廣東省廣州市增城區(qū)應(yīng)元學(xué)校(511399) 鄭育玲

1 引言

波利亞“怎樣解題”表集中體現(xiàn)其探索法與元認(rèn)知思想,在函數(shù)、方程、立體幾何、解析幾何等方面的解題教學(xué)中應(yīng)用廣泛.波利亞曾說:“變化問題使我們引進(jìn)了新的內(nèi)容,從而產(chǎn)生了新的接觸,產(chǎn)生了和我們問題相關(guān)的元素接觸的新的可能性.”[1]“怎樣解題”表的四個階段“弄清問題、擬定計劃、實施計劃、回顧”就是對數(shù)學(xué)問題探究和解決的一個監(jiān)控過程.下面將結(jié)合一道例題來對數(shù)學(xué)問題探究進(jìn)行詳細(xì)敘述.

2 基于波利亞“怎樣解題”表的數(shù)學(xué)問題探究

2.1 題目呈現(xiàn)

如圖所示,在ΔABC中,∠CAB是鈍角,AB=BD=DC,∠BCA=30°,求∠CAD的大小.

圖1

思路分析: 本題是一道初二年級的平面幾何題目,考查學(xué)生對平面幾何知識的綜合運用能力.題目當(dāng)中涉及的知識點有等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定以及直角三角形的性質(zhì).從題目的已知條件出發(fā),學(xué)生很容易直接從三角形的內(nèi)角和180°出發(fā),利用等腰三角形底角相等的性質(zhì)來建立等量關(guān)系式,而此方法將沒辦法進(jìn)行到底.因此,這個時候就需要轉(zhuǎn)變思維,由邊相等聯(lián)想到利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì),添加輔助線.可此時又將遇到一個難題,條件“是鈍角”將作何用呢? 這是學(xué)生解決這一問題的難點.

2.2 基于波利亞“怎樣解題”表的數(shù)學(xué)問題探究

下面,將結(jié)合波利亞“怎樣解題”表的提示語指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解答:

(1)弄清問題,確定已知未知

盯住目標(biāo)! 題目要求我們做什么? 條件是什么?

要求∠CAD的大小.已知條件有三個: ①邊的等量關(guān)系A(chǔ)B=BD=DC, ②已知角的度數(shù)∠BCA= 30°,③∠CAB是一個鈍角.

從已知條件中,你能想到與之相關(guān)的知識點有哪些?

三角形內(nèi)角和為180°;等腰三角形的底角相等和“三線合一”的性質(zhì);在直角三角形中,30°的角所對的邊等于斜邊長的一半.

(2)擬定計劃,探究數(shù)學(xué)問題

上述相關(guān)知識點中,哪一個可以幫助你解決目標(biāo)? ——試試從三角形內(nèi)角和為180°進(jìn)行解決,引入符號標(biāo)記各角如圖所示.

圖2

你將選擇哪個三角形利用內(nèi)角和求解? ——ΔABC中,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°.

現(xiàn)在還差哪個角需要表示出來? ——∠ABC.由等腰三角形底角相等可以得到∠ADB= ∠2, 則ΔABD中∠ABD=180°?2∠2,因此∠ABC=180°?2∠2+∠1.在ΔABC中利用內(nèi)角和為180°整理得到關(guān)于∠1、∠2 和∠3的等量關(guān)系式為: ∠2?∠1?∠3=30°.

顯然只有一個方程是不能將三個未知量求解出來的,你還能構(gòu)造出其他的等量關(guān)系嗎? ——不能.

接下來,怎么辦? 你還可以利用什么條件? 回到相關(guān)知識點中看看? ——等腰三角形“三線合一”!

你是否需要添加輔助線? ——過點D作線段BC的垂線,如圖所示,交BC于點E,交AC于點M.

圖3

圖4

由此你能得到哪些條件? ——∠MEC= ∠MEB=90°,∠EMC=60°.

點M在哪條線上? ——BC的中垂線上.

接下來怎么辦? 目標(biāo)解決了嗎? ——證明ΔABMΔDBM.

要證明全等,根據(jù)現(xiàn)有條件,選擇什么證明方法? ——邊邊邊,現(xiàn)在已知AB=DB,還有一條公共邊BM,因此只需要再得到AM=DM的條件就可以了.

縱觀題目,你還有哪個條件沒有用上? ——∠CAB為鈍角.

鈍角有什么性質(zhì)? ——作它的一條高, 垂足一定在ΔABC的外部.

試試看! ——過點B作BF垂直于CA,如圖5 所示.

圖5

放在ΔBCF上看看,你能得到什么線段之間的長度關(guān)系嗎? ——在直角三角形中,30°角所對的邊是斜邊的一半!因此=BE.

圖6

接下來怎么辦? ——可以證明ΔFBMΔEBM(HL)了.

你能得到什么有用的條件? ——MF=ME.

離目標(biāo)越來越近了, 還差什么? ——若還能知道AF=DE,就能證明MA=MD了.

它們有什么共同的特征? ——都是直角三角形中的一條直角邊,斜邊對應(yīng)相等.

另一直角邊呢? 是什么關(guān)系? ——也對應(yīng)相等!

那你有什么解決的辦法? ——ΔFBAΔEBD(HL).

可以證明MA=MD了嗎? ——可以了,由MF=ME,且AF=DE,兩式對應(yīng)相減即可得到MA=MD.

圖7

那∠CAD的度數(shù)呢? ——在ΔMAD中, ∠AMD=120°,且MA=MD,因而∠CAD=30°.

(3)執(zhí)行計劃,落實解題步驟

現(xiàn)在可以把你的解題計劃付諸實施了,你能清楚地看出每一步驟是正確的嗎? 落實與檢查每一步驟.

(4)回顧反思,構(gòu)建知識遷移

你能檢驗?zāi)愕慕Y(jié)果嗎? 如果改變了條件,你會解決這個問題的變式嗎?

變式1: 將條件“∠CAB為鈍角”改為“∠CAB為銳角”,其他條件不變.

如圖9 所示,在ΔABC中,∠CAB為銳角,AB=BD=DC,∠BCA=30°,求∠CAD的度數(shù).

圖9

圖10

思路: 作輔助線的方法與上述問題相同,先是過點D作BC的垂線,再過點B作AC的垂線,連接BM.接下來只需證明兩次三角形全等,問題就迎刃而解了,最終求得∠CAD仍然等于30°.

圖11

圖12

變式2: 在基于原題目的條件下,將“點D在ΔABC內(nèi)部”改為“∠BCD >30°”,其他條件不變.

如圖所示,在ΔABC中,∠CAB是鈍角,AB=BD=DC,∠BCA=30°,且∠BCD >30°,求∠CAD的度數(shù).

圖13

圖14

圖15

思路: 作輔助線方法與上述類似, 再通過證明ΔA′BAΔD′BD,此問題也將迎刃而解.

你還能想到其他的變式嗎? 并嘗試將其求解出來.

3 結(jié)語

在解題過程中,注重培養(yǎng)反思意識和反思行為,實質(zhì)上就是數(shù)學(xué)問題探究能力的培養(yǎng).解題后的“回顧與反思”這一步驟,不僅僅提供找到一個更優(yōu)美或更簡單的可能性,它還能讓學(xué)生體驗到如何提出問題,體驗到真正“做數(shù)學(xué)”的味道[4].同樣地,對于一個教師而言,在問題解決的過程中,最為重要的組成部分是盡力去創(chuàng)造出相似或者相關(guān)的問題,從而幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)問題探究的能力.本文結(jié)合了波利亞的怎樣解題思想來敘述中學(xué)數(shù)學(xué)問題探究,利用典型例子對問題多次表征,通過回顧反思,實現(xiàn)知識的正遷移.