庫(kù)照宇，薛齊文,2

(1．大連交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，遼寧 大連 116028；2．大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連116023)

正交異性橋面板是工程中較為特殊的承載結(jié)構(gòu)，具有質(zhì)量輕、強(qiáng)度高、經(jīng)濟(jì)性能好等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于鋼橋設(shè)計(jì).該結(jié)構(gòu)由縱、橫肋與蓋板共同組成，因縱肋與橫肋相互垂直，在批次垂直的方向上存在明顯的剛度差異，具有各向異性的特點(diǎn).

近年來(lái)，鋼橋疲勞開裂問(wèn)題成為鋼橋損壞的主要原因，尤其是正交異性橋面板承載結(jié)構(gòu)的破壞，在設(shè)計(jì)階段應(yīng)充分考慮相關(guān)問(wèn)題[1-2].在進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)可通過(guò)有限元驗(yàn)證該部件是否達(dá)到要求，但在有限元分析中各設(shè)計(jì)參數(shù)都是選取確定的值，而實(shí)驗(yàn)中各參數(shù)卻存在著諸多不確定的因素，使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析結(jié)果不完全一致[3].

目前對(duì)正交異性鋼橋面板的研究主要依靠實(shí)驗(yàn)及有限元仿真的方法對(duì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、穩(wěn)定性進(jìn)行分析，直接對(duì)焊縫強(qiáng)度的不確定分析非常少.劉益銘，吉伯海等對(duì)面板縱肋與橫肋腹板連接處的疲勞性能及影響要素進(jìn)行了討論，并評(píng)價(jià)了其疲勞性能[4-5].李枝軍等對(duì)縱肋與面板及橫梁量連接處以及橫梁腹板開孔邊緣的疲勞性能進(jìn)行了分析[6].黃云等對(duì)正交異性板縱肋與橫肋腹板之間的焊接細(xì)節(jié)初始缺陷進(jìn)行了研究，結(jié)合斷裂力學(xué)方法提出了焊接缺陷疲勞評(píng)估方法并驗(yàn)證了該方法可行性和合理性[7].從上述研究可知，焊縫是該結(jié)構(gòu)易出現(xiàn)疲勞裂紋的關(guān)鍵位置，且上述研究中均未考慮分析時(shí)關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)的不確定對(duì)結(jié)論的影響.但在實(shí)際工程問(wèn)題中，由于存在多種不確定因素導(dǎo)致實(shí)際與分析結(jié)果存在一定差異，對(duì)其進(jìn)行強(qiáng)度評(píng)估時(shí)考慮設(shè)計(jì)參數(shù)不確定的影響，對(duì)預(yù)防焊縫破壞、保證橋梁正常使用具有重要意義.

針對(duì)不確定問(wèn)題，概率理論、模糊理論以及區(qū)間理論是目前主要采用的三種分析理論，而證據(jù)理論是概率論的一種拓展[8]且在處理參數(shù)不確定性時(shí)具備明顯的優(yōu)勢(shì)，可對(duì)概率、模糊、區(qū)間等不同分布的不確定性信息進(jìn)行處理.但證據(jù)理論在實(shí)際應(yīng)用中的關(guān)鍵難點(diǎn)是大規(guī)模計(jì)算，其計(jì)算代價(jià)不僅與所分析實(shí)際問(wèn)題本質(zhì)相關(guān)，還與證據(jù)理論模型問(wèn)題維數(shù)和焦元數(shù)也直接相關(guān)，如何減少計(jì)算的規(guī)模一直是學(xué)者重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題.文獻(xiàn)表明DE演化算法與證據(jù)理論結(jié)合起來(lái)，可以明顯提升計(jì)算速度，大幅度縮短時(shí)間[9].響應(yīng)面法[10]是采用多元多項(xiàng)式來(lái)描述輸入?yún)⒘颗c輸出響應(yīng)之間的復(fù)雜關(guān)系，將其與證據(jù)理論結(jié)合后能很好地替代實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜有限元分析，以減少計(jì)算工作量.

鑒于上述各個(gè)方面的考慮，本文基于證據(jù)理論來(lái)解決設(shè)計(jì)參數(shù)不確定性問(wèn)題，結(jié)合響應(yīng)面法構(gòu)建了有關(guān)焊縫強(qiáng)度評(píng)估的不確定性分析數(shù)值模式.所構(gòu)建的強(qiáng)度評(píng)估不確定性數(shù)值模式有效性和可行性通過(guò)正交異性鋼橋面板焊縫結(jié)構(gòu)焊接強(qiáng)度分析結(jié)果來(lái)予以驗(yàn)證.通過(guò)設(shè)計(jì)參數(shù)在不同分布特性的數(shù)值分析結(jié)果對(duì)比可知，所構(gòu)建的數(shù)值模式能有效地對(duì)焊縫結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度進(jìn)行評(píng)估，評(píng)估結(jié)果更能真實(shí)地反映實(shí)際現(xiàn)狀，更具有可信性.

1 正交異性鋼橋面板模型

以某長(zhǎng)江大橋的正交異性鋼橋面板模型為對(duì)象[11](如圖1)，以文獻(xiàn)5中的工況對(duì)其進(jìn)行分析如圖2，探討焊縫強(qiáng)度評(píng)估分析中的不確定性因素的特征.各主體部件如縱梁、橫梁、面板、底板等均以角焊縫連接，且焊縫是橋面板的主要傳力結(jié)構(gòu).

圖1 正交異性橋面板的殼單元模型

圖2 應(yīng)力云圖

在橋面板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中，因材料選取、荷載、幾何形狀、尺寸公差和制造工藝等不確定性因素的共同作用，造成了不確定性存在于幾乎所有設(shè)計(jì)參數(shù)中，但對(duì)于焊接結(jié)構(gòu)強(qiáng)度產(chǎn)生影響的設(shè)計(jì)參數(shù)卻只有幾個(gè)關(guān)鍵的參數(shù).針對(duì)具備不確定性參數(shù)的實(shí)際問(wèn)題，在焊縫強(qiáng)度分析和設(shè)計(jì)中必須明確具有不確定性的關(guān)鍵參數(shù)，并分析關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)的不確定性.根據(jù)有限元仿真分析可知，焊縫最大應(yīng)力為323.6 MPa，其材料屈服強(qiáng)度為510 MPa滿足標(biāo)準(zhǔn).依據(jù)有限元分析結(jié)果，可知在面板、縱肋與橫板間的焊縫受力較大，進(jìn)而確定面板、縱肋和橫隔板厚度作為不確定參數(shù)，并以此不確定參數(shù)設(shè)計(jì)構(gòu)建焊縫強(qiáng)度的不確定評(píng)估模型.

按照上述分析所選定的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)，參考Eurcode3、AASHTO和日本道路規(guī)范并分析多組正交異性破壞案例，確定以面板厚度、U肋厚度和頂板厚度作為不確定性設(shè)計(jì)參數(shù).各不確定參數(shù)的取值在表1中列出，表中給出了三個(gè)不確定性參數(shù)的上下限取值以及均值.

表1 不確定設(shè)計(jì)參數(shù)的取值范圍 mm

對(duì)正交異性鋼橋面板進(jìn)行強(qiáng)度分析的實(shí)質(zhì)是分析焊縫的綜合剪切應(yīng)力與焊接規(guī)范中的焊縫強(qiáng)度指標(biāo)的關(guān)系，判定其是否滿足規(guī)范要求.在對(duì)焊縫強(qiáng)度進(jìn)行評(píng)估時(shí)，首先要確定焊縫的強(qiáng)度指標(biāo).

對(duì)角焊縫進(jìn)行應(yīng)力分析時(shí)，建立有限元模型并可提取相應(yīng)的Mises應(yīng)力值.由于角焊縫參數(shù)是一系列的取值，不同的參數(shù)所對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度指標(biāo)也不同，必將涉及系列參數(shù)所對(duì)應(yīng)的復(fù)雜有限元分析.為避免多次反復(fù)的復(fù)雜計(jì)算，減少計(jì)算量，可采用響應(yīng)面代理模型進(jìn)行簡(jiǎn)化從而提高計(jì)算效率.

利用二次不帶交叉項(xiàng)響應(yīng)面來(lái)近似真實(shí)極限狀態(tài)，設(shè)定設(shè)計(jì)參數(shù)與輸出參數(shù)的回歸模型可寫為：

(1)

其中，n是輸入基本變量的維數(shù)，a0、ai、aii分別為常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)和二次項(xiàng)的待定系數(shù)，G(x)為真實(shí)極限狀態(tài)g(x)的響應(yīng)面.

式(1)可以寫為如下矩陣形式

G=XC

(2)

其中，G為N維樣本點(diǎn)的函數(shù)值矢量，X為ns×nt矩陣：

(3)

(4)

2 基于證據(jù)理論的不確定性分析

證據(jù)理論是Dempster和Shafer提出并完善的一種可以滿足比概率論更弱的條件且能表達(dá)不確定和不知道的理論.對(duì)于上文已明確的具有不確定性的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)將采用證據(jù)理論對(duì)其進(jìn)行分析.對(duì)于證據(jù)理論而言，識(shí)別框架、基本信任函數(shù)、信任函數(shù)和似然函數(shù)是該理論所涉及的主要表達(dá)要素，其分析結(jié)果與概率理論結(jié)果最接近，且對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)不確定性信息量的需求較少.

證據(jù)理論的基礎(chǔ)是識(shí)別框架，對(duì)于一個(gè)命題或者事件，包含所有可能結(jié)果的集合并且集合中的所有元素兩兩互不相容，這種集合就是識(shí)別框架，一般用Θ表示.

Θ={y1,y2，…，yi，…，yn}

(5)

證據(jù)理論中用基本可信度分配(BPA)來(lái)描述一個(gè)命題的可信度，其中基本概率函數(shù)m是從冪集到區(qū)間[0,1]的一個(gè)映射，其需要滿足以下三個(gè)條件：

(6)

其中m(A)為BPA，m(A)>0稱為焦元，m(A)反應(yīng)了證據(jù)命題/事件A為真時(shí)的可信任程度.由上面公式可知，基本概率分配定義在冪集的任意函數(shù)上，不能對(duì)空集分配信任度且所有命題的可信度之和為1.

在很多情況下，信息的來(lái)源可能不統(tǒng)一，需要對(duì)來(lái)自多方面的信息進(jìn)行整合形成針對(duì)命題的合成BPA.然而，迄今為止，證據(jù)合成仍然沒有一個(gè)統(tǒng)一的方法，文中采用Dempster法則，是最為經(jīng)典的方法.假設(shè)從不同的來(lái)源得到關(guān)于同一個(gè)變量X的BPA分別為m1和m2，B和C分別表示m1和m2所對(duì)應(yīng)的的命題，使用Demspter法則計(jì)算可信度分配如下：

(7)

(8)

其中，K表現(xiàn)信息不同來(lái)源間的沖突，沖突越大則K值越大，K=0則無(wú)沖突.

由于信息缺失的影響，不確定分析的區(qū)間結(jié)果要比單點(diǎn)的概率結(jié)果更為合理.對(duì)于一個(gè)命題X采用[Bel(X)Pl(X)]來(lái)表示對(duì)它的信任程度，并且Bel(X)和Pl(X)均為0～1之間的數(shù)，其中Bel和Pl分別為信任函數(shù)與似然函數(shù).其數(shù)學(xué)表達(dá)式以及關(guān)系圖如圖3所示.

(9)

圖3 信任函數(shù)與似然函數(shù)關(guān)系

依靠證據(jù)理論對(duì)這些非同源的信息進(jìn)行分析處理后，各參數(shù)的取值均以區(qū)間的形式體現(xiàn)，并給出各區(qū)間的信任度分配.在進(jìn)行分析時(shí)，整個(gè)工作的一個(gè)重要環(huán)節(jié)就是輸入的不確定.參數(shù)區(qū)間經(jīng)過(guò)分析模型函數(shù)傳播得到對(duì)應(yīng)的計(jì)算響應(yīng)區(qū)間.根據(jù)初始給定各參數(shù)的區(qū)間劃分，不確定的區(qū)間響應(yīng)計(jì)算實(shí)際就是在對(duì)應(yīng)的所有焦元區(qū)間上尋求極大值和極小值.對(duì)每個(gè)小焦元區(qū)間上求極值需要進(jìn)行若干次抽樣得到，而抽樣的精度和抽樣次數(shù)相關(guān)，得到所有焦元區(qū)間上的響應(yīng)就需進(jìn)行大量的抽樣.為了提高計(jì)算效率，本文采用DE演化算法，將大量的抽樣工作進(jìn)行優(yōu)化分析，加快不確定在焦元區(qū)間內(nèi)的傳播速度.

DE演化算法是一種新穎的智能算法，它結(jié)合了遺傳算法的更大種群概念和進(jìn)化算法的自適應(yīng)變異.這些特點(diǎn)使得DE演化算法具有簡(jiǎn)單、快速、魯棒性好的特點(diǎn).將DE演化算法和證據(jù)理論結(jié)合，可以顯著提升計(jì)算效率，具體過(guò)程見文獻(xiàn)[9].

3 焊縫的不確定性分析流程

在確定面板、縱梁和橫梁的厚度作為關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)后，當(dāng)這些參數(shù)的取值為不確定區(qū)間時(shí)，焊縫的Mises應(yīng)力值不是一個(gè)單一確定的值，而是一個(gè)范圍.設(shè)計(jì)指標(biāo)的取值范圍情況將與關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)的不確定性程度密切相關(guān).

針對(duì)這些不確定性參數(shù)，進(jìn)行不確定性分析的相關(guān)步驟可分以下幾步：

(1)不確定設(shè)計(jì)參數(shù)的選??；

(2)不確定參數(shù)識(shí)別框架的構(gòu)建；

(3)不確定參數(shù)焦元區(qū)間的確定；

(4)每個(gè)焦元基本信任函數(shù)的確定；

(5)代理模型的構(gòu)建；

(6)每個(gè)焦元的區(qū)間響應(yīng)邊界計(jì)算；

(7)基本函數(shù)計(jì)算.

對(duì)于實(shí)際中的設(shè)計(jì)參數(shù)，其不確定性特征存在兩種可能，一方面是認(rèn)知不確定，另一方面是偶然不確定.對(duì)不確定參數(shù)給定條件時(shí)，其焊縫強(qiáng)度條件不再是一個(gè)固定的取值，而是具有不確定特征的區(qū)間.在進(jìn)行焊縫強(qiáng)度分析時(shí)，應(yīng)根據(jù)關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)的不確定性分布水平，結(jié)合證據(jù)理論以及分析方法，按照上述分析步驟，對(duì)焊縫強(qiáng)度評(píng)估中評(píng)定條件存在的不確定性特征進(jìn)行分析和探討.

4 數(shù)值算例

根據(jù)上文分析可知，對(duì)正交異性橋面板進(jìn)行不確定性分析的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)為面板、縱梁和橫梁的厚度.為了更準(zhǔn)確的評(píng)估設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)焊縫強(qiáng)度的影響，排除偶然因素的干擾，分別采用正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和D-最優(yōu)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)構(gòu)建實(shí)驗(yàn)樣本，對(duì)其模型進(jìn)行仿真分析.

圖4 不確定分析流程圖

統(tǒng)一給定各設(shè)計(jì)參數(shù)的最大值和最小值范圍，考慮3個(gè)關(guān)鍵設(shè)計(jì)參量均為認(rèn)知不確定的情況，為簡(jiǎn)化計(jì)算均采用均勻分為兩個(gè)區(qū)間的情況，如表2、圖4所示.

表2 2個(gè)區(qū)間表示的變量

算例1正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果

根據(jù)上述分析，將面板、U肋、橫梁厚度作為不確定性設(shè)計(jì)參數(shù)，根據(jù)正交優(yōu)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的思想設(shè)計(jì)樣本，如表3所示.

表 3 正交樣本設(shè)計(jì) mm

為了更好地了解不確定設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)焊縫強(qiáng)度的影響，選取兩個(gè)位置的應(yīng)力極值進(jìn)行對(duì)比研究.根據(jù)響應(yīng)面法可以構(gòu)建兩個(gè)危險(xiǎn)點(diǎn)處有關(guān)焊縫強(qiáng)度的代理模型，分別為式10、11.對(duì)其誤差進(jìn)行評(píng)估，其最大誤差為3.41%，故該代理模型可以表征設(shè)計(jì)參數(shù)與響應(yīng)之間的關(guān)系.詳細(xì)誤差如圖5.

W1=335.14-22.701×A-2.3696×

B+23.394×C+0.41014×

A2+0.03686×B2-0.912×C2

(10)

W2=1101.3+3.7474×A-31.365×

B-71.934×C-0.07243×

A2+1.0501×B2+1.9326×C2

(11)

圖5 代理模型的誤差圖

為更清晰地了解到不確定性參數(shù)的影響，取危險(xiǎn)點(diǎn)及相鄰兩個(gè)點(diǎn)作為樣本，其應(yīng)力大小見圖6.

(a) 危險(xiǎn)點(diǎn)1

(b) 危險(xiǎn)點(diǎn)2圖6 正交樣本應(yīng)力圖

由圖6可知，不同位置的焊縫受參數(shù)變化的影響也不同，其中危險(xiǎn)點(diǎn)1位于U肋與面板交接處，主要受面板及U肋厚度的影響，故整體呈現(xiàn)下降趨勢(shì).綜上可知整體趨勢(shì)為應(yīng)力值大小與設(shè)計(jì)參數(shù)成反比，即面板、U肋及橫板的厚度越大，焊縫處的應(yīng)力越小.

表4 證據(jù)理論分析結(jié)果

(a) 危險(xiǎn)點(diǎn)1

(b) 危險(xiǎn)點(diǎn)2圖7 正交樣本累積信任函數(shù)與似然函數(shù)

采用證據(jù)理論分析可以得到滿足條件的信任函數(shù)與似然函數(shù)以及焊縫強(qiáng)度的期望區(qū)間與具有95%保證概率的應(yīng)力區(qū)間，如表4、圖7所示.

由表4可知95%保證概率的應(yīng)力區(qū)間為[299.6,339.2]，小于材料屈服強(qiáng)度510 MPa，說(shuō)明在該設(shè)計(jì)參數(shù)區(qū)的焊縫符合要求.

算例2D最優(yōu)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果

根據(jù)上述分析，將面板、U肋、橫梁厚度作為不確定性設(shè)計(jì)參數(shù)，根據(jù)D-最優(yōu)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的思想設(shè)計(jì)樣本，如表5所示.

表5 D最優(yōu)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) mm

為了更好地了解不確定設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)焊縫強(qiáng)度的影響，選取兩個(gè)位置的應(yīng)力極值進(jìn)行對(duì)比研究.根據(jù)響應(yīng)面法可以構(gòu)建有關(guān)焊縫強(qiáng)度的代理模型，分別為式(12)、(13).對(duì)其誤差 進(jìn)行評(píng)估，其最大誤差為3.35%，故該代理模型可以表征設(shè)計(jì)參數(shù)與響應(yīng)之間的關(guān)系.詳細(xì)誤差如圖8.

W3=568.30-25.912×A-4.3963×

B-5.5156×C+0.61593×A2+

0.12219×B2+0.08292×C2

(12)

W4=393.12+9.5442×A-7.2767×

B-3.4588×C-0.47688×

A2+0.19313×B2-0.30583×C2

(13)

圖8 代理模型誤差圖

為更清晰地了解到不確定性參數(shù)的影響，取危險(xiǎn)點(diǎn)及附近兩個(gè)點(diǎn)作為樣本，其Mises應(yīng)力大小見圖9.對(duì)圖9分析可知，設(shè)計(jì)參數(shù)的變化對(duì)應(yīng)力大小的影響明顯，即模型敏感度較高，不確定性參數(shù)的選取較好.

(a) 危險(xiǎn)點(diǎn)1

(b) 危險(xiǎn)點(diǎn)2圖9 D最優(yōu)化樣本應(yīng)力

表6 證據(jù)理論分析結(jié)果

采用證據(jù)理論分析可以得到滿足條件的信任函數(shù)與似然函數(shù)以及焊縫強(qiáng)度的期望區(qū)間與具有95%保證概率的應(yīng)力區(qū)間，如表6、圖10所示.

(a) 危險(xiǎn)點(diǎn)1

(b) 危險(xiǎn)點(diǎn)2圖10 D-最優(yōu)化樣本的累積信任函數(shù)與似然函數(shù)

由圖表可知，95%保證概率的應(yīng)力區(qū)間最大為[298.8,338.6] MPa,小于屈服強(qiáng)度510 MPa，說(shuō)明在該設(shè)計(jì)參數(shù)區(qū)間的焊縫符合要求.

根據(jù)上文分析，討論在認(rèn)知不確定情況下焊縫的強(qiáng)度，兩個(gè)算例采用不同方法構(gòu)建樣本模型，并根據(jù)證據(jù)理論對(duì)其進(jìn)行分析.對(duì)比分析表4和表6可知，采用正交設(shè)計(jì)和D最優(yōu)設(shè)計(jì)構(gòu)建的不同樣本在使用證據(jù)理論進(jìn)行不確定性分析時(shí)，其結(jié)果基本一致.通過(guò)圖5、8對(duì)比分析可知，D最優(yōu)化方法構(gòu)建的樣本在進(jìn)行不確定性分析時(shí)，其累積Bel和Pl更加合理.

綜上可知，正交設(shè)計(jì)樣本與D最優(yōu)設(shè)計(jì)樣本在不確定分析中的數(shù)值結(jié)果基本一致，但在累積Bel與Pl圖中，D最優(yōu)樣本更合理，即在不確定分析的樣本構(gòu)建宜采用D最優(yōu)設(shè)計(jì)方法.

5 結(jié)論

(1)針對(duì)正交異性鋼橋面板焊縫參數(shù)的不確定，建立了不確定性數(shù)值分析模式，可利用較少的參數(shù)信息進(jìn)行焊縫不確定評(píng)估，獲取焊縫的強(qiáng)度分布結(jié)果并以區(qū)間形式表現(xiàn)，更符合實(shí)際；

(2)由文中算例可知，對(duì)比不同樣本分析結(jié)果，在進(jìn)行正交異性板焊縫不確定性分析時(shí)，其樣本構(gòu)建宜采用D最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法；

(3)由文中算例可知，在進(jìn)行不確定性分析時(shí)，將證據(jù)理論結(jié)合DE演化算法，可快速計(jì)算以提高計(jì)算速度，有望進(jìn)一步應(yīng)用于多個(gè)參數(shù)的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度不確定分析.