區(qū)間集非交換剩余格廣義Fuzzy濾子的構(gòu)造性刻畫

2021-11-22 08:46喬希民謝小軍羅俊麗吳洪博

渭南師范學(xué)院學(xué)報 2021年11期

喬希民,謝小軍，羅俊麗,吳洪博

(1.廣州工商學(xué)院通識教育學(xué)院，廣東佛山 510850；2.商洛學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西商洛 726000；3.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062)

美國計(jì)算與控制論專家Zadeh于1965年所創(chuàng)立的模糊集理論[1]，極大地促進(jìn)了建立在模糊集理論上的模糊演繹推理邏輯體系和與之相匹配的模糊邏輯代數(shù)分析的發(fā)展。波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak于1982年提出的粗糙集理論[2]，是對知識庫研究化為對等價關(guān)系的研究，是對知識庫的約簡化為對等價關(guān)系族的約簡，最大限度地克服了模糊集中隸屬度論域函數(shù)同類隸屬關(guān)系的主觀性，從而用知識庫中上近似集與下近似集的清晰知識來表述任意“不確定性”與“含糊”的不一致性，討論基于知識粒度的模糊相似關(guān)系的上、下近似及數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、模糊粗糙集的數(shù)學(xué)特征，顯現(xiàn)了Zadeh集與Pawlak集的不可區(qū)分性、近似空間、知識表達(dá)系統(tǒng)等核心概念，在云計(jì)算、云模型、云變換(粒計(jì)算理論與方法)、云推理、云控制、數(shù)據(jù)場與拓?fù)鋭?、三支決策分析等人工智能方面的廣泛應(yīng)用[3-7]。Yao等人從粗糙集的近似結(jié)構(gòu)出發(fā)，既將描述部分已知概念的信息不完備性得以精確地給出，又將下近似集和上近似集滿足特定條件的語義解釋相結(jié)合，抽象概括為區(qū)間集概念[8-11]，完善了區(qū)間理論體系。文獻(xiàn)[12]主要介紹了三支決策理論、模型與方法，基于模糊集、粗糙集、區(qū)間集構(gòu)造三支決策，基于直覺模糊集與區(qū)間集的三支決策研究，形式概念的三支表示，粗糙模糊集與模糊三支決策等。文獻(xiàn)[13]研究了基于經(jīng)典集、模糊集、粗糙集三種語境下的二元關(guān)系的模糊粗糙近似算子的構(gòu)造性數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，以及近似算子的公理化刻畫等，充分體現(xiàn)區(qū)間集理論在三支概念分析與決策計(jì)算等領(lǐng)域中的實(shí)踐[14-16]。濾子理論[17-21]既是研究模糊邏輯演繹推理系統(tǒng)可視為代數(shù)濾子的鏡像,又是眾多學(xué)者從不同視域提出性質(zhì)迥異的濾子概念，拓展了模糊邏輯代數(shù)分析的研究路徑。文獻(xiàn)[22]研究了邏輯代數(shù)上的濾子(理想)理論,EQ-代數(shù)上的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及拓?fù)銭Q-代數(shù)，邏輯代數(shù)及其超結(jié)構(gòu)上的態(tài)理論、內(nèi)態(tài)理論和廣義態(tài)理論，而基于非可換邏輯代數(shù)均含有共同的非交換剩余格這一本質(zhì)的基礎(chǔ)性代數(shù)結(jié)構(gòu)。

本文將區(qū)間集思想和濾子理論應(yīng)用于非交換剩余格，在給出區(qū)間集非交換剩余格的定義和文獻(xiàn)[23-26]的基礎(chǔ)上，構(gòu)造性地研究了區(qū)間集非交換剩余格廣義Fuzzy濾子的代數(shù)結(jié)構(gòu)，又進(jìn)一步討論了它們之間的等價性表示定理的特征刻畫。

1 預(yù)備知識

定義1[9-11]設(shè)A=[Al,Au]，其中Al,Au是任意經(jīng)典集合且Al?Au。區(qū)間集用下近似集和上近似集對來表示,定義如下:設(shè)U為論域,2U是U的冪集，那么區(qū)間集上2U的子集形式為：A=[Al,Au]={A∈2U|Al?A?Au}，稱其為一個閉區(qū)間集。閉區(qū)間上的所有區(qū)間集的集合記為I(2U)={[Al,Au]|Al,Au?U,Al?Au}。

注1 當(dāng)Al=Au時,區(qū)間集A=[Al,Au]成為經(jīng)典集合A,其全集U=[U,U],空集?=[?,?]。