范莉，游銀萍

(華僑大學 數(shù)學科學學院，福建 泉州 362021)

在可靠性理論中，n中取k系統(tǒng)[1]是協(xié)同系統(tǒng)中的一類非常流行的糾錯結構，廣泛應用于電子工程、航空工業(yè)及水利水電等相關領域.n中取k系統(tǒng)是指由n個元件組成的協(xié)同系統(tǒng)，系統(tǒng)工作當且僅當系統(tǒng)元件中至少有k個元件工作.通過給系統(tǒng)工作元件分配冗余元件來延長系統(tǒng)的壽命，從而提高系統(tǒng)的可靠性.冗余元件一般有熱分配和冷儲備兩種添加方式.熱分配是指冗余元件與工作元件同時開始運行，添加位置的元件壽命為冗余元件與工作元件壽命的最大值.冷儲備是指在工作元件停止運行后，冗余元件開始運行，添加位置的元件壽命為冗余元件與工作元件壽命之和.近年來，已有許多學者對n中取k系統(tǒng)冗余元件的分配問題進行了研究[1-9].當系統(tǒng)運行元件的總權重超過某個預定臨界值k時，系統(tǒng)才工作.一般的n中取k系統(tǒng)是加權n中取k系統(tǒng)的特例.關于加權n中取k系統(tǒng)的不同方面已有大量的研究，如可靠性計算、系統(tǒng)性能指標計算、權重損失評估、剩余容量及具有多個狀態(tài)或隨機權重的加權n中取k系統(tǒng)[10-17].

Zhang[18]考慮系統(tǒng)元件壽命相互獨立的情況下，研究加權n中取k系統(tǒng)的熱分配問題.在現(xiàn)實應用中，加權n中取k系統(tǒng)中的工作元件通常在相同的環(huán)境中工作或共享相同的負載，因此，工作元件的壽命存在一定的相依性.例如，在一個連鎖故障的系統(tǒng)中，某個工作元件的故障將導致其余元件承受壓力更密集，從而更有可能發(fā)生故障.如果忽略這種相依性的影響，認為各個元件之間是獨立工作的，那么必將高估或低估這些元件所構成的系統(tǒng)壽命.因此，考慮工作元件壽命隨機排列遞增的相依性，本文研究加權n中取k系統(tǒng)在熱分配下冗余元件的最優(yōu)分配策略.

1 預備知識

隨機序主要用來描述隨機變量之間的大小關系[4，19-20]，在可靠性工程、金融和精算風險管理及統(tǒng)計等與概率相關的領域中發(fā)揮著重要的作用.

定義1假設X和Y是兩個隨機變量，分別具有分布函數(shù)F和G.對于任意增函數(shù)Ψ，如果滿足E[Ψ(X)]≤E[Ψ(Y)]，則X在普通隨機序(st)上小于Y，記為X≤stY.

定義2假設X和Y是兩個隨機變量，分別具有密度函數(shù)f和g.對于任意x≤y，如果滿足f(x)g(y)≥f(y)g(x)，則X在似然比序(lr)上小于Y，記為X≤lrY.

文中關于系統(tǒng)各元件壽命間的統(tǒng)計相依性是隨機排列遞增性，多元非參數(shù)相依概念由文獻[21-22]首次提出.對于任意對(i，j)，1≤i

定義3函數(shù)g(x):Rn→R在x上是排列遞增(AI)的，如果(xi-xj)[g(x)-g(τi，j(x))]≤0，1≤i

定義4如果對任意函數(shù)g∈Ai，j(n)，1≤i

若隨機向量X是SAI的，則在集合{x:xj≤xj}任意子集上的X比τi，j(X)有更大的權重，1≤i

SAI的一些重要性質如引理1～2.

引理2[21]設隨機向量X=(X1，…，Xn)是SAI的，當且僅當對于任意的x2≥x1，有E[g2(X1，X2)]≥E[g1(X1，X2)]，其中，g2(x1，x2)≥g1(x1，x2)；g2(x1，x2)+g2(x2，x1)≥g1(x1，x2)+g1(x2，x1).

令I(A)表示事件A的示性函數(shù)，有如下引理3.

引理3設u為任意增函數(shù)，u:R→R.對于任意y1≥y2，ω1≥ω2，有

m2(x1，x2)=u(ω1I(V{x1，y1}>t)+ω2I(V{x2，y2}>t))，

m1(x1，x2)=u(ω1I(V{x1，y2}>t)+ω2I(V{x2，y1}>t))，

則對于所有x2≥x1，有

m2(x1，x2)≥m1(x1，x2)，

(1)

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

(2)

式(1)的證明.對于任意固定值t≥0，I(x>t)是x的增函數(shù).對于任意y1≥y2，令h(x)=I(V{x，y1}>t)-I(V{x，y2}>t)，1)當x≥y1≥y2時，則有h(x)=I(x>t)-I(x>t)=0；2)當y1≥x≥y2時，則有h(x)=I(y1>t)-I(x>t)≥0；3)當y1≥y2≥x時，則有h(x)=I(y1>t)-I(y2>t)≥0.因此易證，h(x)是非負且關于x是遞減函數(shù).

對于所有x2≥x1，有h(x1)≥h(x2)≥0，即

I(V{x1，y1}>t)-I(V{x1，y2}>t)≥I(V{x2，y1}>t)-I(V{x2，y2}>t)≥0.

因為ω1≥ω2，則有

ω1(I(V{x1，y1}>t)-I(V{x1，y2}>t))≥ω2(I(V{x2，y1}>t)-I(V{x2，y2}>t))≥0，

整理為

ω1I(V{x1，y1}>t)+ω2I(V{x2，y2}>t)≥ω1I(V{x1，y2}>t)+ω2I(V{x2，y1}>t)≥0.

又因為u為增函數(shù)，故

u(ω1I(V{x1，y1}>t)+ω2I(V{x2，y2}>t))≥u(ω1I(V{x1，y2}>t)+ω2I(V{x2，y1}>t))，

即m2(x1，x2)≥m1(x1，x2)得證.

式(2)的證明.1)當x2≥x1≥y1≥y2時，則有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1I(x1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(x1>t))，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω1I(x1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(x1>t))，

即m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

2)當y1≥y2≥x2≥x1時，則有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=2u(ω1I(y1>t)+ω2I(y2>t))，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=2u(ω1I(y2>t)+ω2I(y1>t)).

因為u為增函數(shù)且y1≥y2，ω1≥ω2，易證

u(ω1I(y1>t)+ω2I(y2>t))≥u(ω1I(y2>t)+ω2I(y1>t)).

從而可知m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

3)當x2≥y1≥y2≥x1時，則有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1I(y1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(y2>t))，

(3)

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω1I(y2>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(y1>t)).

(4)

對于x2≥y1≥y2≥t，I(x2>t)=I(y1>t)=I(y2>t)=1.由式(3)，(4)，有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=2u(ω1+ω2)=m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

對于x2≥y1≥t≥y2，I(y2>t)=0且I(x2>t)=I(y1>t)=1.由式(3)，(4)，有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1+ω2)+u(ω1)，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω2)+u(ω1+ω2).

因為ω1≥ω2，有m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).對于x2>t≥y1或t≥x2，容易檢驗得

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

4)當x2≥y1≥x1≥y2時，則有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1I(y1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(x1>t))，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω1I(x1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(y1>t)).

類似3)的證明方式，有m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

5)當y1≥x2≥y2≥x1時，則有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1I(y1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(y1>t)+ω2I(y2>t))，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω1I(y2>t)+ω2I(y1>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(y1>t)).

因為u為增函數(shù)且y1≥x2≥y2，ω1≥ω2，易證

u(ω1I(y1>t)+ω2I(y2>t))-u(ω1I(y2>t)+ω2I(y1>t))≥0，

u(ω1I(y1>t)+ω2I(x2>t))-u(ω1I(x2>t)+ω2I(y1>t))≥0.

從而可知m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

6)當y1≥x2≥x1≥y2時，則有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1I(y1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(y1>t)+ω2I(x1>t))，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω1I(x1>t)+ω2I(y1>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(y1>t)).

類似3)的證明方式，有m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

2 主要結論及其證明

設隨機向量X=(X1，…，Xn)是加權n中取k系統(tǒng)n個分量的壽命，ω=(ω1，…，ω2)是系統(tǒng)的權重向量，其中，第i個工作元件為系統(tǒng)運行貢獻權重為ωi，i=1，…，n，則在任意時刻t≥0，系統(tǒng)總權重的隨機過程為

給定臨界值k，系統(tǒng)的壽命為TX(k):=inf{t:WX(t)

P(TX(k)>t)=P(WX(t)≥k).

(5)

將兩個壽命具有似然比序大小關系的冗余元件熱分配給工作元件壽命為SAI的加權n中取k系統(tǒng).設這兩個冗余元件的壽命分別為隨機變量Y1和Y2，對于任意對(i，j)，1≤i

定理1[18]設X1，…，Xn，Y1，Y2相互獨立，對任意對(i，j)，1≤i

由定理1可知：對于具有相互獨立壽命的系統(tǒng)工作元件，將更好的冗余元件分配給權重較大、性能較差的工作元件，可以隨機地延長加權n中取k系統(tǒng)的壽命.由于系統(tǒng)元件在同一個系統(tǒng)中工作，受共同環(huán)境因素的影響，因此，需要研究工作元件壽命具有相依性的冗余元件熱分配問題.

定理2設隨機向量X=(X1，…Xn)是SAI的，則對于任意ωi≥ωj，1≤i

證明：設u為任意增函數(shù)，y1≥y2，1≤i

根據(jù)引理3，對于所有xj≥xi，有

h2(xi，xj)≥h1(xl，xj)，

h2(xi，xj)+h2(xj，xi)≥h1(xi，xj)+h1(xj，xi).

可以證明

(g1(y1)g2(y2)-g1(y2)g2(y1))dy1dy2.

由于Y1≥lrY2，對于y1≥y2，有g1(y1)g2(y2)≥g1(y2)g2(y1).結合上式，有

又因為u為任意增函數(shù)，所以有

即WX(t；(Y1，Y2))≥stWX(t；(Y2，Y1)).由式(5)和定理2，得到推論1.

推論1設隨機向量X=(X1，…，Xn)是SAI的，則對于任意ωi≥ωj，1≤i

由推論1可知：當加權n中取k系統(tǒng)中n個工作元件的壽命具有SAI相依性時，將較好的冗余元件分配給權重較大性能較差的工作元件，另一個冗余元件分配給權重較小性能較好的工作元件，系統(tǒng)的壽命會得到隨機延長.若X1，…，Xn相互獨立且X1≤lrX2≤lr…≤lrXn，易證X=(X1，…，Xn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)是AI的，即X=(X1，…，Xn)是SAI的，也就是說，推論1將定理1從系統(tǒng)工作元件壽命相互獨立擴展到工作元件壽命具有SAI相依性.

由定理2和推論1可知：當加權n中取k系統(tǒng)的工作元件壽命具有SAI相依性時，為系統(tǒng)分配一個冗余元件的最優(yōu)分配策略.設這一冗余元件的壽命為隨機變量Y，對于任意對(i，j)，1≤i

推論2假設隨機向量X=(X1，…，Xn)是SAI的，則對于任意ωi≥ωj，1≤i

Ti(k；Y)≥stTj(k；Y).

由推論2可知：在加權n中取k系統(tǒng)n個工作元件壽命具有SAI相依性的情況下，將冗余元件分配給權重更大、性能更差的系統(tǒng)工作元件上，將會隨機地提高系統(tǒng)的可靠性.推論2實際上擴展了Zhang[18]的推論2.3，將加權n中取k系統(tǒng)工作元件壽命相互獨立推廣到相依性.

3 結束語

在加權n中取k系統(tǒng)工作元件壽命具有隨機排列遞增的相依性下，主要研究了兩個不同冗余元件熱分配的最優(yōu)分配策略.事實上，由于系統(tǒng)單元數(shù)量的增加和結構的復雜化，可以進一步研究多個不同的冗余元件一一對應地分配給系統(tǒng)的工作元件，或者多個相同的冗余元件一一對應地分配給系統(tǒng)的工作元件的最優(yōu)分配策略，或者考慮系統(tǒng)工作元件之間或冗余元件之間具有其他不同的相依性的冗余分配問題.