陜西省咸陽市彬縣范公中學(xué) 楊寶年

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。函數(shù)的奇偶性是函數(shù)最主要的性質(zhì)之一，是函數(shù)對(duì)稱性的特殊形式，往往與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合在一起成為函數(shù)部分學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)之一。下面我們就討論函數(shù)的這一性質(zhì)——函數(shù)奇偶性。

一、函數(shù)奇偶性定義的理解

教材是這樣定義函數(shù)奇偶性的：一般地，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)。在奇函數(shù)f（x）中，f（x）和f（-x）的絕對(duì)值相等，符號(hào)相反，即f（-x）=-f（x）；反之，滿足f（-x）=-f（x）的函數(shù)y=f（x）一定是奇函數(shù)。圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)。在偶函數(shù)f（x）中，f（x）和f（-x）的值相等，即f（-x）=f（x）；反之，滿足f（-x）=f（x）的函數(shù)y=f（x）一定是偶函數(shù)。函數(shù)f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說函數(shù)f（x）具有奇偶性。

二、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

（1）奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；（2）奇函數(shù)f（x）若在x=0處有定義，則f（0）=0；（3）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性。靈活運(yùn)用這些性質(zhì)可以順利解決很多函數(shù)問題。

三、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

例1：已知函數(shù)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=x-x4，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=_。

解：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，因?yàn)閒（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=f（-x）=-x-（-x）4=-x-x4。

【點(diǎn)評(píng)】利用函數(shù)奇偶性確定函數(shù)的解析式，其本質(zhì)是已知函數(shù)在一段區(qū)間上的解析式，然后利用奇偶性去求另一段區(qū)間上的解析式。這樣求出的函數(shù)往往是一個(gè)分段函數(shù)，注意不要寫成兩個(gè)函數(shù)。

例2：已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，定義域是[a-1，1+2a]，則f（a）=_。

解：因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，且定義域是[a-1，1+2a]，所以（a-1）+（1+2a）=0，即a=0，所以f（a）=f（0）=0。

【點(diǎn)評(píng)】要注意：①奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②奇函數(shù)在x=0處有定義，使得f（0）=0。

例3：設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），若x>0時(shí)，f（x）<0，且f（1）=-2，則f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值分別為_。

解：令x=y=0，則有f（0）=2f（0），即f（0）=0，

再令y=-x，則有f（x）+f（-x）=f（0）=0，所以f（x）為奇函數(shù)。

設(shè)x1，x2∈（-∞，∞），且x10。

因?yàn)閤>0時(shí)，f（x）<0，

所以有f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）<0，即f（x1）>f（x2），

所以f（x）在（-∞，∞）上單調(diào)遞減，因而f（x）在x=3處取得最小值f（3），在x=-3處取得最大值f（-3）。

又已知f（1）=-2，所以f（2）=2f（1）=-4，

所 以f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-6，f（-3）=-f（3）=6，

故f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值分別為6和-6。

【點(diǎn)評(píng)】賦值法是解該題的必要手段，通過賦值明確了函數(shù)的奇偶性，又根據(jù)題目條件，用構(gòu)造法確定了函數(shù)的單調(diào)性，從而利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)在所求區(qū)間上的最值。在求解過程中要會(huì)利用題目所給條件進(jìn)行分析、聯(lián)想、構(gòu)造，這是解決綜合題目的常見思路。