歐陽柏平，肖勝中

（1.廣州華商學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 511300；2.廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院科研處，廣東 廣州 510507）

拋物方程和拋物系統(tǒng)解的爆破現(xiàn)象的研究在近幾十年間取得了豐碩的成果.最初，學(xué)者們考慮的是基于三維空間中的齊次邊界條件（Dirichlet條件和Neumann條件）和Robin條件下解的爆破問題［1-6］，討論了一定條件下解的全局性、解的爆破率、解的爆破時間的上下界等.之后，有學(xué)者進(jìn)一步考慮了在高維空間中齊次邊界條件下以及非線性邊界條件下解的存在性、解的爆破時間的上下界等問題［7-12］.隨著研究的深入，目前有學(xué)者又考慮了帶有時變或空變系數(shù)的拋物方程和拋物系統(tǒng)解的爆破問題研究［13-15］，得到了相關(guān)的結(jié)論.Chen［16-18］等考慮了其他偏微分方程解的爆破問題.近來在實際應(yīng)用中，發(fā)現(xiàn)非局部項的數(shù)學(xué)模型比局部項的數(shù)學(xué)模型更有價值.對于非局部項的數(shù)學(xué)模型來說，需要重新探索解決其數(shù)學(xué)模型的理論和方法.因為局部項的數(shù)學(xué)模型的理論和數(shù)學(xué)方法不再適用.因此，此項課題的研究是非常具有挑戰(zhàn)性的，同時也是很有意義的.文獻(xiàn)［19-20］研究了Robin邊界條件和齊次Dirichlet邊界條件下非局部項的拋物方程和拋物系統(tǒng)解的爆破問題.對于解的爆破時間上下界的估計的研究中，考慮和討論爆破時間上界的方法較多，而對于爆破時間下界的確定則比較困難且辦法有限.

文獻(xiàn)［20］研究了如下反應(yīng)-擴散問題

得到了在2種測度下解的爆破時間的下界.受文獻(xiàn)［20］的啟發(fā)，研究如下具有空變系數(shù)的混合拋物系統(tǒng)在非線性邊界條件下的解的爆破時間的下界

其中，Ω是高維空間R n(n≥3)中的一個有界凸區(qū)域，?代表梯度算子，Δ代表拉普拉斯算子.?Ω是區(qū)域Ω的邊界，t*代表可能的爆破時間.分別是u，v在邊界?Ω上的外法向量導(dǎo)數(shù)，假設(shè)其足夠光滑.

同時假設(shè)如下條件滿足

目前，尚未發(fā)現(xiàn)有文獻(xiàn)研究具有空變系數(shù)的混合拋物系統(tǒng)在非線性邊界條件下解的爆破時間的下界估計，其主要困難在于在高維空間上非線性邊界條件下找到空變系數(shù)對爆破問題的影響.筆者運用高維空間中的Sobolev嵌入不等式以及相關(guān)的微分不等式技巧得出非線性條件下爆破發(fā)生時解的爆破時間下界估計.

1 爆破時間的下界

需要用到如下Sobolev不等式［21］

其中，C=C(n，Ω)是一個與n和Ω有關(guān)的Sobolev嵌入常數(shù).

首先定義輔助函數(shù)

定理1假設(shè)u(x，t)，v(x，t)是問題（1）～（2）在有界凸區(qū)域Ω的經(jīng)典的非負(fù)解，則式（5）中定義的能量滿足微分不等式

由此可得爆破時間t*的下界為

其中，R1，R2，R3，R4，R5，R6，ξ1，ξ2，ξ3，ξ4將在下文定義.

2 定理1的證明

為了證明上面的定理，先證明引理1.

引理1 假設(shè)u(x，t)，v(x，t)是問題（1）～（2）在有界凸區(qū)域Ω的經(jīng)典的非負(fù)解，則式（5）中定義的能量滿足

證明運用散度定理，首先對式（5）求導(dǎo)數(shù)并注意到式（2），得

對于式（6）第一項，由散度定理和式（2），有

對于式（7）第三項，應(yīng)用H?lder不等式和Young不等式，得

其中，ε1在下文會定義的正數(shù).

對于式（7）第二項，由H?lder不等式和Young不等式，得

其中，ε2在后面會定義的正數(shù).

又由H?lder不等式，可得

聯(lián)立式（7）～（10），得

聯(lián)立式（11）和（12），有

同理，對于式（6）第三項，由散度定理和式（2），有

對于式（14）第一項，由H?lder不等式和Young不等式，可得

對于式（14）第二項，應(yīng)用H?lder不等式和Young不等式，得

其中，ε4在后面會定義的正數(shù).

對于式（14）第三項，由H?lder不等式和楊氏不等式，有

其中，ε5在下文會定義的正數(shù).

聯(lián)立式（14）～（17），得

聯(lián)立式（18）和（19），有

對于式（6）第三項，由H?lder不等式，得

對式（22）第二項，由H?lder不等式，有

其中，x22=1-x12，ε7在下文會定義的正數(shù).

聯(lián)立式（21），（22）和（23），可得

同樣地，對于式（6）第四項，由H?lder不等式和式（4）以及類似于式（21）的推導(dǎo)，可得

聯(lián)立式（6），（13），（20），（24）和（25），可得到

選取合適的ε1，ε2，ε4，ε5，ε7，ε8，使得σ(λ1λ5+λ3)+σb1K4≤0，σ(l3l7+l5)+σb2M4≤0.于是，式（26）化為

式（27）可寫為以下形式

引理1得證.

由引理1，對式（28）積分可得

從而，定理1得證.