孫 兵, 阮懷林, 吳晨曦, 吳世龍, 鐘 華

(國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院, 安徽 合肥 230037)

0 引 言

波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)廣泛應(yīng)用于電子偵察、無線通信、導(dǎo)航等諸多領(lǐng)域[1-3]。在日益復(fù)雜的電磁環(huán)境中,會(huì)存在待測(cè)信源數(shù)大于陣元數(shù)的場(chǎng)景。目前,學(xué)者們針對(duì)均勻線性陣列提出了很多經(jīng)典DOA估計(jì)算法,但均勻線陣的自由度受陣元個(gè)數(shù)限制,由N個(gè)陣元組成的均勻線陣(uniform line array, ULA)可達(dá)到的自由度為N-1,難以實(shí)現(xiàn)欠定條件下的DOA估計(jì)。為解決這一問題,文獻(xiàn)[4]提出互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)模型,相較于傳統(tǒng)均勻陣列,N陣元的互質(zhì)陣列,其自由度可以達(dá)到Ο(N2)?；ベ|(zhì)陣列之所以具有這一優(yōu)勢(shì)是因?yàn)槠洳盥?lián)合陣中擁有大小為Ο(N2)的虛擬均勻線陣部分。故該理論框架一經(jīng)提出便受到了廣泛的關(guān)注[5-8]。目前針對(duì)欠定條件下的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)算法主要包括空間平滑[9]、稀疏算法[10]、數(shù)組插值[11]等,這類基于差聯(lián)合陣列的DOA估計(jì)方法均是基于理想的陣列模型提出的,但在實(shí)際應(yīng)用中,幅相誤差的存在難以避免,而互質(zhì)陣列的差聯(lián)合結(jié)構(gòu)對(duì)于幅相誤差非常敏感,這可能導(dǎo)致上述經(jīng)典互質(zhì)陣列DOA估計(jì)方法性能下降甚至測(cè)向失效。

文獻(xiàn)[12]提出了一種正交匹配追蹤算法,該方法將幅相誤差作為附加誤差矩陣來處理,盡管該方法可以應(yīng)用于稀疏陣列,但并未充分利用稀疏陣列的自由度優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)[13]提出了一種基于匹配追蹤的離格方法,該方法將非線性代價(jià)函數(shù)通過一階泰勒級(jí)數(shù)近似,因而僅在誤差較小時(shí)有效。文獻(xiàn)[14]將誤差校準(zhǔn)問題轉(zhuǎn)化為稀疏矩陣填充問題,并將非凸問題分解成兩個(gè)凸子問題進(jìn)行優(yōu)化,但該方法僅適用于誤差較小的情況。文獻(xiàn)[15-17]提出了特征結(jié)構(gòu)法,這類方法利用了信號(hào)子空間和噪聲子空間之間的正交性,因此無法應(yīng)用于欠定估計(jì)的互質(zhì)陣列。文獻(xiàn)[15]將存在幅相誤差的陣元接收數(shù)據(jù)視為離群值,利用最大熵準(zhǔn)則作約束條件以抑制幅相誤差,但僅適用于均勻陣列。在文獻(xiàn)[18]的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[19-20]針對(duì)互質(zhì)陣列分別提出了基于壓縮感知和基于插值的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)方法,但假設(shè)前提是互質(zhì)陣列中僅有極少數(shù)陣元存在幅相誤差,其余陣元均是精確校準(zhǔn)的,這一假設(shè)過于苛刻,在實(shí)際應(yīng)用中具有很大的局限性。在文獻(xiàn)[21-22]中,分別研究了非理想條件下的DOA估計(jì),但假設(shè)前提是部分陣元完全失效并無法獲取有用信息,對(duì)陣元作缺失置零處理,對(duì)于陣元存在幅相誤差的非完全失效場(chǎng)景效果并不理想。因此,幅相誤差條件下的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)問題沒有得到有效解決。

針對(duì)上述問題,本文將4個(gè)已校正的輔助陣元加至原互質(zhì)陣列,校正陣元位置按照互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)布置,增加校正陣元后的新陣列依然滿足互質(zhì)結(jié)構(gòu),可將新陣列視為兩個(gè)均勻線陣構(gòu)成,每個(gè)均勻線陣包含兩個(gè)已校正陣元。在誤差校正部分,受互質(zhì)陣列子陣分解方法[23-25]啟發(fā),將互質(zhì)陣列拆分為兩個(gè)子均勻陣列進(jìn)行誤差估計(jì)。與傳統(tǒng)均勻陣輔助陣元法[26-27]不同,該方法不要求輔助校正陣元數(shù)大于信源數(shù),可適用于欠定DOA估計(jì),并且僅需簡(jiǎn)單代數(shù)運(yùn)算即可實(shí)現(xiàn)誤差估計(jì)。在DOA估計(jì)部分,為了充分利用陣列自由度優(yōu)勢(shì)進(jìn)行欠定DOA估計(jì),在獲得幅相誤差后,將子陣幅相誤差排序重組,對(duì)接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行誤差補(bǔ)償,并擴(kuò)展為高維的Toeplitz矩陣,再利用矩陣填充理論進(jìn)行空洞填充[28],恢復(fù)自由度,實(shí)現(xiàn)幅相誤差條件下的互質(zhì)陣列欠定DOA估計(jì)。

1 互質(zhì)陣列幅相誤差模型

圖1給出了互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)示意圖。互質(zhì)陣列由兩個(gè)線性均勻陣列組成,子陣1中包含N個(gè)陣元,間距為Md。子陣2中包含2M個(gè)陣元,間距為Nd,兩個(gè)子陣共用第一個(gè)陣元組合成互質(zhì)陣列,共2M+N-1個(gè)陣元。其中,M與N是兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù),d=λ/2為半波長(zhǎng)。

圖1 互質(zhì)陣列示意圖Fig.1 Illustration of coprime array

以第一個(gè)陣元為參考陣元,位置記為0,互質(zhì)陣列陣元位置集合為

P={nMd, 0≤n≤N-1}∪{mNd, 0≤m≤2M-1}

(1)

假設(shè)有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)分別入射至互質(zhì)陣列,到達(dá)角θ=[θ1,θ2,…,θK],則陣列輸出數(shù)據(jù)可表示為

X(t)=ΓAS(t)+N(t)

(2)

Γ=diag[γ1ejφ1,γ2ejφ2,…,γ2M+N -1ejφ2M+N -1]

(3)

式中：γi表示第i個(gè)陣元的幅度誤差；φi表示第i個(gè)陣元的相位誤差。

2 幅相誤差條件下的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)方法

2.1 幅度相位誤差估計(jì)

為校正互質(zhì)陣列,將4個(gè)經(jīng)過校正的輔助陣元添加至原始互質(zhì)陣列,4個(gè)校正陣元位置如圖2所示,圖中增加校正陣元的新陣列依然滿足互質(zhì)結(jié)構(gòu)。新陣列共2M+N+3個(gè)陣元,以第5個(gè)陣元作為參考陣元,位置記為0,新陣列陣元位置集合為

P1={nMd, -2≤n≤N-1}∪{mNd, -2≤m≤2M-1}

(4)

可將新陣列視為兩組均勻線陣構(gòu)成,每個(gè)均勻線陣均包含兩個(gè)已校正陣元。第一組均勻線陣的陣元間距為Md,陣元數(shù)為N+2,第二組均勻線陣的陣元間距為Nd,陣元數(shù)為2M+2。兩組均勻線陣共用圖2中第5個(gè)陣元。

圖2 增加校正陣元的陣列結(jié)構(gòu)Fig.2 Array structure of adding correction array element

新陣列輸出數(shù)據(jù)表示為

(5)

假設(shè)入射信號(hào)相互獨(dú)立并且不相關(guān),可以得到新陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣:

(6)

(7)

(8)

由此可得如下等式:

(9)

進(jìn)一步可得

(10)

(11)

2.2 基于誤差校正的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)

為了充分利用互質(zhì)陣列自由度優(yōu)勢(shì),在獲得幅相誤差后,對(duì)接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣直接進(jìn)行誤差補(bǔ)償,并擴(kuò)展為高維的Toeplitz矩陣,再利用矩陣填充理論進(jìn)行空洞填充,提高自由度。

(12)

對(duì)于增加了校正陣元的新陣列,各陣元位置之差表示為

S={±(nMd-mNd)}∪{(niMd-njMd)}∪
{(miNd-mjNd)}

(13)

式中：-2≤n,ni,nj≤N-1;-2≤m,mi,mj≤2M-1。記dx為集合S中的元素,dx在集合S中出現(xiàn)的次數(shù)定義為權(quán)重系數(shù)ω(dx)。去除重復(fù)位置差得到虛擬陣元位置集合:

S0={-(2M+1)Nd,-2MNd,…,(2M+1)Nd}

(14)

實(shí)際應(yīng)用中,快拍數(shù)有限,數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R并非理想的Toeplitz矩陣,因而進(jìn)行平均運(yùn)算:

(15)

式中：Ri(dx)表示同一波程差對(duì)應(yīng)的R中第i個(gè)協(xié)方差矩陣元素。

式(14)得到的差聯(lián)合陣并非均勻陣列,其中存在空洞,傳統(tǒng)方法僅利用連續(xù)虛擬陣元構(gòu)成的均勻陣列,舍棄非均勻部分,為了提高虛擬陣元利用率,將協(xié)方差矩陣進(jìn)行擴(kuò)展得到一個(gè)數(shù)據(jù)缺失的高維協(xié)方差矩陣。將校正后的協(xié)方差矩陣R擴(kuò)展成維數(shù)為(2MN+N+1)×(2MN+N+1)的Toeplitz矩陣RE,其元素為

(16)

式(16)擴(kuò)展得到的RE某些位置元素為零。RE中的零元素與差聯(lián)合陣的空洞是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。對(duì)RE中的零元素進(jìn)行矩陣填充,即可實(shí)現(xiàn)對(duì)差聯(lián)合陣空洞的填充。在一定約束條件下,由文獻(xiàn)[29],矩陣填充問題可以用如下秩函數(shù)最小化模型來描述:

min rank(RV)
s.t.P·RE=P·RV

(17)

式中：RV表示待填充的目標(biāo)矩陣；P表示投影映射矩陣。一旦差聯(lián)合陣確定,則投影映射矩陣隨之確定。具體表示為

(18)

由于秩函數(shù)是非凸的,所以式(17)是一個(gè)非確定性多項(xiàng)式難問題,而矩陣核范數(shù)是秩函數(shù)的近似,可以對(duì)模型(17)進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐顾沙?

min ‖RV‖*
s.t.P·RE=P·RV

(19)

式中：‖RV‖*表示RV的核范數(shù)。核范數(shù)最小化問題直接求解效率不高,文獻(xiàn)[30]提出的奇異值閾值算法(singular value thresholding algorithm, SVT)可以有效求解核范數(shù)凸優(yōu)化問題,基于SVT算法,將式(19)轉(zhuǎn)化為一個(gè)近似問題:

(20)

當(dāng)μ→∞,式(20)的最優(yōu)解逼近式(19)的解。因而通過選取一個(gè)較大的μ值,便可以實(shí)現(xiàn)凸松弛。對(duì)于式(20)所示的優(yōu)化問題,SVT算法的求解如下:

(21)

式中:Y是過渡矩陣;δk為迭代步長(zhǎng),如果0<δk<2,則可以保證式(21)的矩陣填充問題收斂。但這一選擇過于保守,收斂速度很慢,為簡(jiǎn)單起見,選擇一個(gè)與迭代次數(shù)無關(guān)的常數(shù)δ=1.2n2/L,其中n為方陣RV的維數(shù),L為采樣數(shù)。Dμ為奇異值收縮算子,其定義為

(22)

式中:(σi-μ)+=max(0,σi-μ),σi表示Y的奇異值。

式(21)第k次迭代中,Yk-1的奇異值數(shù)目zk計(jì)算過程如下:

(23)

如果計(jì)算的奇異值已經(jīng)小于μ,則說明zk選擇正確。否則,需要重新定義一個(gè)增量h,增加zk直到奇異值低于μ。

在循環(huán)迭代時(shí),如果滿足:

(24)

則迭代停止,輸出迭代結(jié)果RV。式中:ε是停止迭代閾值。

綜上,幅度相位誤差條件下的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)方法具體步驟如下。

步驟 4根據(jù)式(16)將R擴(kuò)展成維數(shù)為(2MN+N+1)×(2MN+N+1)的Toeplitz矩陣RE。

步驟 5將RE的矩陣填充問題轉(zhuǎn)化為式(17)秩函數(shù)最小化模型,再利用式(19)核范數(shù)最小化對(duì)式(17)進(jìn)行凸松弛,最后基于奇異值閾值算法實(shí)現(xiàn)矩陣填充,得到目標(biāo)矩陣RV。結(jié)合root-多重信號(hào)分類(multiple signal classification, MUSIC)算法進(jìn)行DOA估計(jì)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)將進(jìn)行仿真以驗(yàn)證所提算法的有效性。以M=3,N=5的互質(zhì)陣列為例,存在幅相誤差的陣元數(shù)為2M+N-1=10,增加4個(gè)輔助校正陣元,新陣列陣元數(shù)為14。仿真實(shí)驗(yàn)中各算法均采用14個(gè)陣元進(jìn)行DOA估計(jì)。

3.1 可行性分析

將所提算法的性能與3種經(jīng)典互質(zhì)陣列DOA估計(jì)算法進(jìn)行比較，包括空間平滑MUSIC(spatial smoothing-MUSIC, SS-MUSIC) 算法[9]，互質(zhì)陣列最小絕對(duì)收縮和選擇 (coprime array least absolute shrinkage and selection operator, CO-Lasso) 算法[10]和Interpolation算法[11]。設(shè)置MUSIC算法的角度搜索間隔為0.1°,CO-Lasso算法的預(yù)定義空間網(wǎng)格的采樣間隔為0.1°。設(shè)有15個(gè)均勻分布于-42°至42°方向的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào),信噪比SNR=10 dB,快拍數(shù)L=1 000。假設(shè)原互質(zhì)陣列各陣元幅相誤差為[0.4exp(-jπ/3),1.44 ·exp(jπ/4),0.52 exp(-jπ/3),1.45exp(j5π/6),0.6exp(jπ/4),1.73exp(jπ/3),0.51exp(-jπ/5),1.8exp(j3π/4),0.49·exp(-jπ/7),1.55 exp(jπ/3)]。4種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

由圖3可得,存在幅相誤差情況下,雖然設(shè)置了較高信噪比和快拍數(shù),但3種經(jīng)典互質(zhì)陣列DOA估計(jì)算法效果均較差,這是因?yàn)榛ベ|(zhì)陣列的差聯(lián)合結(jié)構(gòu)對(duì)于幅相誤差非常敏感,因而導(dǎo)致3種經(jīng)典方法的估計(jì)性能急劇下降。其中SS-MUSIC和Interpolation算法只能對(duì)少數(shù)信源實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì),CO-Lasso算法估計(jì)誤差較大且出現(xiàn)偽峰。而本文算法可以對(duì)全部信源進(jìn)行較準(zhǔn)確的DOA估計(jì)。

3.2 分辨概率分析

圖4 分辨概率隨SNR變化Fig.4 Resolution probability versus SNR

圖5 分辨概率隨角度間隔變化Fig.5 Resolution probability versus angular interval

由圖4和圖5可得，提高信噪比或增大角度間隔,各算法的角度分辨概率均隨提高。在固定角度間隔為3°和快拍數(shù)為1 000的情況下,3種經(jīng)典算法因?yàn)闆]有進(jìn)行幅相誤差校正,分辨概率較差。MCC-CS和IMCC-NNM算法隨著信噪比進(jìn)一步提高,能獲得較高的分辨概率,但本文算法分辨性能更好,這是因?yàn)镸CC-CS和IMCC-NNM算法的假設(shè)前提是互質(zhì)陣列中僅有少數(shù)陣元存在幅相誤差,其余陣元均是精確校準(zhǔn)的,對(duì)于多數(shù)陣元存在幅相誤差的條件下,性能下降,而本文算法沒有這一限制。固定信噪比為5 dB和快拍數(shù)1 000的情況下,隨著角度間隔的增大,各算法的分辨概率均顯著增加,本文算法在角度間隔為2°時(shí),角度分辨概率可接近100%,而各對(duì)比算法均無法達(dá)到。因而本文算法在不同信噪比和不同角度間隔情況下均具有明顯的分辨優(yōu)勢(shì)。

3.3 估計(jì)精度分析

考慮兩個(gè)信源的到達(dá)角分別為-10°,20°。圖6實(shí)驗(yàn)中,對(duì)6種算法分別進(jìn)行300次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)?？炫臄?shù)設(shè)置為1 000,研究信噪比變化對(duì)DOA估計(jì)均方根誤差的影響。圖7實(shí)驗(yàn)中,對(duì)6種算法分別進(jìn)行300次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。信噪比設(shè)置為10 dB,研究快拍數(shù)變化對(duì)DOA估計(jì)均方根誤差的影響。陣元幅相誤差設(shè)置與第3.2節(jié)中相同。

圖6 2信源RMSE隨SNR變化Fig.6 RMSE versus SNR for 2 sources

圖7 2信源RMSE隨快拍數(shù)變化Fig.7 RMSE versus the number of snapshots for 2 sources

由圖6和圖7可得，相同條件下,提高信噪比或增加快拍數(shù),6種算法的角度估計(jì)精度均有所提高。在較高信噪比和快拍數(shù)條件下,3種未校正算法估計(jì)精度較低,而MCC-CS、IMCC-NNM和本文算法均能獲得較好的估計(jì)精度,且本文算法精度更高。

進(jìn)一步比較欠定DOA估計(jì)條件下的各算法估計(jì)精度,假設(shè)16個(gè)信源均勻分布于-42°至48°。其他參數(shù)不變。圖8為信噪比變化對(duì)DOA估計(jì)均方根誤差的影響。圖9為快拍數(shù)變化對(duì)DOA估計(jì)均方根誤差的影響。

圖8 16信源RMSE隨SNR變化Fig.8 RMSE versus SNR for 16 sources

圖9 16信源RMSE隨快拍數(shù)變化Fig.9 RMSE versus the number of snapshots for 16 sources

由圖8和圖9可知，欠定DOA估計(jì)條件下,3種未校正的經(jīng)典算法誤差較大,基本失效。本文算法相比于MCC-CS和IMCC-NNM算法，能獲得更高的估計(jì)精度。

4 結(jié) 論

考慮目前互質(zhì)陣列DOA估計(jì)算法一般建立在陣列模型理想的條件下,若陣列存在幅相誤差,現(xiàn)有算法性能下降甚至測(cè)向失效。本文提出一種基于校正陣元的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)方法。該方法將互質(zhì)陣列接收數(shù)據(jù)分解為兩個(gè)子陣數(shù)據(jù),增加輔助校正陣元進(jìn)行幅相誤差估計(jì),然后對(duì)接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行誤差補(bǔ)償,最后對(duì)補(bǔ)償后的協(xié)方差矩陣進(jìn)行擴(kuò)展和空洞填充。本文方法有效恢復(fù)了幅相誤差條件下的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)性能,提高了估計(jì)精度。