靳 珊，梁宗旗

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分作為整數(shù)階導(dǎo)數(shù)與積分向任意非整數(shù)階情形的拓廣，由于缺乏應(yīng)用背景的推動(dòng)，其發(fā)展滯后于整數(shù)階問題。分?jǐn)?shù)階微分算子具有的非局限性能較好地用于描述事物的記憶性以及遺傳性質(zhì)，在數(shù)學(xué)、生物、電化學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)金融、統(tǒng)計(jì)學(xué)、超導(dǎo)、材料科學(xué)、湍流等各領(lǐng)域的不斷成功應(yīng)用，使得對分?jǐn)?shù)階問題的研究成為一個(gè)嶄新且活躍的領(lǐng)域之一。但對分?jǐn)?shù)階方程的求解并非易事，數(shù)值模擬成為一個(gè)較好的方法，也成為眾多學(xué)者追逐的熱點(diǎn)之一。

本文所研究的薛定諤方程作為描述非相對量子力學(xué)行為的基本方程，受到了數(shù)學(xué)及物理學(xué)研究者的廣泛關(guān)注：文獻(xiàn)[1-3]將分?jǐn)?shù)階微積分的概念和方法應(yīng)用到了量子力學(xué)中；文獻(xiàn)[4]給出了分?jǐn)?shù)階薛定諤類方程在量子力學(xué)中的重要性；文獻(xiàn)[5]通過先驗(yàn)估計(jì)及Galerkin方法研究了分?jǐn)?shù)階非線性薛定諤方程，并證明了其光滑解的存在唯一性；文獻(xiàn)[6]利用加權(quán)平均非標(biāo)準(zhǔn)線性有限差分方法求解了空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程；文獻(xiàn)[7]提出了Adomain分解法解決非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程；文獻(xiàn)[8]利用Legendra配點(diǎn)法求解了兩類時(shí)間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程；文獻(xiàn)[9]基于核理論和配點(diǎn)法建立了一類非線性分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的數(shù)值格式；文獻(xiàn)[10]提出了線性化緊ADI格式求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程；文獻(xiàn)[11]用Legengdra基函數(shù)解決時(shí)間可變階分?jǐn)?shù)階薛定諤方程；文獻(xiàn) [12]對分?jǐn)?shù)階薛定諤方程采用了差分求解，并保持了守恒性；文獻(xiàn)[13]采用守恒的快速線性化有限元方法求解非線性分?jǐn)?shù)階薛定諤方程；文獻(xiàn)[14-15]提出了非連續(xù)Galerkin有限元方法來求解分?jǐn)?shù)階薛定諤方程。本文采用的是傅里葉譜方法來數(shù)值求解一維分?jǐn)?shù)階非線性薛定諤方程，譜方法相對局部算子具有高精度且快速收斂的優(yōu)勢，各種譜配置方法[16-18]也被應(yīng)用于求解各類方程。本文時(shí)間方向采用了二階格式，空間分?jǐn)?shù)階算子采用傅里葉譜方法，并保持了原方程的質(zhì)量和能量的守恒性，證明了方法的收斂性和穩(wěn)定性，最后通過數(shù)值例子驗(yàn)證了方法的有效性及守恒性。

1 分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程

本文考慮如下分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程：

(1)

u(x,0)=u0(x)，-a≤x≤a，

(2)

(3)

其中：F表示傅里葉變換；F-1為傅里葉逆變換。當(dāng)α=2時(shí)，拉普拉斯分?jǐn)?shù)階算子就是傳統(tǒng)的經(jīng)典拉普拉斯算子。但當(dāng)α∈(0,2)時(shí)，它是一個(gè)非局部算子，描述了一個(gè)長時(shí)間的相互作用[20]。

引理1[21]設(shè)u(x,t)是問題(1)～(3)的解，問題(1)～(3)具有如下兩個(gè)守恒律，即質(zhì)量守恒Q(t)和能量守恒E(t)。

(4)

(5)

2 數(shù)值方法

2.1 預(yù)備知識

(6)

則(-Δx)α/2u的定義為

(7)

(8)

引理2[5]設(shè)1/2<α≤1且u0∈Hα(R)，則問題(1)～(2)具有全局唯一解u∈C0([0,∞);Hα(R))。

2.2 空間傅里葉譜離散

(9)

為近似拉普拉斯算子，定義擬微分算子：

(10)

問題(1)看成兩個(gè)方程：

i?tu-(-Δx)α/2u+qf(x,t)u=0，

(11)

(12)

建立譜離散格式：

(13)

(14)

初始條件(2)離散為：

(15)

2.3 離散格式的守恒性

定理1 設(shè)Un為格式(13)～(15)在t=tn時(shí)的數(shù)值解，則具有離散質(zhì)量守恒

(16)

證明式(13)兩邊同乘以(un+1+un)的共軛(un+1+un)*并累加得

(17)

定理2 設(shè)Un為格式(13)～(15)在t=tn時(shí)的數(shù)值解，則具有離散能量守恒

(18)

證明式(18)兩邊同乘以(un+1-un)*并對j(0≤j≤M-1)累加得：

(19)

(20)

(21)

2.4 誤差分析及收斂性

對任意N>1，定義有限維子空間HN=span{eikx,|k|≤N}。為解決問題(8)，即等價(jià)于求解uN∈HN，滿足

(22)

(23)

(24)

(25)

證明式(13)可表示為式(25)，其中Tk=O(τ2)為截?cái)嗾`差。式(25)兩端用vN作內(nèi)積

(26)

(27)

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

考慮初值條件u(x,0)=sech(x)·exp(2ix)，x∈(-π,π)，空間步長h=0.062 8，時(shí)間步長τ=0.001。對于線性問題即q=0，在時(shí)間區(qū)間[0,1]上，α分別取1.3,1.6,1.9，利用格式(14)～(16)分別計(jì)算了質(zhì)量Qn和能量En(見圖1～圖2)。由圖1～圖2可以看出，其質(zhì)量Qn和能量En基本保持了一個(gè)數(shù)值，即均是守恒的，且質(zhì)量Qn與α無關(guān)，而能量En與α相關(guān)，與理論是完全相吻合的。而對于分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程，取q=1，由圖3～圖4可以看出，本格式仍然保持了質(zhì)量和能量守恒。

為了檢驗(yàn)收斂階，表1～表2列出了α不同取值下不同時(shí)間、空間步長下的誤差值及誤差的階，階的計(jì)算公式分別為：在時(shí)間方向上，order=ln(e(τ1,h)/e(τ2,h))/ln(τ1/τ2)；在空間方向上，order=ln(e(τ,h1)/e(τ,h2))/ln(h1/h2)。由表1～表2可以看出，結(jié)果與理論分析結(jié)果相符。

表1 不同的α、tao計(jì)算的誤差及精度階(h=0.628 3)

表2 不同的α、h計(jì)算的誤差及精度階(tao=0.1)

4 結(jié)論

本文利用傅里葉譜方法來求解空間分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程。該方法的求解精度時(shí)間方向達(dá)到二階，而空間方向可以達(dá)到譜精度。雖然格式是隱式，但是迭代次數(shù)并不多即可達(dá)到收斂。該格式還保持了原問題的質(zhì)量守恒與能量守恒。從數(shù)值實(shí)例中可以看出，該方法簡單有效，并保證了質(zhì)量守恒和能量守恒，本格式是無條件穩(wěn)定的，精度也達(dá)到預(yù)期效果。而且，這個(gè)方法可以用于求解多維問題。