馬茂年

摘 ? ?要：合理的教學(xué)情境設(shè)計(jì)能促使學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)新知，是促進(jìn)概念生成的一種有效方式.教師在教學(xué)前，一定要研究教材并理解教材的設(shè)計(jì)意圖，然后采取相關(guān)策略，即“以數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實(shí)的關(guān)聯(lián)性為依據(jù)、以數(shù)學(xué)概念發(fā)展的歷史脈絡(luò)為線索、以對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解為出發(fā)點(diǎn)、以數(shù)學(xué)概念在教材中的邏輯順序、以對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知沖突為突破口”等創(chuàng)設(shè)情境，幫助學(xué)生更有效地學(xué)，從而達(dá)成數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的要求.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念;情境設(shè)計(jì);函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

教師在進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)前，必須研究教材，理解教材的設(shè)計(jì)意圖，這樣才能用好教材，使教學(xué)設(shè)計(jì)不偏離方向.教學(xué)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)是研究學(xué)生，即分析學(xué)生已有的認(rèn)知情況，了解學(xué)生在當(dāng)前思維發(fā)展過程中最需要的是什么、學(xué)習(xí)情感上最迫切的需求是什么，從而使教學(xué)設(shè)計(jì)合乎學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.其中，學(xué)生的學(xué)情信息是確定教學(xué)設(shè)計(jì)基調(diào)的決定性因素.因此，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，不能斷章取義，更不能強(qiáng)加式地武斷主觀，應(yīng)時(shí)刻提醒自己：把握好教材，使教學(xué)合乎學(xué)生的學(xué)習(xí)情感態(tài)度、體現(xiàn)學(xué)生的本位思想.

合理的概念教學(xué)情境引入方式，能吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的思維運(yùn)作，促使學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)新知.它是促進(jìn)概念生成的一種有效方式.一線教師對(duì)此深有體會(huì).也正因此，造成了許多為情境而捏造情境、為生成而假作生成的不當(dāng)行為.這容易引發(fā)知識(shí)上的概念泛化，甚至造成概念混淆，使學(xué)生產(chǎn)生課堂倦怠心理，導(dǎo)致教師教學(xué)設(shè)計(jì)思路的僵化與定式. 以下，筆者結(jié)合在我校開展的青年教師“同課異構(gòu)”講課比賽，及其他教師的課堂實(shí)踐，針對(duì)概念教學(xué)情境引入設(shè)計(jì)中應(yīng)注意的一些問題，以人教A版（2019）普通高中教科書《數(shù)學(xué)》（以下簡(jiǎn)稱“新教材”）必修第一冊(cè)第四單元第五節(jié)第一目“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”為例，談?wù)勅绾芜M(jìn)行情境設(shè)計(jì).

一、以數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實(shí)的關(guān)聯(lián)性為依據(jù)創(chuàng)設(shè)情境

數(shù)學(xué)不是無源之水、無本之木，而是與現(xiàn)實(shí)生活存在著千絲萬縷的聯(lián)系.數(shù)學(xué)概念是對(duì)生活現(xiàn)象與經(jīng)驗(yàn)的直接套用或間接抽象，很多數(shù)學(xué)概念都能在現(xiàn)實(shí)生活中找到“原型”.因此，以數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實(shí)的關(guān)聯(lián)性為依據(jù)去創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念引入的情境，不僅能夠讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，而且能夠發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維去思考世界、用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)世界的能力.

【案例1】

1.觀察圖象片段（如圖1，時(shí)刻0～t0之間的氣溫變化圖），請(qǐng)你將其補(bǔ)充成完整的函數(shù)圖象.

2.追問：是否有某時(shí)刻的溫度為0°C？為什么？

3.再問：你認(rèn)為函數(shù)存在零點(diǎn)應(yīng)滿足什么條件？

巧妙運(yùn)用這樣一幅函數(shù)圖象，即可引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活，歸納并生成“零點(diǎn)存在性”定理.當(dāng)然，設(shè)置生活情境必須把握好度，所創(chuàng)設(shè)的情境必須與當(dāng)前學(xué)習(xí)任務(wù)密切相關(guān)，并能夠從中概括出當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì).否則，此情境非但不能為學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容提供支持，反而會(huì)干擾甚至混淆學(xué)生的數(shù)學(xué)理解.

【錯(cuò)誤案例】

如果把函數(shù)比作一部電影，那么函數(shù)的零點(diǎn)就像是電影的一個(gè)瞬間，一個(gè)鏡頭. 有時(shí)我們會(huì)忽略一些鏡頭……現(xiàn)有兩組鏡頭（如圖2），哪一組能說明他的行程一定曾渡過河？

這樣的情境創(chuàng)設(shè)缺乏數(shù)學(xué)知識(shí)的依托，它不僅干擾了目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)（以至于有學(xué)生提出小孩可以跳過河的想法），而且使簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)函數(shù)概念理解的混淆.

二、以數(shù)學(xué)概念發(fā)展的歷史脈絡(luò)為線索創(chuàng)設(shè)情境

大數(shù)學(xué)家龐加萊曾指出：“如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的將來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史與現(xiàn)狀.”歷史是人類最寶貴的精神財(cái)富，“以史為鑒，可以明得失”，以數(shù)學(xué)史為鑒，可以讓學(xué)生讀懂?dāng)?shù)學(xué).所以教師應(yīng)仔細(xì)研究、體味數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史發(fā)展脈絡(luò)，并以此為線索創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念的引入情境.

例如，以方程的發(fā)展史為鑒引入新課.

【案例2】

中國：公元1世紀(jì)編成的《九章算術(shù)》，以算法形式給出了求一次方程、二次方程和正系數(shù)三次方程根的具體方法;7世紀(jì)，隋唐數(shù)學(xué)家王孝通找出了求三次方程正根的數(shù)值解法;11世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲在《黃帝九章算法細(xì)草》中提出了解三次或三次以上的高次方程式的解法;13世紀(jì)，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出了可以求出任意次代數(shù)方程正根的算法.

西方：9世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米給出了一次方程、二次方程的一般解法;1541年，意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞給出了三次方程的一般解法;1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)在其名著《大術(shù)》一書中，把塔爾塔利亞的解法加以發(fā)展，并記載了費(fèi)拉里（卡當(dāng)?shù)膶W(xué)生）的四次方程的一般解法;1778年，法國數(shù)學(xué)大師拉格朗日提出了五次方程根式解不存在的猜想;1824年，年僅19歲的挪威年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾成功地證明了五次以上一般方程沒有根式解.

三、以對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解為出發(fā)點(diǎn)創(chuàng)設(shè)情境

相比于2007年版教材，新教材更加注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的背景呈現(xiàn)和實(shí)際應(yīng)用，這使得數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展更具趣味性和探索性，教材更具親和力和人文關(guān)懷.教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)仔細(xì)體味教材的用意，充分挖掘課本素材的教育教學(xué)功能，讓數(shù)學(xué)概念的形成成為學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在需要.然而，現(xiàn)實(shí)是許多教師往往撇開現(xiàn)成的素材而不顧，自主開發(fā)，主觀設(shè)計(jì).這樣，不僅造成了資源的浪費(fèi)，甚至還曲解了概念的本質(zhì).

“與二次函數(shù)的零點(diǎn)一樣，對(duì)于一般函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).” 對(duì)于零點(diǎn)的概念，新教材在定義之前先鋪墊了“二次函數(shù)的零點(diǎn)”，進(jìn)而提升到“函數(shù)的零點(diǎn)”，接著又提供了大量的素材，讓函數(shù)的零點(diǎn)這一概念的引入合情合理，不僅體現(xiàn)了“函數(shù)的零點(diǎn)”這一概念的本質(zhì)特征，更蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思維得以進(jìn)一步發(fā)展的背景.

在這個(gè)定理的教學(xué)中，可先設(shè)計(jì)如下問題讓學(xué)生辨析：

【案例3】

1.零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是一個(gè)值.

2.①從方程的角度看，零點(diǎn)是相應(yīng)方程f（x）=0的實(shí)數(shù)解;②從形的角度看，零點(diǎn)是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo);③從函數(shù)值與自變量的值對(duì)應(yīng)的角度看，零點(diǎn)是使函數(shù)值為0的對(duì)應(yīng)的自變量x的值.

3.函數(shù)的零點(diǎn)為方程的求解提供便利.通過引入零點(diǎn)，對(duì)于不能用公式法求解的方程來說，我們可以把它與函數(shù)聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出函數(shù)的零點(diǎn)，從而求出方程的解.

然后進(jìn)一步設(shè)計(jì)如下四個(gè)問題，推進(jìn)辨析：

4.零點(diǎn)存在性定理是否說明區(qū)間（a，b）內(nèi)的零點(diǎn)有多少個(gè)？

5.函數(shù)y=f（x）的圖象必須是閉區(qū)間[a，b]上的一條連續(xù)不斷的曲線嗎？

6.若f（a）f（b）>0，零點(diǎn)情況如何？

7.若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，則有f（a）f（b）<0成立嗎？

在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，只要抓住函數(shù)的零點(diǎn)概念，通過合理的鋪墊和設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生思考，便可以讓學(xué)生對(duì)概念有深刻的理解，并在教學(xué)過程中使學(xué)生形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力.

四、以數(shù)學(xué)概念在教材中的邏輯順序去創(chuàng)設(shè)情境

和2007年版教材相比，新教材在內(nèi)容的編排上更注重體現(xiàn)教學(xué)的思想性和整體性. 新教材強(qiáng)調(diào)過程與聯(lián)系，注重?cái)?shù)學(xué)概念的發(fā)生、發(fā)展過程.在“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”教材內(nèi)容中，教材的設(shè)計(jì)意圖主要是通過教學(xué)，為后續(xù)內(nèi)容“用二分法求方程的近似解”的學(xué)習(xí)做好知識(shí)與思想方法上的準(zhǔn)備. 教材中對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行定義時(shí)還指出：“一般地，對(duì)于不能用公式求解的方程[f（x）=0]，我們可以把它與相應(yīng)的函數(shù)[y=f（x）]聯(lián)系起來，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)找出零點(diǎn)，從而得到方程的解.”對(duì)于教材的這些描述，筆者認(rèn)為可以這樣來理解和把握：函數(shù)的零點(diǎn)定義的前綴詞是函數(shù)[y=f（x）]，強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)在特定狀態(tài)下（函數(shù)值為0）的x的值，它是從函數(shù)的圖象中派生出來的一個(gè)數(shù)學(xué)稱謂，體現(xiàn)了“形”的特點(diǎn)（以形顯數(shù)）. 同時(shí)，利用函數(shù)的零點(diǎn)求出方程的解，體現(xiàn)了函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用功能，也就是說，求函數(shù)的零點(diǎn)的意義在于進(jìn)一步求得方程的解.因此，從知識(shí)結(jié)構(gòu)的順序上，應(yīng)該是先產(chǎn)生零點(diǎn)，進(jìn)一步利用函數(shù)的零點(diǎn)來探求方程的解，而不是通過求方程的解來得到函數(shù)的零點(diǎn)，更不能用求解的方法替代對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的討論.

基于這種理解，不可如此設(shè)計(jì)概念情境引入：

【錯(cuò)誤案例】

問題1：求方程x2-2x-3=0的實(shí)數(shù)解，并畫出函數(shù)y=x2-2x-3的圖象.（方程x2-2x-3=0的實(shí)數(shù)解為-1，3. 函數(shù)的圖象略）

問題2：觀察形式上函數(shù)y=x2-2x-3與相應(yīng)方程x2-2x-3=0的聯(lián)系.（函數(shù)y=0時(shí)的表達(dá)式就是方程x2-2x-3=0）

問題3：由于形式上的聯(lián)系，方程x2-2x-3=0的實(shí)數(shù)解在函數(shù)y=x2-2x-3的圖象中如何體現(xiàn)？（方程的實(shí)數(shù)解就是y=x2-2x-3的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）

初步提出零點(diǎn)的概念：-1，3既是方程x2-2x-3=0的解，又是函數(shù)y=x2-2x-3圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).-1，3在方程中稱為實(shí)數(shù)解，在函數(shù)中稱為零點(diǎn).

在這個(gè)設(shè)計(jì)中，傳達(dá)了這樣一種信息：先求出方程的解，然后由方程的解引出函數(shù)的零點(diǎn). 這正與“先得到函數(shù)的零點(diǎn)，再得到方程的解”的結(jié)構(gòu)順序相反，是“以形顯數(shù)”的逆過程，違背了“利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)找出零點(diǎn)，從而得到方程的解”的基本線索.

新教材在提出函數(shù)的零點(diǎn)的定義后，又進(jìn)一步解釋：“方程f（x）=0有實(shí)數(shù)解 函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有公共點(diǎn).”故此，教師在教學(xué)前一定要仔細(xì)研讀教材，把握教材意圖，厘清結(jié)構(gòu)順序.

五、以對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知沖突為突破口創(chuàng)設(shè)情境

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，情境的引入應(yīng)尊重學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，對(duì)于一些抽象的數(shù)學(xué)概念，教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)做適當(dāng)?shù)匿亯|，比如設(shè)置合理的問題鏈，讓學(xué)生在探索的過程中，形成認(rèn)知差異，還原概念的形象特征，并進(jìn)一步歸納生成對(duì)概念的系統(tǒng)認(rèn)知.

某教師設(shè)想直接拿對(duì)一元二次方程與相應(yīng)二次函數(shù)關(guān)系的探究，來引入函數(shù)的零點(diǎn)的概念.筆者覺得這種方法存在兩方面的疑點(diǎn).疑點(diǎn)一：二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系對(duì)大部分高一學(xué)生來說，是一種形象直觀、呼之欲出的數(shù)學(xué)知識(shí)，是否有必要讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到一般的探索過程？疑點(diǎn)二：學(xué)生能在第一時(shí)間明白教師的設(shè)計(jì)意圖嗎？其實(shí)，高中學(xué)生對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)概念并不會(huì)覺得抽象，更何況它本身就是從圖形中抽象出來的（學(xué)生容易產(chǎn)生誤解的是“零點(diǎn)是點(diǎn)”，教學(xué)中要注意糾偏），若僅為引出零點(diǎn)概念而設(shè)計(jì)鋪墊，倒不如直接給出定義.學(xué)習(xí)零點(diǎn)的概念，目的是用來解決一些不能用求解法求解的方程，為下一節(jié)內(nèi)容的教學(xué)做好知識(shí)與方法層面的儲(chǔ)備，以及讓學(xué)生在學(xué)的過程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)、方程之間的轉(zhuǎn)化思想.因此，若設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生不能立刻解決，或者過程比較麻煩甚至無法解決的方程，作為概念教學(xué)的情境引入，則更易引起學(xué)生的思維沖突，使其增強(qiáng)思辨意識(shí)，進(jìn)而產(chǎn)生主動(dòng)接納新知的需要.

鑒于此，筆者指導(dǎo)某教師采用以下方法來引入：讓學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)求出方程2007x2-2008x+1=0的解，進(jìn)而求解方程3x5+6x-1=0的實(shí)數(shù)解. 或許學(xué)生對(duì)前一個(gè)方程還想利用一般方法求解，但在解題的過程中，隨著思考的深入，這道題必然會(huì)促使學(xué)生思考特定解法：直接找實(shí)數(shù)解.而后面的方程，學(xué)生自然感到無一般性解法，用方程的思想方法來解必將走入死胡同.當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)知沖突后，就會(huì)產(chǎn)生問題轉(zhuǎn)化的愿望.此時(shí)，教師適時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)：可否借助函數(shù)的圖象來解決.然后從二次函數(shù)的圖象與二次方程的解的關(guān)系入手，引出函數(shù)零點(diǎn)的概念.

情境引入的設(shè)計(jì)，要讓學(xué)生體會(huì)到自身原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)與導(dǎo)入問題的解決之間存在溝壑，讓學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)知沖突，產(chǎn)生主動(dòng)構(gòu)建新知的愿望，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正向遷移. 此外，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)教師的設(shè)計(jì)意圖也是很重要的，這樣才能有效而快速地激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生真正做到主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí).

六、結(jié)語

數(shù)學(xué)概念教學(xué)中情境的設(shè)計(jì)，有時(shí)需要教師改變定理的條件或者定理的結(jié)論，以得到一些新的命題.教師還要引導(dǎo)學(xué)生從正面、反面、側(cè)面等不同的角度重新審視教學(xué)內(nèi)容.但所有引申和改變，都應(yīng)該與課程目標(biāo)有關(guān)，教師要認(rèn)認(rèn)真真、切切實(shí)實(shí)地把握好“度”.數(shù)學(xué)教學(xué)的根本，是幫助學(xué)生更有效地學(xué)、更有效地達(dá)成數(shù)學(xué)課程目標(biāo).追求教學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的一致，認(rèn)真解構(gòu)每一節(jié)課相關(guān)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，把教學(xué)內(nèi)容講準(zhǔn)、講對(duì)、講透、講深，應(yīng)該成為我們數(shù)學(xué)教師的專業(yè)自覺。