徐迎軍

(曲阜師范大學經(jīng)濟學院，山東 日照 276826)

引言

在決策分析中一個重要的問題是用集結(jié)算子把不同信息來源的多個信息集結(jié)成為一個綜合信息，因此對集結(jié)算子的研究引起了眾多研究者的極大興趣[1-3].Harsanyi提出了加權(quán)平均(Weighted Averaging, WA)算子，此后得到了廣泛應(yīng)用[4].Yager創(chuàng)新性地提出了OWA(Ordered Weighted Averaging, OWA)算子[5].Xu和Da把幾何平均算子與OWA算子集成到一起，提出了有序加權(quán)幾何平均(Ordered Weighted Geometric，OWG)算子[6]，此算子有廣泛應(yīng)用[7].Fodor等把擬算術(shù)平均算子與OWA算子進行了集成，提出了擬算術(shù)OWA(Quasi OWA, Q-OWA)算子[8].

Mitchell和Estrakh提出了一修正的OWA算子，其元素的排序是依據(jù)元素的某函數(shù)值[9].Yager和Filev基于Mitchell和Estrakh的順序引致思想對OWA進行了進一步擴展，提出了IOWA[10].Chiclana等提出了重要性IOWA(Importance IOWA, I-IOWA)算子、一致性IOWA(Consistency IOWA, C-IOWA)算子和偏好IOWA(Preference IOWA, P-IOWA)算子用來集結(jié)模糊偏好關(guān)系[11].Merigo和Casanovas把DS(Dempster Shafer)證據(jù)理論引入IOWA算子，提出了信度結(jié)構(gòu)IOWA(Belief Structures IOWA, BS-IOWA)算子[12].

Yager把廣義平均的思想引入OWA，提出了廣義有序加權(quán)平均(Generalized Ordered Weighted Averaging，GOWA)算子[13].Merigo和Gil-Lafuente把GOWA和IOWA融合到一起，提出了引致廣義OWA算子(Induced Generalized OWA, IGOWA)[14]和擬IOWA(Quasi IOWA, Q-IOWA)算子.Merigo等基于充分性參數(shù)對IGOWA進行了擴展[15].基于我們對分析問題的興趣，我們可以給予不同算子不同的重要性.為解決此問題，Merigó提出了IOWAWA算子，把IOWA算子和WA算子統(tǒng)一到一個公式中，考慮到了不同算子的重要性[16].Merigo等考慮到概率算子、WA算子和OWA算子的重要性，把它們統(tǒng)一到一個引致概率有序加權(quán)平均加權(quán)平均(Induced Probabilistic Ordered Weighted Averaging-Weighted Averaging)算子中[17].

Aggarmal引入一參數(shù)來控制補償度，提出了補償加權(quán)平均(Compensative Weighted Averaging, CWA)算子[18].Aggarwal把廣義平均思想引入CWA算子，提出了廣義補償加權(quán)平均(Generalized Compensative Weighted Averaging, GCWA)算子，并把GCWA和OWA融合為廣義補償有序加權(quán)平均(Generalized Compensative Ordered Weighted Averaging, GCOWA)算子，把GCWA和IOWA融合為廣義補償引致有序加權(quán)平均(Generalized Conpensative Induced Ordered Weighted Averaging, GCIOWA)算子[19].Aggarwal對IOWA進行了擴展，基本思想是，把引致順序變量信息與加權(quán)向量進行融合，得到新的加權(quán)向量，充分利用了信息，提出了加權(quán)引致有序加權(quán)平均(Weighted Induced OWA, WIOWA)算子[20].本文把擬算術(shù)平均算子有機融合進WIOWA算子，提出了更具廣泛性的擬廣義加權(quán)引致有序加權(quán)平均(Quasi Generalized Weighted Induced OWA, QGWIOWA)算子.并通過具體例子來驗證了新算子的可行性和有效性.

1 預備知識

在這一部分，簡要介紹OWA算子、IOWA算子和廣義OWA算子等.Yager創(chuàng)新性地提出了OWA算子，此算子為一廣泛的算子族，包括算術(shù)平均、最大算子以及最小算子等[5].

定義1n維OWA算子為一映射，OWA：Rn→R，W=(w1,…,wn)為其伴隨n維權(quán)重向量，滿足權(quán)重向量分量之和為1，且均為非負分量：

(1)

(a1,a2,…,an)為被集結(jié)元素向量，(b1,b2,…,bn)為把(a1,a2,…,an)的分量從大到小重排之后的數(shù)據(jù)向量.可以對重排操作進行擴展，即區(qū)分從大到小和從小到大，則可把OWA算子區(qū)分為下降OWA和上升OWA.OWA算子具有單調(diào)性、有界性、冪等性和可交換性等性質(zhì)[5].

OWA算子中一個重要的步驟是對被集結(jié)元素進行重排序，而在此過程中OWA算子只利用了被集結(jié)算子本身的信息，忽略了其他重要信息，比如決策者的判斷一致性或者經(jīng)驗的豐富程度等信息，Yager和Filev基于Mitchell和Estrakh的順序引致思想[9]對OWA進行了進一步擴展，提出了IOWA[10].

定義2n維IOWA算子為一映射，IOWA：Rn→R，W=(w1,…,wn)為其伴隨n維權(quán)重向量，滿足權(quán)重向量分量之和為1，且均為非負分量.(a1,a2,…,an)為被集結(jié)元素向量，每一個被集結(jié)元素ai均有一個相應(yīng)的順序引致元素ui，根據(jù)相應(yīng)的ui(i=1,…,n)對所有被集結(jié)元素ai(i=1,…,n)按照從大到小順序進行排列，得到重排之后的被集結(jié)元素向量(b1,b2,…,bn)，然后利用權(quán)重向量對(b1,b2,…,bn)用下面的公式進行集結(jié)：

(2)

IOWA算子也具有單調(diào)性、有界性、冪等性和可交換性等性質(zhì).Yager把廣義平均思想融合進OWA算子，利用一參數(shù)來控制被集結(jié)元素的被集結(jié)強度，對OWA算子進行了推廣，提出了下面的GOWA算子[7].

定義3 (廣義OWA算子)算子M:Rn→R稱為n維GOWA算子，如果

(3)

其中W=(w1,…,wn)為其伴隨n維權(quán)重向量，滿足權(quán)重向量分量之和為1，且均為非負分量；λ為一參數(shù)，滿足λ∈[-∞,∞]；bj是第j個最大的ai.

2 擬廣義加權(quán)引致OWA算子及其性質(zhì)

本文把WIOWA算子進行了推廣，提出了QGWIOWA算子如下.

定義4[21](WIOWA) WIOWA算子是一個映射，WIOWA:Rn→R.集結(jié)數(shù)據(jù)為(a1,…,an)，相關(guān)聯(lián)的加權(quán)向量為W=(w1,…,wn)，滿足wi∈[0,1],i=1,…,n，且∑iwi=1.順序引致向量為u=(u1,…,un).集結(jié)數(shù)據(jù)ai的順序由與其相關(guān)聯(lián)的變量ui來導出.即根據(jù)與ai相關(guān)聯(lián)的引致變量ui的值對ai進行排序，設(shè)得到的排序后的數(shù)據(jù)序列為Bu=(b1,b2,…,bn).可表示如下：

WIOWA(,…,)=WTBu

(4)

WIOWA集結(jié)需要兩個步驟.第一步，通過把與ai相關(guān)聯(lián)的引致變量ui進行排序，得到重排后的數(shù)據(jù)序列Bu=(b1,b2,…,bn)，其中bi是具有第i大的引致變量值ui的ai.重排后的集結(jié)對象為(,…,).接著，vi(i=1,…,n)與wi∈W(i=1,…,n)共同產(chǎn)生加權(quán)向量：

(5)

(6)

因此，順序引致變量值vi(i=1,…,n)除了導出原始數(shù)據(jù)(a1,…,an)在集結(jié)中的順序外，還被用來產(chǎn)生集結(jié)權(quán)重.就像在IOWA算子中一樣，順序引致變量可能是專家的信心、意見一致性、偏好等或其他性質(zhì).下面把WIOWA進行推廣，得到QGWIOWA算子.

定義5 (QGWIOWA)n維QGWIOWA算子是一個映射：QGWIOWA：Rn→R：

(7)

(,…,)是被集結(jié)的數(shù)據(jù)對，a1,…,an是被集結(jié)的數(shù)據(jù)元素，u1,…,un分別為與a1,…,an相對應(yīng)的順序引致數(shù)據(jù).關(guān)聯(lián)權(quán)重向量是W=(w1,…,wn)，滿足wi∈[0,1],i=1,…,n，且∑iwi=1.(v1,…,vn)為(u1,…,un)按照由大到小順序重排后的順序引致變量.f:R→R為一嚴格單調(diào)遞增函數(shù).g:R→R為一嚴格單調(diào)函數(shù).

接下來討論QGWIOWA的一些性質(zhì)，包括單調(diào)性、有界性、冪等性和可交換性等.

定理1(單調(diào)性) 令集結(jié)數(shù)據(jù)α=(a1,…,an)，β=(b1,…,bn)，滿足ai≤bi對?i成立.相關(guān)聯(lián)的加權(quán)向量為W=(w1,…,wn)，滿足wi∈[0,1],i=1,…,n，且∑iwi=1.順序引致向量為u=(u1,…,un)，那么，

QGWIOWA(,,…,)≤

QGWIOWA(,,…,)

(8)

證明由(8)得到，

其中(c1,…,cn)是(a1,…,an)根據(jù)順序引致變量(u1,…,un)按照降序重排得到的序列，(d1,…,dn)是(b1,…,bn)根據(jù)順序引致變量(u1,…,un)按照降序重排得到的序列.因為ai≤bi對?i成立，所以，ci≤di對?i成立.所以，

QGWIOWA(,…,)≤QGWIOWA(,…,).

N≤QGWIOWA(,…,)≤M

(9)

因此，N≤QGWIOWA(,…,)≤M.

定理3(冪等性) 如果對?i，有ai=a,則：

QGWIOWA(,…,)=a

(10)

證明根據(jù)與ai相關(guān)聯(lián)的引致變量ui的值對ai進行排序，設(shè)排序后的數(shù)據(jù)序列為Bu=(b1,b2,…,bn).因為對?i，有ai=a，所以，對?i，bi=a.有

定理4(置換不變性) 設(shè)(,…,)是(,…,)的任何一種重排列.那么

QGWIOWA(,…,)=QGWIOWA(,…,)

(11)

證明根據(jù)與ai相關(guān)聯(lián)的引致變量ui的值對ai進行排序，設(shè)排序后的數(shù)據(jù)序列為(,…,).根據(jù)與ci相關(guān)聯(lián)的引致變量mi的值對ci進行排序，設(shè)排序后的數(shù)據(jù)序列為(,…,).對?i，di=bi，ni=vi，有

定理得證.

QGWIOWA算子是一族非常廣義的算子，它包含了許多重要的算子.當f(x)=g(x)=x時，QGWIOWA算子退化為WIOWA算子.當f(x)≡1，且g(x)≡xλ時，QGWIOWA算子退化為GOWA算子.

3 決策應(yīng)用

Step 1：建立決策矩陣；

Step 2：利用QGWIOWA算子得到方案綜合屬性值；

Step 3：根據(jù)綜合屬性值對方案進行排序.

例1 現(xiàn)對國內(nèi)四家航空公司X={x1,x2,x3,x4}的服務(wù)質(zhì)量進行評價[21].評價指標為：c1為定售票服務(wù)，c2為登記程序，c3為客艙服務(wù)，c4為響應(yīng)性.指標權(quán)重向量確定為(0.15,0.25,0.35,0.25).經(jīng)過專家評估建立決策矩陣M=(aij)44.根據(jù)專家給出的決策矩陣，對四家航空公司的服務(wù)質(zhì)量進行評價.

Step 1：由專家給出關(guān)于四家航空公司服務(wù)質(zhì)量的決策矩陣見表1(評分為10分制)：

表1 專家關(guān)于四家航空公司的屬性評價決策矩陣

Step 2：由QGWIOWA算子得到各個方案的綜合屬性值如下：

為簡單起見，在此假設(shè)對于四家航空公司，ui=ai，i=1,2,3,4，即順序引致變量值與屬性評價值是一致的.且令f(x)=2x，g(x)=3x+1.

x1=31.162 76；x2=27.879 23；x3=30.156 86；x4=29.961 45.

Step 3：根據(jù)方案的綜合得分值，其優(yōu)劣排序為：

x1?x3?x4?x2.即第一家航空公司x1是最優(yōu)的.

為了考察不同的函數(shù)對集成結(jié)果的影響，分別選取幾種情形：

1)f(x)=2x，g(x)=3x+1；

2)f(x)=x2，g(x)=3x2+1；

3)f(x)=x3，g(x)=3x3+1.

本例中，所有評價值都是正值，在自變量取正值時，三種情況下的函數(shù)都是嚴格單調(diào)函數(shù).通過QGWIOWA算子計算出方案綜合屬性值，將綜合屬性值和排序結(jié)果列入表2.

表2 方案綜合屬性值和方案排序

由表2中計算結(jié)果可以看到：當f(x)和g(x)取值不同時，排序結(jié)果有差異，可見在實際使用QGWIOWA算子時，應(yīng)根據(jù)需要，選擇合適的函數(shù)f(x)和g(x).

5 結(jié)論

把WIOWA推廣為QGWIOWA算子，證明了QGWIOWA算子的冪等性、單調(diào)性、有界性等性質(zhì).提出了基于QGWIOWA算子的決策方法，并通過具體例子驗證了決策方法的有效性.本文研究結(jié)果豐富了OWA算子相關(guān)理論.

可以把幾何平均的思想融入QGWIOWA，提出幾何版的QGWIOWA算子.另外，作為模糊集的推廣的直覺模糊集，可以從支持、反對和中立三個方面來刻畫對某問題的態(tài)度，能更好地反應(yīng)現(xiàn)實情境，受到了學者們的關(guān)注.然后，學者們在利用直覺模糊集對方案進行評價時，容易出現(xiàn)隸屬度和非隸屬度的和大于1的情形，為有效處理這種情況，Yager提出了畢達哥拉斯模糊集，允許隸屬度和非隸屬度的和大于1，但限制其平方和不大于1[22].把QGWIOWA算子推廣到畢達哥拉斯模糊集環(huán)境中是一個有意義的研究主題.