□福建省三明市大田縣教師進修學(xué)校 陳秀華

一、聚焦數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的水平?jīng)Q定了數(shù)學(xué)思維的深刻程度。數(shù)學(xué)抽象能力強的學(xué)生，善于在數(shù)學(xué)活動中深入思考，而且能從紛繁復(fù)雜的材料中挖掘出數(shù)學(xué)的本質(zhì)與規(guī)律，并能夠根據(jù)規(guī)律預(yù)判事物發(fā)展的進程。教師要善于引導(dǎo)學(xué)生親歷知識的形成過程，逐步從現(xiàn)實世界和生活世界進入數(shù)學(xué)研究內(nèi)部，使學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力得到充分發(fā)展。

比如，教學(xué)二年級上冊《認(rèn)識線段》?！熬€段”是個抽象的幾何概念，而學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力較弱，要完成認(rèn)識的難度較大。因此在教學(xué)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助直觀的物體搭建表象的橋梁，通過仔細觀察、動手操作、分析比較，逐步抽象、理解和把握線段的本質(zhì)屬性。在實際課堂觀察中發(fā)現(xiàn)：有的教師精心創(chuàng)設(shè)了活動的情境，讓學(xué)生借助毛線來抽象學(xué)習(xí)線段這一概念。但是在教學(xué)時，卻沒有引導(dǎo)學(xué)生扣緊線段的本質(zhì)特征去觀察，導(dǎo)致學(xué)生專注于線段的物理屬性，無法聚焦線段的數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性。因此，產(chǎn)生了線段有顏色、線段彎彎的等錯誤理解。相反，有位教師在教學(xué)“線段”時，注重引導(dǎo)學(xué)生聚焦線段的特征，經(jīng)歷概念的抽象過程，培養(yǎng)了學(xué)生抽象能力，請幾位學(xué)生上臺去操作毛線，將手上的毛線兩端捏緊、拉直，并組織其他學(xué)生進行觀察、討論，總結(jié)出“毛線直直的，有的長、有的短，有兩個端頭”等特征。在此過程中，學(xué)生建立了線段的表象，“線段”本質(zhì)特征抽象的時機已然成熟。教師趁熱打鐵將毛線“請”到黑板上，毛線水到渠成地演變成了一條線段。為了引導(dǎo)學(xué)生剝離、舍棄線段的非本質(zhì)屬性（方向、方位、顏色），教師在黑板上畫出了不同顏色、不同方向的線段，再次引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、討論、交流，抽象出線段的數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性（有長有短、直直的、有兩個端點）?！懊€”作為“線段”的現(xiàn)實原型，幫助學(xué)生在大腦中確立線段的穩(wěn)固表象打下了堅實的基礎(chǔ)，學(xué)生經(jīng)歷了從毛線進而抽象概括出線段的本質(zhì)特征的全過程。抽象能力潤物無聲地潛入學(xué)生的思維中，使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到了發(fā)展。

二、聚焦邏輯推理能力培養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

推理能力綜合體現(xiàn)了兒童的個性心理特征，具有相對的穩(wěn)定性。推理能力在推理活動中得到孕育、逐步形成、獲得發(fā)展，并且會影響推理活動產(chǎn)生的效果。數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展要依賴邏輯推理。在數(shù)學(xué)課上，學(xué)生在適宜的學(xué)習(xí)活動中經(jīng)歷觀察、猜測、實驗、分析，總結(jié)規(guī)律，發(fā)展推理能力；在驗證結(jié)論正確與否中，鍛煉自身演繹推理能力。

運算離不開推理，運算中包含大量推理的因素。張景中院士說過：“推理是抽象的計算，計算是具體的推理。”在運算教學(xué)中，學(xué)生要通過嘗試計算、分析算理、總結(jié)算法和算律中發(fā)展合情推理能力。比如，在教學(xué)“20以內(nèi)進位加法”練習(xí)課，可以呈現(xiàn)多個20以內(nèi)的加法算式，讓學(xué)生計算結(jié)果，比較分類，然后抽象概括出算法：看大數(shù)（小數(shù)）、拆小數(shù)（大數(shù)），用湊十法算得數(shù)。在教學(xué)“乘法交換律”時，教師也要盡量呈現(xiàn)多組算式讓學(xué)生進行計算。如13×6=78，6×13=78；4×25=100，25×4=100；15×12=180，12×15=180。學(xué)生通過觀察、比較、分析算式特征，發(fā)現(xiàn)：兩個數(shù)相乘，如果交換了因數(shù)的位置，積不會變，進一步舉例、驗證，最后歸納總結(jié)出乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。

當(dāng)學(xué)生理解了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的運算道理，掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，就可以試圖讓學(xué)生應(yīng)用已經(jīng)掌握的運算法則去驗證，去推導(dǎo)新出的命題，并正確判斷結(jié)論。例如，比較“79×98”和“78×99”的大小。學(xué)生除了用豎式計算比較結(jié)果以外，還能根據(jù)算理演繹不同方法，如79×98=（78+1）×98=78×98+98；78×99=78×（98+1）=78×98+78。顯而易見，第一個算式的結(jié)果比較大。已確定的概念、法則及定律是運算的算理，根據(jù)算理進行演算、證明結(jié)論的對錯。在這個過程中，學(xué)生的運算能力和演繹推理能力得到了和諧發(fā)展。

在開展教學(xué)活動時，教師應(yīng)努力引導(dǎo)學(xué)生通過條件去大膽地預(yù)測結(jié)果，通過歸納推理探究成因，發(fā)現(xiàn)知識，然后進行驗證得到結(jié)論。教師應(yīng)努力幫助學(xué)生在經(jīng)歷推理、驗證、歸納、總結(jié)的過程中，逐漸形成數(shù)學(xué)的思維模式，培養(yǎng)學(xué)生逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維分析世界。

三、聚焦數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它是用數(shù)學(xué)語言來描述現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系。將復(fù)雜的現(xiàn)實問題進行簡化、抽象，形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程就是數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模過程中，學(xué)生調(diào)用已有的認(rèn)知經(jīng)驗將生活現(xiàn)實原型簡化成數(shù)學(xué)問題，采用不同方式表征其中的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律，并進行抽象和符號化，然后將新知遷移到新的情境中解決新的問題。數(shù)學(xué)建模是一個從現(xiàn)實中來再到現(xiàn)實中去的雙向過程。在此過程中，學(xué)生不斷體悟數(shù)學(xué)模型思想，發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力。

比如，教學(xué)“平行四邊形的面積”，出示長方形廣告牌和平行四邊形廣告牌，問哪個廣告牌面積大？學(xué)生明確這是比較兩個圖形面積大小的數(shù)學(xué)問題。教師標(biāo)出數(shù)據(jù)，長方形長、寬分別是10厘米、4厘米；平行四邊形底為10厘米，鄰邊為5厘米，高為4厘米。關(guān)于長方形面積學(xué)生能脫口而出10×4=40平方厘米，如果不會算平行四邊形的面積，就進行猜測，產(chǎn)生三種方案，10×5=50平方厘米，4×5=20平方厘米，10×4=40平方厘米。教師要引導(dǎo)學(xué)生聚焦“平行四邊形的面積如何計算？”“平行四邊形面積的大小與什么有關(guān)系？”并根據(jù)這兩個問題進行操作驗證，執(zhí)果索因，用數(shù)方格的方法得到平行四邊形的面積是40平方厘米，同時發(fā)現(xiàn)它的面積與底和高有關(guān)；進一步發(fā)現(xiàn)可以把平行四邊形通過剪、拼得到成長方形，而且發(fā)現(xiàn)長方形的長與寬就是原平行四邊形的底和高，從而推導(dǎo)出“平行四邊形的面積=底×高”。這個過程是學(xué)生將數(shù)學(xué)成分直觀化、符號化、模型化的過程。這個過程離不開學(xué)生的抽象概括、歸納、推理、應(yīng)用等思維活動。總而言之，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程就是學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力生發(fā)、成長的過程。

東北師范大學(xué)史寧中教授曾經(jīng)說過：“抽象、推理、模型是數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的基本思想。數(shù)學(xué)的概念、運算法則等應(yīng)通過抽象得到，在推理中發(fā)展，用數(shù)學(xué)模型搭建起數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁?！睂W(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，充分經(jīng)歷了從現(xiàn)實原型抽象出數(shù)學(xué)對象，通過邏輯推理，獲得數(shù)學(xué)模型。在這個過程中，學(xué)生不僅掌握了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，更重要的是培育了數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，即數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力，因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也能得到長足發(fā)展。