yàn)不是一蹴而就的，逐步積累是問(wèn)題解決、經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)的關(guān)鍵。這一過(guò)程，看似內(nèi)容單一，線索簡(jiǎn)單，但確是整節(jié)課中規(guī)律探究方法的形成結(jié)構(gòu)階段?！罢Z(yǔ)言是思維的外殼，是思維的工具”，教學(xué)過(guò)程中，請(qǐng)學(xué)生上講臺(tái)匯報(bào)研究成果，“想得清楚，才能說(shuō)得明白”，有效促進(jìn)其規(guī)律進(jìn)一步內(nèi)化，思維進(jìn)一步清晰。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了規(guī)律探索的完整過(guò)程：觀察分析——提出猜想——舉例驗(yàn)證——得出結(jié)論，并滲透了數(shù)形結(jié)合思想和符號(hào)化思想，形成規(guī)律探究的一般結(jié)構(gòu)和方法，為探究提供研究參照和方法導(dǎo)引。】

2.運(yùn)用結(jié)構(gòu)，合作學(xué)習(xí)。

活動(dòng)2：探索形內(nèi)有2 枚釘子的多邊形面積，（第②⑥圖）與邊上的釘子數(shù)又會(huì)有怎樣的規(guī)律呢？

活動(dòng)要求：（1） 把形內(nèi)釘子數(shù)、多邊形面積和邊上釘子數(shù)填入表格中，認(rèn)真觀察，有什么猜想？（2）自己設(shè)計(jì)兩個(gè)符合形內(nèi)釘子數(shù)是2 枚的多邊形，找到多邊形面積和邊上釘子數(shù)驗(yàn)證你的猜想；（3）把你的發(fā)現(xiàn)和同伴交流。

（生1 呈現(xiàn)作業(yè)并逐個(gè)交流數(shù)據(jù)，其他學(xué)生校對(duì)數(shù)據(jù)）

生2：我們還舉了這樣幾個(gè)例子，都發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論，沒(méi)有反例。

生3：我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是，當(dāng)多邊形內(nèi)2 枚釘子時(shí)，S=n÷2+1。

師：通過(guò)觀察、猜想、舉例、驗(yàn)證的研究方法，發(fā)現(xiàn)了多邊形內(nèi)有1 枚釘子時(shí)，S=n÷2；多邊形內(nèi)有2枚釘子時(shí)，S=n÷2+1。這兩個(gè)規(guī)律相比，有什么相同和不同之處？

生：都有n÷2，不同的是一個(gè)還要加1。

師：是啊，當(dāng)多邊形內(nèi)有2 枚釘子時(shí)，為什么再加1 呢？數(shù)形結(jié)合，我們看釘子板上的圖。

師：（操作）原來(lái)邊上的釘子就變成了形內(nèi)的釘子。現(xiàn)在形內(nèi)有2 枚釘子，面積有什么變化？

生：形內(nèi)釘子數(shù)多1，面積增加了1 平方厘米。

師：另外兩個(gè)圖形也來(lái)變一變，看看面積有什么變化？

生：（操作）當(dāng)形內(nèi)由1 枚釘子變成2 枚，面積都比原來(lái)增加了1 平方厘米。

師：（繼續(xù)操作）你接著又能聯(lián)想到什么？（當(dāng)多邊形內(nèi)3 枚釘子時(shí)，S=n÷2+2）繼續(xù)想，再往下拉。S 和n 會(huì)有什么關(guān)系？（當(dāng)多邊形內(nèi)4 枚釘子時(shí)，S=n÷2+3），再往下拉呢？（當(dāng)多邊形內(nèi)5 枚釘子時(shí)，S=n÷2+4）

師：這三條規(guī)律（多邊形內(nèi)3、4、5 枚釘子時(shí)）都是我們的猜想。有了猜想，你準(zhǔn)備怎么做？

【思考：研究形內(nèi)有2 枚釘子數(shù)的情況是教學(xué)的難點(diǎn)，要能知其然且知其所以然。本次活動(dòng)不僅停留在找到S=n÷2+1，形內(nèi)釘子數(shù)看似僅是數(shù)量上增加了1，實(shí)際卻是增加變量的一種研究，是更高層次的思維。學(xué)生主動(dòng)調(diào)用活動(dòng)1 的經(jīng)驗(yàn)自主展開(kāi)獨(dú)立探究，學(xué)得積極，獲得了深度理解的學(xué)習(xí)。從“點(diǎn)狀”到“結(jié)構(gòu)”，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度、深入探究的精神、細(xì)致觀察的習(xí)慣，強(qiáng)化研究中的前提意識(shí)?！?/p>

3.巧用推理，充分驗(yàn)證。

活動(dòng)3：探索內(nèi)部是3、4、5 枚及以上釘子的多邊形面積。

活動(dòng)要求：（1）每個(gè)小組確定一個(gè)研究主題；（2）在點(diǎn)子圖上再任意畫(huà)一至兩個(gè)符合主題的多邊形；（3）算一算你畫(huà)的多邊形的面積，再用猜測(cè)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，看看結(jié)果是否相同；（4）小組成員間交流你的例子和發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)組長(zhǎng)匯總數(shù)據(jù)，匯報(bào)成果。

（學(xué)生活動(dòng)交流）

師：多邊形邊上的釘子數(shù)仍用n 表示，當(dāng)多邊形內(nèi)有100 枚釘子時(shí)，S=？再往下推想，多邊形內(nèi)有1000 枚釘子時(shí)，S=？如果形內(nèi)的釘子數(shù)是a 枚呢？同桌交流。

生：S=n÷2+a-1。

師：當(dāng)a＝1 時(shí)呢？符合這個(gè)規(guī)律嗎？后面沒(méi)有加上數(shù)?。?/p>

生：當(dāng)a＝1 時(shí)，就是S＝n÷2＋0。

師：研究形內(nèi)有釘子的情況，我們了解了。形內(nèi)沒(méi)有釘子的時(shí)候，面積與邊上釘子數(shù)有什么關(guān)系呢？你會(huì)研究嗎？

（學(xué)生猜想）

師：為什么要減1？是這樣嗎？自己選一個(gè)圖形口頭驗(yàn)證一下。

（學(xué)生相互驗(yàn)證）

師：看來(lái)，當(dāng)a＝0 時(shí)，S＝n÷2－1也符合這個(gè)規(guī)律。

小結(jié)：這個(gè)發(fā)現(xiàn)被稱(chēng)為皮克定理，該定理被譽(yù)為有史以來(lái)“最重要的100 個(gè)數(shù)學(xué)定理”之一。

三、提升思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從“聯(lián)”到“悟”

師：今天我們一起探索了釘子板上的多邊形，回顧探究和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程，你有什么體會(huì)？

生：釘子板上多邊形的面積與形內(nèi)釘子和形上釘子數(shù)之間都有關(guān)系。

生：多邊形內(nèi)釘子數(shù)用a 表示，邊上釘子數(shù)用n 表示，我能總結(jié)成一個(gè)公式：S=n÷2+a-1。

生：我有補(bǔ)充，遇到復(fù)雜的問(wèn)題，可以從簡(jiǎn)單想起。

生：要學(xué)會(huì)從不同的多邊形中找到它們的相同點(diǎn)。

師：同學(xué)們真棒！恭喜大家通過(guò)自己的努力發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，那么發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程中，讓你感受最深的是什么？

生：要認(rèn)真觀察、反復(fù)比較。還要不斷反思，不斷驗(yàn)證。

師：是啊，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是了不起的，能體會(huì)到發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法更厲害了，以后碰到新的規(guī)律，你會(huì)獨(dú)立探索了嗎？自主評(píng)價(jià)一下今天的表現(xiàn)：

理解規(guī)律（4 分）知道怎么探索規(guī)律的一般過(guò)程（4 分）遇到復(fù)雜問(wèn)題會(huì)確定變量，從簡(jiǎn)單想起（3 分）認(rèn)真傾聽(tīng)（3 分）思維活躍（3 分）積極回答（3 分）總分（20 分）

【思考：深度學(xué)習(xí)，不僅是教師的感受，更是學(xué)生的切身體會(huì)。探索活動(dòng)可以掌握知識(shí)，回顧反思則能夠?qū)⒅R(shí)內(nèi)化為自己的理解和思想。同時(shí)“多元收獲”的有效引導(dǎo)，生生間的相互評(píng)價(jià)、補(bǔ)充，不僅讓學(xué)生高屋建瓴把握規(guī)律，還幫助學(xué)生總結(jié)所經(jīng)歷的規(guī)律形成的過(guò)程，深切感悟了從簡(jiǎn)單想起等數(shù)學(xué)思想，提升了思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。最后讓學(xué)生自主評(píng)價(jià)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)自我反思、自主建構(gòu)，并為后續(xù)的學(xué)習(xí)作經(jīng)驗(yàn)的支撐。關(guān)注師生、生生評(píng)價(jià)，關(guān)注他評(píng)、自評(píng)，正因課堂中有實(shí)實(shí)在在的親身體驗(yàn)，學(xué)生學(xué)得積極主動(dòng)，自信滿(mǎn)滿(mǎn)。】