文|程楚高

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)活動(dòng)最基本的思想方法，它是指對具有數(shù)量關(guān)系和空間形式的真實(shí)材料進(jìn)行加工，舍去其非本質(zhì)屬性，提煉出共同的本質(zhì)屬性的思維過程。抽象在數(shù)學(xué)及教學(xué)過程中無處不在，數(shù)學(xué)教材中的每一個(gè)概念、法則、公式、定理等的推導(dǎo)和概括都要用到抽象，用任何數(shù)學(xué)知識解決純數(shù)學(xué)問題或聯(lián)系實(shí)際的問題都離不開數(shù)學(xué)抽象。數(shù)學(xué)抽象對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有十分重要的意義，教學(xué)中教師應(yīng)該有意識地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的抽象過程。筆者在《認(rèn)識平行四邊形》的教學(xué)過程中，從實(shí)物圖片出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、比較等學(xué)習(xí)活動(dòng)，逐步抽象出平行四邊形的特征?，F(xiàn)結(jié)合此課教學(xué)的幾個(gè)片斷，談?wù)勗谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的策略。

一、觀察與感知——建立表象

片斷一：

（課件出示一些實(shí)物圖片，這些圖片中含有不同形狀、不同大小的幾種平面圖形，每種圖形2 至3 個(gè)）

師：仔細(xì)觀察這些圖片，它們中都藏著平面圖形，你能找到它們嗎？

（學(xué)生觀察，指名學(xué)生上臺(tái)描出圖形并作介紹，找出的圖形有三角形、長方形、正方形和平行四邊形這四種）

師：介紹得很詳細(xì)。為了方便研究，我們把圖片隱去，只留下描出來的圖形。

（課件顯示出每幅圖片上的圖形，然后逐漸隱去實(shí)物圖，剩下平面圖形）

【思考：小學(xué)生參與的數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)，往往不是“純抽象”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，而是要借助生活情境或?qū)嵨飯D，由“直觀”走向“抽象”。上述教學(xué)片斷中，教師通過創(chuàng)設(shè)情境，展示生活中的實(shí)物圖，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，以喚醒學(xué)生的知識經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生上臺(tái)指一指、說一說，從中發(fā)現(xiàn)、描出平面圖形，然后隱去圖片，剩下圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷了由實(shí)物圖片到平面圖形的抽象過程。而且，通過對不同直觀素材的充分感知，抽象出了不同形狀、大小的若干個(gè)平面圖形，為下一步的學(xué)習(xí)奠定了知識、經(jīng)驗(yàn)和思維基礎(chǔ)。

與實(shí)物圖片相比，平面圖形是很抽象的，如正方形，我們可以把它想象成一個(gè)正方形桌面，也可以把它想象成一個(gè)正方形開關(guān)盒面等。而純粹的平面圖形顯然更為抽象，比如說，生活中的長方形桌面是看得見、摸得著的，而長方形這個(gè)圖形本身在生活中是不存在的，只能存在于人的頭腦中，也就是表象。因此，由實(shí)物到圖形的抽象是建立表象的過程，也是認(rèn)識圖形的重要一步。】

二、分類與比較——感悟本質(zhì)

片斷二：

師：（指著屏幕上抽象出的平面圖形）仔細(xì)觀察這些圖形，如果將這些圖形進(jìn)行分類，你會(huì)怎么分？自己先想一想、分一分，再與同桌交流。

（學(xué)生在作業(yè)紙上按圖形編號進(jìn)行分類，然后同桌之間交流想法）

生1:我分成兩類。

師：你是怎么想的？能說說你分類的依據(jù)嗎？

生1：第一類圖形是三角形，第二類圖形是四邊形。我是根據(jù)圖形的邊數(shù)來分的。

師：這位同學(xué)是從圖形的邊數(shù)考慮的。還有更細(xì)致的分法嗎？

生2：我把它們分成四類。第一類是三角形，第二類是長方形，第三類是正方形，第四類是平行四邊形。我是根據(jù)圖形的形狀來分的。

師：兩位同學(xué)的分法都有道理，你們覺得這兩種分法有什么不同？

生3：兩種分法的分類標(biāo)準(zhǔn)不同。

生4：第一個(gè)同學(xué)分成兩類；第二個(gè)同學(xué)分成四類，他把這些四邊形又分成了長方形、正方形和平行四邊形三類。

師：同學(xué)們都很善于觀察。三角形、長方形、正方形的特征大家已經(jīng)熟悉。平行四邊形有什么特征呢？今天我們就來進(jìn)一步研究平行四邊形。

（板書：認(rèn)識平行四邊形）

【思考：小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行的。本環(huán)節(jié)教師設(shè)計(jì)了適切的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷了觀察——分類——比較的過程，經(jīng)歷了從整體感悟到逐步分化。首先，在分類任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生通過細(xì)致觀察和獨(dú)立思考，進(jìn)行了分類和交流，兩種分法都做到了不重復(fù)也不遺漏。其次，教師引導(dǎo)學(xué)生對兩種分類進(jìn)行比較，既讓學(xué)生感受了不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，又讓學(xué)生在整體感悟的基礎(chǔ)上把平行四邊形分化了出來。在此過程中，學(xué)生經(jīng)歷了有條理地思考的過程，既把握全局又由表及里，對平行四邊形的特征也有了初步感悟。】

三、舍棄與抽取——形成概念

片斷三：

師：仔細(xì)觀察這些平行四邊形，它們有什么不同點(diǎn)，又有什么相同點(diǎn)呢？獨(dú)立思考后，小組討論。

（學(xué)生有了想法后，進(jìn)行組內(nèi)交流，教師巡視指導(dǎo)）

師：先來說一下不同點(diǎn)。

生1：它們的形狀和大小都不同。

生2：邊的長度各不相同，角的大小也不一樣。

生3：有的是平放的，有的是豎著的，也有的是斜著的。

師：它們又有什么相同點(diǎn)呢？

生1：都有4 條邊和4 個(gè)角。

生2：它們的兩組對邊分別平行。

生3：它們的兩組對邊分別相等。

師：是這樣嗎？誰能上臺(tái)用學(xué)具演示驗(yàn)證一下，在這些平行四邊形中，每個(gè)圖形的兩組對邊是否平行，是否相等？

（學(xué)生上臺(tái)操作，發(fā)現(xiàn)得到驗(yàn)證）

師：像這樣，兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。（板書:平行四邊形）

【思考：本環(huán)節(jié)的教學(xué)，聚焦到對平行四邊形的研究，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了觀察比較——發(fā)現(xiàn)不同——發(fā)現(xiàn)相同——提煉概念的抽象過程。學(xué)生觀察圖形首先是對圖形的整體感知，教師引導(dǎo)學(xué)生在觀察比較的基礎(chǔ)上先發(fā)現(xiàn)不同點(diǎn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了圖形形狀、大小以及邊的長短、角的大小、擺放位置等不同，這些都是平行四邊形的非本質(zhì)屬性。此后，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)相同點(diǎn)，學(xué)生通過獨(dú)立思考、組內(nèi)交流、匯報(bào)表述發(fā)現(xiàn)了平行四邊形兩組對邊分別平行且相等的特征，而這正是所有平行四邊形的共有屬性與本質(zhì)特征，至此，平行四邊形的概念也水到渠成。這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，學(xué)生在尋找不同與發(fā)現(xiàn)相同的過程中，舍棄了圖形的非本質(zhì)屬性，抽取了圖形的本質(zhì)屬性，對圖形的認(rèn)識從表面走向本質(zhì)、從外延走向內(nèi)涵?！?/p>

四、聯(lián)結(jié)與統(tǒng)整——完善認(rèn)知

片斷四：

師：（出示課始的第二種分類中屬于四邊形的一些圖形）我們以前學(xué)過的四邊形有長方形和正方形，今天又認(rèn)識了平行四邊形。仔細(xì)觀察，它們有哪些相同點(diǎn)呢？

生1：都有4 條邊、4 個(gè)角、4 個(gè)頂點(diǎn)。

生2：三種圖形的兩組對邊分別平行，而且相等。

師：那么，長方形和正方形屬于平行四邊形嗎？為什么？

生1：不屬于，因?yàn)榭瓷先テ叫兴倪呅蔚慕嵌疾皇侵苯恰?/p>

生2：屬于，因?yàn)殚L方形和正方形的兩組對邊也分別平行，符合平行四邊形的概念。

生3：長方形和正方形是特殊的平行四邊形。

師：特殊在哪里呢？

生：長方形4 個(gè)角都是直角；正方形4 個(gè)角都是直角，并且4 條邊都相等。

師：它們?nèi)呤鞘裁搓P(guān)系呢？你能在集合圖中表示出來嗎?小組討論一下。

（學(xué)生交流、匯報(bào)，完成集合圖）

【思考：在抽象出數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將數(shù)學(xué)概念與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識聯(lián)系起來，形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于提高學(xué)生對知識的掌握和運(yùn)用水平。這個(gè)環(huán)節(jié)將新知與舊知聯(lián)系起來，引導(dǎo)學(xué)生把平行四邊形與長方形、正方形進(jìn)行比較分析，找出相同點(diǎn)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)長方形、正方形同樣具有平行四邊形的特征，屬于特殊的平行四邊形。其實(shí)，這也是一個(gè)弱抽象與強(qiáng)抽象相結(jié)合的過程。在集合圖中表示出三者之間的關(guān)系，形象地變散狀認(rèn)知為整體認(rèn)知，深化了學(xué)生對平行四邊形知識的整體把握，完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?！?/p>

從上述幾個(gè)片斷教學(xué)與思考中，我們可以感受到在課堂教學(xué)中對于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)，教師應(yīng)該力求做到以下幾點(diǎn)：

1.提供豐富感知素材。

數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)知識首先是從現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系和空間形式中抽象而來的，因此教學(xué)中應(yīng)該依據(jù)教學(xué)內(nèi)容為學(xué)生提供相應(yīng)的生活素材，如實(shí)物、錄像、實(shí)物圖片等，這既符合知識形成的規(guī)律，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，因?yàn)樾W(xué)生是以直觀形象思維為主的，其認(rèn)知是由直觀到抽象逐步過渡的。比如上述片斷一中，教師為學(xué)生提供了蘊(yùn)含不同圖形的實(shí)物圖片讓學(xué)生觀察，就體現(xiàn)了這一觀點(diǎn)。此外，數(shù)學(xué)抽象是要從不同對象中抽取共同本質(zhì)屬性的，要使本質(zhì)屬性提取得準(zhǔn)確完整，提供的研究對象既要有一定數(shù)量又要形態(tài)各異，以豐富概念的外延，這樣才能有助于抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)。如片斷三中，提供觀察的若干個(gè)平行四邊形形狀不同、大小不同、擺放位置不同，就便于學(xué)生在比較中抽象出圖形的本質(zhì)特征。

2.引領(lǐng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。

教學(xué)中有兩種誤區(qū)，一種是直接呈現(xiàn)結(jié)論的“直奔主題”式，另一種是教師講授過程學(xué)生當(dāng)聽眾的“滿堂灌”式，這兩種教學(xué)方式都是不可取的。數(shù)學(xué)抽象是一種逐步逼近知識本質(zhì)的過程，教學(xué)中教師必須留給學(xué)生充分的時(shí)間和空間，讓學(xué)生在觀察、操作、分類、比較、猜測、驗(yàn)證、交流、表達(dá)等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)中，經(jīng)歷知識抽象的過程，這樣學(xué)生才能產(chǎn)生真切的感悟，才能真正理解、掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，發(fā)展抽象思維。

3.設(shè)計(jì)多輪抽象活動(dòng)。

雖然存在直覺型抽象，但一般來說，數(shù)學(xué)抽象不是一步就能實(shí)現(xiàn)的，從生活情境到數(shù)學(xué)概念、命題的抽象都需要經(jīng)歷一個(gè)從橫向數(shù)學(xué)化到縱向數(shù)學(xué)化的過程。如平行四邊形概念的形成，上述教學(xué)中先后經(jīng)歷了三輪抽象：第一輪是實(shí)物圖片到平面圖形的抽象，第二輪是在平面圖形內(nèi)部分化出平行四邊形，第三輪是抽象出平行四邊形的本質(zhì)屬性并形成概念。在多輪抽象中，逐步剝離圖形的非本質(zhì)屬性，提煉出圖形的本質(zhì)屬性并形成概念。

總之，數(shù)學(xué)抽象與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)息息相關(guān)、時(shí)時(shí)相伴，直接影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)業(yè)發(fā)展。數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的事，需要教師長期堅(jiān)持，在每一節(jié)課中讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程，從而促進(jìn)學(xué)生抽象思維的發(fā)展，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。