廣東省深圳實驗學校初中部(518028) 鄧 旭

近年的中考試卷中出現(xiàn)了個別“涉高題”,如用初中學段的知識比較繁瑣,而用高中的知識極容易解決.從培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和探究精神出發(fā),老師不妨引導學生利用現(xiàn)有知識鉆研探索,從而推導得出一些有趣、有用的結(jié)論,讓學生更有成就感.兩角和的三角函數(shù)公式的推導及應用本屬高中教材中的內(nèi)容,在初中階段還不要求學生掌握,但在一些中考題中有所呈現(xiàn),我們通過構(gòu)建兩角和模型,鼓勵學生大膽探索推導出兩角和三角函數(shù)公式,在理解公式的基礎(chǔ)上應用解題,達到事半功倍的效果.

1 問題導入

例1 如圖1,在邊上相同的小正方形組成的網(wǎng)格中,點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上,AB和CD相交于點P,則tan ∠APD的值為________.

圖1

常規(guī)解題思路: 如圖2 , 連接BE交CD于F, 由題意易得BF=CF=DF, ΔACP∽ΔBDP, 由相似三角形的對應邊成比例, 易得DP:CP= 1 : 3, 即可得PF:CF=PF:BF= 1 : 2, 在RtΔPBF中, 即可求得tan ∠BPF的值,繼而求得答案.

圖2

由圖1可知, ∠APD= ∠PAC+ ∠PCA, 且tan ∠PAC=tan ∠PCA= 1, 能否由此求出tan ∠APD的值,更值得期待的是,如果能找出兩角和的三角函數(shù)公式,那么當點D移到其它格點(如D1,D2,D3,D4)位置時也能輕易求出tan ∠APD的值(如圖3).

圖3

2 模型探究

建立兩角和的模型: 如圖4,矩形ABCD中,E、F分別在邊CD、AD上, ∠EBC=α, ∠EBF=β,EF⊥EB, 設(shè)BC= 1.能否用含α、β的三角函數(shù)表達式表示出其他的所有邊.

圖4

組織學生探索四個直角三角形:

(1)RtΔBCE中,CE=tanα,BE=.

(2)RtΔBEF中,BF=,EF=.

(3) RtΔDEF中, ∠DEF=α,DE= tanβ,DF=tanαtanβ.

(4)RtΔABF中,∠AFB=α+β,AF=AD ?DF=1?tanαtanβ,AB=tanα+tanβ.

由此可得:

3 應用解題

應用2,如圖5,拋物線y=ax2+bx+2 經(jīng)過點A(?1,0),B(4,0),交y軸于點C;

圖5

(1)求拋物線的解析式(用一般式表示);

(2) 點D為y軸右側(cè)拋物線上一點, 是否存在點D使若存在請直接給出點D坐標;若不存在請說明理由;

(3)將直線BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°,與拋物線交于另一點E,求BE的長.

簡析: 本題為深圳市2017年中考壓軸題.

(1)、(2)皆常規(guī)題型,略.

(3) 求得直線BE解析式是關(guān)鍵, 聯(lián)立直線BE和拋物線解析式可求得E點坐標, 則可求得BE的長.求得直線BE解析式方法多種, 如利用全等或相似等知識先求出直線BE上的一個點的坐標, 進而求得直線BE解析式; 還可以設(shè)直線BE與y軸交于點F, 由題可易求,tan ∠FBC= tan 45°= 1, 由公式tan(α+β) =得, tan ∠ABF= 3, 進而求得OF=12,直線BE解析式為y=?3x+12.