吳靜

【摘 要】隨著新課改的不斷深入，數(shù)學(xué)實驗作為學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的一種有效方式，已被越來越多的一線教師接受。然而，面對數(shù)學(xué)實驗中出現(xiàn)的誤差，教師往往會產(chǎn)生“畏難”情緒。教學(xué)中，教師要認(rèn)識到實驗誤差的教學(xué)價值，通過引導(dǎo)學(xué)生覺察誤差、辨識誤差和控制誤差，優(yōu)化實驗過程，增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，讓數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)習(xí)真實發(fā)生。

【關(guān)鍵詞】實驗誤差 思維 可見

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“設(shè)計必要的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感知知識的形成和應(yīng)用?！睌?shù)學(xué)實驗是為了獲得某種數(shù)學(xué)理論、檢驗?zāi)硞€數(shù)學(xué)猜想和解決某類數(shù)學(xué)問題，借助一定的物質(zhì)手段，在數(shù)學(xué)思維活動的參與下所進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)探索活動。數(shù)學(xué)實驗是一種常見的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，學(xué)生以數(shù)學(xué)實驗為載體進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)知識或驗證數(shù)學(xué)猜想，能促進(jìn)數(shù)學(xué)理解力和創(chuàng)造力的提升。隨著課改的不斷深入，數(shù)學(xué)實驗被越來越多的一線教師采納和運用。然而，數(shù)學(xué)實驗中出現(xiàn)的誤差往往會使教師陷入尷尬的境地，使得教師對數(shù)學(xué)實驗教學(xué)心存畏懼。

一、問題：實驗誤差的教學(xué)現(xiàn)狀和分析

教師在面對數(shù)學(xué)實驗誤差時，主要有以下三種情況：

1.“規(guī)避”誤差

教師對實驗過程中出現(xiàn)的誤差有清晰的認(rèn)識，但考慮到實驗誤差可能會對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)面影響，在設(shè)計教案時有意通過控制實驗變量、改變實驗要求等方式，直接規(guī)避實驗誤差，不讓學(xué)生有看見誤差的機(jī)會。

2.“忽略”誤差

實驗過程中，學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)誤差，但教師往往因分析誤差影響教學(xué)的進(jìn)程和學(xué)生判斷，采取視而不見的態(tài)度，直接忽略誤差，出示標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)。

3.“應(yīng)付”誤差

學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出實驗誤差，教師無法給予學(xué)生合理的解釋，而用“誤差在實驗中是客觀存在的、無法避免的”“出現(xiàn)實驗誤差是正常現(xiàn)象”等語言應(yīng)付，不做深究。

透過以上教學(xué)現(xiàn)象，可以看出教師面對實驗誤差時，存在懼怕心理，教師對實驗誤差的成因和教學(xué)價值缺乏應(yīng)有的認(rèn)識。

二、明晰：實驗誤差的成因和教學(xué)價值

正確認(rèn)識實驗誤差，了解實驗誤差產(chǎn)生的原因，明晰其蘊含的教學(xué)價值，對于優(yōu)化實驗過程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解都有著重要意義。

（一）實驗誤差的成因

實驗誤差是實驗中一個量的觀測值或計算值與真實值之間的差距。實驗誤差具有客觀性、生成性和可控性的特點。導(dǎo)致實驗誤差的因素有很多，實驗方式、實驗工具、實驗程序、操作和觀察方法等都會造成實驗誤差，特別對具象的、現(xiàn)實的實驗素材進(jìn)行手工操作時，誤差是難以避免的。

（二）實驗誤差的教學(xué)價值

表面看，實驗誤差會阻礙教學(xué)進(jìn)程，混淆學(xué)生的認(rèn)知，影響學(xué)生的判斷。事實上，實驗誤差中蘊含著豐富的教學(xué)價值，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著積極的推動作用。

1.培育實驗精神

物理學(xué)家丁肇中認(rèn)為：“需要培養(yǎng)實驗的精神，不論是研究自然科學(xué)，研究人文科學(xué)，還是在個人行動上，我們都要保留一個懷疑求真的態(tài)度?！睂嶒炚`差是培育實驗精神的有效物質(zhì)載體。妥善利用誤差，能幫助學(xué)生樹立懷疑求真的實驗態(tài)度。

2.優(yōu)化實驗要素

基于實驗誤差，組織學(xué)生進(jìn)行成因分析，有助于教師和學(xué)生對實驗素材、實驗過程、實驗要求等要素的主動改良和優(yōu)化，使實驗操作更規(guī)范，實驗結(jié)果更合理。

3.提升思維品質(zhì)

對實驗誤差的分析，能引發(fā)學(xué)生的深度思考，不僅能使學(xué)生主動改變和修正原有的想法，增進(jìn)數(shù)學(xué)理解;還能尋找更為合理的實驗方法和路徑，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新能力。

三、實踐：利用實驗誤差組織教學(xué)的操作路徑

教師要正視和利用實驗誤差，讓內(nèi)隱的思維可見，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)誤差背后的原因并及時加以改進(jìn)、優(yōu)化實驗過程，不斷提升思維品質(zhì)。

（一）覺察誤差：數(shù)據(jù)從“內(nèi)隱”走向“外顯”，讓思維可見

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實驗，比較常見的是基于合情猜想而進(jìn)行的驗證性實驗，其主要目的在于 “證實”，而非“證偽”。長期受到這種數(shù)學(xué)實驗文化的影響，即便在實驗中出現(xiàn)了誤差，大部分學(xué)生也會選擇相信猜想，把真實存在的誤差當(dāng)作是自身學(xué)習(xí)中的錯誤，自動調(diào)整和修改實驗數(shù)據(jù)。這種對誤差“視而不見”的現(xiàn)象，不僅不利于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的實驗精神，還會使學(xué)生錯失深入思考的機(jī)會。因此教師在組織數(shù)學(xué)實驗時，要謹(jǐn)防這種“虛假”實驗，引導(dǎo)學(xué)生正視實驗誤差，讓每一個測量的數(shù)據(jù)都能被覺察、看見，從而推動思維的發(fā)展。

1.明確要求，提供方法支持

看見實驗誤差，需要以規(guī)范的操作為前提。實驗前，教師要出示實驗要求，提供實驗工具和實驗材料、明確規(guī)范實驗流程，避免學(xué)生出現(xiàn)實驗錯誤。例如，在教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”時，教師要在學(xué)生基于已有經(jīng)驗猜想“三角形內(nèi)角和是180°”后，出示實驗要求：（1） 標(biāo)一標(biāo)，在課前準(zhǔn)備好的任意三角形（可以是畫的，也可以是剪下的三角形）上標(biāo)出3個內(nèi)角，做好記號;（2）想一想，你有什么辦法驗證自己的猜想，再動手實驗;（3） 填一填，三角形的內(nèi)角和是（ ? ? ?）°。注意：操作規(guī)范、正確，并如實記錄實驗數(shù)據(jù)。為了確保實驗的有效性，教師要在課前對學(xué)生任意畫的、剪下的三角形進(jìn)行檢查，確保符合標(biāo)準(zhǔn)。

規(guī)范的數(shù)學(xué)實驗活動，能有效排除無關(guān)干擾，凸顯數(shù)學(xué)實驗中真正的誤差，進(jìn)而幫助學(xué)生聚焦誤差，引發(fā)深度思考。教師要認(rèn)識到數(shù)學(xué)實驗誤差的成因具有多樣性和復(fù)雜性，根據(jù)數(shù)學(xué)知識特點進(jìn)行問題的預(yù)設(shè)，制訂實驗規(guī)范，為誤差的顯現(xiàn)提供外在的方法支持。

2. 夯實基礎(chǔ)，依托經(jīng)驗支撐

為了防止出現(xiàn)錯誤的實驗數(shù)據(jù)，教師不僅要檢視實驗工具等外在因素，還要從源頭出發(fā)，夯實數(shù)學(xué)實驗所必備的基礎(chǔ)知識和技能。如教學(xué)“三角形內(nèi)角和”前，要幫助學(xué)生回憶和固化量角的基本方法，包括量角器的擺法和讀刻度的方法。學(xué)生在量角經(jīng)驗的支撐下，按“規(guī)定”實驗，就能關(guān)注到與猜想不同的實驗數(shù)據(jù)，并就此深入探究，形成對實驗誤差的正確認(rèn)識。

3. 鼓勵求真，給予心理支援

實驗誤差能否被接納與實驗者的實驗態(tài)度、實驗精神高度相關(guān)。學(xué)生實驗精神的養(yǎng)成，需要教師給予足夠的心理支援，教師要做好兩方面的工作：一是要積極營造“納錯”文化氛圍，引導(dǎo)學(xué)生正確看待學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題，認(rèn)識到錯誤資源的價值，并能在錯誤中探尋學(xué)習(xí)方向和方法;二是要幫助學(xué)生形成求真務(wù)實的實驗態(tài)度，尊重實驗結(jié)果，接納各種不同的實驗數(shù)據(jù)。實驗中，教師更要提醒學(xué)生如實記錄實驗數(shù)據(jù)。

（二）辨識誤差：認(rèn)識從“模糊”走向“清晰”，讓思維可立

小學(xué)生的抽象思維能力尚處在發(fā)展階段，對直觀、可見的事物抱有一種執(zhí)念。當(dāng)實驗數(shù)據(jù)和實驗猜想出現(xiàn)不一致的情況時，絕大多數(shù)學(xué)生會受表象的迷惑，相信實驗數(shù)據(jù)而放棄原有的想法。對學(xué)生而言，接受誤差是從感性思維走向理性思維的一次飛躍。教師要把握機(jī)會，引導(dǎo)學(xué)生理性看待實驗結(jié)果和實驗猜想之間的矛盾，分析實驗數(shù)據(jù)背后的原因，正確認(rèn)識實驗誤差的意義。

1.多樣呈現(xiàn)，形成“沖突點”

同一個實驗，不同學(xué)生得到的實驗結(jié)果是不完全相同的。教學(xué)時，教師要充分利用差異資源，設(shè)置認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生聚焦實驗數(shù)據(jù)，進(jìn)行合理分析，正確認(rèn)識實驗誤差。如教學(xué)“可能性大小”時，教師先出示裝有3個紅球和3個黃球的透明袋子，讓學(xué)生猜測“任意摸一個球，摸到哪種顏色的可能性大？”隨后進(jìn)行摸球?qū)嶒烌炞C猜想，通過先猜想后實驗的方式引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。最后，引導(dǎo)學(xué)生對大量的實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，感受摸球?qū)嶒炛小懊郊t球或黃球”的不確

定性。

2.多方辨析，澄清“混淆點”

實驗誤差和實驗錯誤是兩個不同的概念，澄清實驗誤差和實驗錯誤，有助于學(xué)生形成更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶嶒瀾B(tài)度，同時能發(fā)展學(xué)生的思辨能力。教師要舍得花時間，呈示各種不同的數(shù)據(jù)，組織學(xué)生進(jìn)行辨析。如學(xué)生通過測算驗證三角形內(nèi)角和為180°時，出現(xiàn)了179°、180°、173°等不同的實驗數(shù)據(jù)，教師要適時提問：“對于179°和173°這2個不是180°的內(nèi)角和，你有什么想說的？”在學(xué)生初步判斷出173°是錯誤數(shù)據(jù)后，對三角形三個內(nèi)角進(jìn)行再次測算，確認(rèn)其是實驗過程中測量和讀數(shù)錯誤導(dǎo)致的。而179°是在實驗過程中受材料、觀察角度的影響出現(xiàn)的誤差，難以避免。通過以上辨析，學(xué)生對實驗誤差和實驗錯誤有了一定的鑒別能力，為后續(xù)結(jié)論的得出掃除了認(rèn)知障礙。

3.多元對話，構(gòu)建“認(rèn)知點”

學(xué)生對實驗誤差的理解需要從比較接近精確結(jié)論的模糊認(rèn)知，走向?qū)φ`差合理范圍的基本框定。教學(xué)中，教師要追問實驗誤差的出現(xiàn)是否正常，引導(dǎo)學(xué)生通過多元對話，理解和分析實驗誤差。如，在學(xué)生利用工具測算圓周長和直徑的比值后，教師要組織學(xué)生討論2個問題：（1）剛才我們的猜想圓周長和直徑的商是固定不變的，可是實驗得到的商都不一樣，這是怎么回事？（2）你認(rèn)為實驗誤差能不能避免？為什么？

（三）利用誤差：理解從“淺表”走向“深刻”，讓思維可變

實驗誤差一定程度上會讓學(xué)生的思維淺表化，影響學(xué)生的數(shù)學(xué)判斷。教學(xué)中，教師要利用實驗誤差這一資源，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行由表及里、由淺入深的思考，讓思維變得更加深刻、精準(zhǔn)和有創(chuàng)意。

1. “深”處走——逼近知識本質(zhì)，讓思維變得更深刻

實驗誤差有時會成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路上的“絆腳石”。教師要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度化解問題，完善實驗過程，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。如教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”時，經(jīng)常會遇到學(xué)生用“兩邊之和等于第三邊”的小棒圍出了三角形的情形。教師清楚把小棒作為“線”進(jìn)行實驗必然會出現(xiàn)實驗誤差，因而設(shè)計了小棒由粗變細(xì)的多個實驗活動，但學(xué)生遵循“眼見為實”的準(zhǔn)則，拒絕承認(rèn)小棒變細(xì)后就不可能圍成三角形的事實。

面對這個問題，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生從“現(xiàn)象觀察”走向“數(shù)據(jù)分析”。事先在操作小棒上標(biāo)示具體的長度，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)認(rèn)知偏差時，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)據(jù)的計算和分析，判斷小棒圍成三角形的可能性，用數(shù)學(xué)眼光看問題。

2. “寬”處行——拓寬認(rèn)知視域，讓思維變得更精確

實驗誤差的有效控制，本質(zhì)上是對實驗數(shù)據(jù)再優(yōu)化的過程，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，讓學(xué)生的思維得到發(fā)展。教學(xué)中，教師在學(xué)生收集大量實驗數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)他們選取更合理的實驗量表示實驗結(jié)果。如教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊的教學(xué)活動課“怎樣滾得遠(yuǎn)”時，當(dāng)小球滾動距離普遍存在差異的情況下，可以統(tǒng)計班級所有學(xué)生得到的數(shù)據(jù)取平均值作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)，進(jìn)而縮小實驗誤差。

優(yōu)選統(tǒng)計量表示實驗數(shù)據(jù)，是將實驗誤差控制在合理范圍內(nèi)的有效辦法。在采用這一方法時，教師應(yīng)滲透統(tǒng)計的思想，引導(dǎo)學(xué)生做好兩件事：一是不要受單個實驗數(shù)據(jù)的制約，而要擴(kuò)大實驗樣本，收集盡可能多的實驗數(shù)據(jù);二是根據(jù)數(shù)據(jù)的實際情況靈活選擇平均值、眾數(shù)等統(tǒng)計量表示實驗數(shù)據(jù)的總體水平。只有這樣，才能合理控制實驗誤差，使實驗結(jié)果真正為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)，提高學(xué)生思維的準(zhǔn)確性。

3. “高”處看——打破思維局限，讓思維變得更靈活

誤差有時是創(chuàng)新之源，能幫助學(xué)生克服思維定式，尋找到最佳的實驗路徑。教師要充分利用實驗誤差，引導(dǎo)學(xué)生另辟蹊徑，從不同角度、不同側(cè)面思考以尋求新的突破。如當(dāng)學(xué)生用先量角再計算的實驗方法探究“三角形內(nèi)角和”卻出現(xiàn)誤差時，教師可以通過提問：“求三角形內(nèi)角和就是把三角形3個內(nèi)角度數(shù)合起來，除了用先量后合的方法求內(nèi)角和，還可以用什么方法呢？”引導(dǎo)學(xué)生反向思考。實踐證明，很多學(xué)生受到啟發(fā)，想到先把三角形的3個內(nèi)角合起來再量度數(shù)的方法，并選擇用折角、撕角、畫角等實驗方法加以證明。

綜上所述，實驗誤差是數(shù)學(xué)實驗的必然產(chǎn)物，教師要看到實驗誤差背后的教學(xué)價值，通過引導(dǎo)學(xué)生覺察誤差、辨識誤差和控制誤差，使思維變得更加理性、深刻和靈活，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真實發(fā)生。