董培佩

摘?要：本文對課程思政之定積分的應用進行了教學設計，并通過案例進行了分析。

關鍵詞：課程思政;定積分的應用;教學設計

中圖分類號：G4?文獻標識碼：A?doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.35.069

定積分的應用（一）教學目的、要求：（1）鞏固定積分的幾何意義及計算;（2）掌握用定積分（微元法）求直角坐標系下平面圖形面積的方法;（3）綜合運用知識分析解決問題，培養(yǎng)學生思維能力和應用數(shù)學的能力;（4）通過引導學生觀察、思考、總結，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維及邏輯推理能力，進一步提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，提高學生利用數(shù)學解決實際問題的能力。

教學重點：（1）微元法的基本思想和步驟;（2）利用定積分求解平面圖形的面積。

教學難點：（1）微元法的理解;（2）適當選擇積分變量利用定積分求解平面圖形的面積。

教學方法：分組討論法、講練結合法、行為引導法、分層教學法。

課前準備：學習通上上傳數(shù)學家牛頓、萊布尼茲等數(shù)學家的簡介及在微積分領域、微元法的研究和貢獻。

課堂教學程序：（1）分組討論線上預習視頻：數(shù)學家萊布尼茲和牛頓的在微積分中的研究簡介、微元法簡介;（2）介紹用定積分的幾何意義、微元法求解求平面圖形面積的方法及公式;（3）舉例;（4）課堂討論、小結;（5）線上線下作業(yè)布置。

1?分組討論預習內容

同學們分組討論學習通中觀看視頻會對微積分、微元法的理解，以及對兩位數(shù)學家的評價。

課程思政元素：萊布尼茨與牛頓流數(shù)術的運動背景不同，萊布尼茨對微積分的研究是從幾何方面進行的，他在研究不規(guī)則曲線的切線和不規(guī)則曲線所圍的面積時開始了對微積分的研究。我們現(xiàn)在使用的積分符號就是求和“sum”的首寫字母“S”拉長后得到的。除此之外，還有很多數(shù)學符號都是萊布尼茨引入的，如微積分中的dx、dy等符號，這些符號簡潔、方便，一直沿用至今。盡管牛頓與萊布尼茨各自從不同的方向創(chuàng)立了微積分但殊途同歸，他們對微積分的創(chuàng)立和現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展做出了巨大的貢獻，在優(yōu)先權問題上我們不做過多評價和論述，我們認為他們的貢獻是相同的。要以開放、包容的心態(tài)去看待事物，在待人接物時要有一顆海納百川的心。

2?定積分應用的引入

創(chuàng)設情境，引出新課。用多媒體展示多張圖片拋出問題：拱形橋橋面的面積？不規(guī)則湖泊及田地的占地面積？

課程思政元素：通過以上問題，讓學生體會到數(shù)學和我的生活息息相關，無時無刻不存在我的生產生活中，讓學生感受所學知識定積分的實際意義和作用，讓學生體會到數(shù)學的巨大作用及魅力，激發(fā)學生對本次課以及《微積分》的興趣，提高同學的學習熱情。 利用以上實例，引導學生學會把理論知識和實際問題聯(lián)系起來，再引出本節(jié)課的課題：定積分的應用——用微元法解決平面圖形的面積。

3?定積分的微元法

利用微元法解決曲邊梯形面積問題的方法如圖1：

課程思政元素：微元法的數(shù)學思想可以概括為“分割（化整為零）、取近似（以直代曲）、求和（積零為整）、取極限（精確化）”。這個思想在多個科學領域都有涉及，無論是對學生的學習，還是對老師都有很大的啟示，比如我在生活中學習中、在做作業(yè)的時候，碰到問題、碰到難題，當沒有辦法解決時，我可以嘗試將大問題分解成若干個小問題，分步驟各個擊破，先解決每一步的小問題，從而最終解決大問題。微元法讓我知道，學術上、生活中很多復雜的問題都是由若干個簡單的問題組合起來的，需要不斷思考探索，利用所學的知識合理科學地去分解問題、解決問題。

4?平面圖形的面積的求法及舉例

利用微元法或定積分的幾何意義求平面圖形的面積。

讓學生自己分析練習以上例題3和例題4：（1）學生根據(jù)例題探究的過程來歸納解題思路及過程;（2）教師簡單點評，幫助學生修改、提煉，強調注意要根據(jù)積分變量的選擇把函數(shù)變形成用x表示y的函數(shù)或用y表示成x的函數(shù);（3）也可以使用“微元法”求以上例題的面積。

課程思政元素：為什么無界區(qū)域的面積確是一個定值呢？這個結果肯定讓在座的同學都感到驚訝，在我的認知中，無界區(qū)域的面積應該是無窮大的，為什么無界區(qū)域的面積確是一個定值呢？這會引發(fā)同學的討論和爭論，活躍了課堂氣氛并很大程度地激發(fā)了同學的學習興趣。此時數(shù)學的奇異美展現(xiàn)在同學面前;數(shù)學的辯證美展現(xiàn)在同學面前。此時教師自然而然地說：學習《微積分》不僅僅是因為開了這門課，為了學習而學習，更不是為了期末考試，重要的是讓同學體會到數(shù)學的魅力，體會數(shù)學的美好，幫助同學提高分析問題和解決問題的能力……在我平時的工作、生活和學習中，我可以將很多事情看成是一個“反常積分”，我往往認為某件事情憑我自己的能力是無法完成的，但實際上只要找對方法，我是有這個能力去很好地解決這些問題的?！胺闯７e分”及無窮區(qū)域的面積為有限值這個問題不僅僅是存在于數(shù)學領域，在日常生活中我所面對的很多問題其實也一樣。所以我平時做事情不能一味地靠主觀判斷，要學會用科學的、理性的思維方法去思考，要辯證地看問題，不能被事物的表象迷惑，不能以偏概全，不能輕易下結論，解決問題的方式既要創(chuàng)新，又要邏輯縝密。

國內外很多知名的數(shù)學家同時也是哲學家，同學可以多讀讀數(shù)學家的傳記，例如，大家課前預習視頻中的牛頓、萊布尼茲、亞里士多德、笛卡爾等，我所學的數(shù)學知識，比如定積分都不是憑空產生的，都是來自于實際生產生活中的問題。所以同學在生活中要做個有心人，用心去體會生活、感受生活，要善于發(fā)現(xiàn)生產生活中的問題、再提煉問題、解決問題。

5?課堂練習、思考、討論

6?結論

（1）微元法用于求區(qū)間a，b上不均勻可加量，主要步驟為：①局部求“微元”;②整體求“積分”。

（2）適當選擇積分變量利用微元法解決平面圖形的面積問題。

最后，在線上、線下作業(yè)布置。

參考文獻

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